高中数学必修4三角函数常考题型弧度制

弧度制之勘阻及广创作【知识梳理】1．角度制与弧度制角度制．①定义：用度作为单位来胸怀角的单位制．1②1度的角：周角的360作为一个单位．弧度制．①定义：以弧度作为单位来胸怀角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．随意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.3．角的弧度数的计算假如半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角αl的弧度数的绝对值是|α|＝r.4．弧度与角度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°π1801°＝180rad≈1rad＝π°≈57.30°一些特别角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0ππππ2π3π5ππ64323466．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝παRl＝αR180παR211扇形的面积S＝360S＝2lR＝2αR2【常考题型】题型一、角度与弧度的换算【例1】把以下角度化成弧度或弧度化成角度：2π(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－9.π2π[解](1)72°＝72×180＝5；π5π(2)－300°＝－300×180＝－3；180360(3)2＝2×π°＝π°；2π2π180－9＝－9×π°＝－40°.【类题通法】角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式

πrad＝180°是关键，由它能够获得：度数×

π180＝弧度数，弧度数×

180＝度数．π【对点训练】3π

π已知

α1＝－570°，

α2＝750°，

β1＝

5

，β2＝－

3

.将α1，α2用弧度示意出来，并指出它们是第几象限角；将β1，β2用角度示意出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有同样终边的全部角．570π19π解：(1)α1＝－570°＝－180＝－6，750π25π2＝750°＝180＝6.19π5π∵α1＝－6＝－2×2π＋6，25ππ2＝6＝2×2π＋6，∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．3π3(2)β1＝5＝5×180°＝108°，设θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，则由－720°≤θ<0°，得－720°≤k·360°＋108°<0°(k∈Z)，解得k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°范围内，与β1有同样终边的角是－612°和－252°；12＝－3＝－3×180°＝－60°，设γ＝k·360°－60°(k∈Z)，则由－720°≤k·360°－60°<0°(k∈Z)，得k＝－1或k＝0，∴在－720°～0°范围内，与β2有同样终边的角是－60°和－420°.题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用【例

2】

(1)已知扇形的周长为

8cm，圆心角为

2，则扇形的面积为

________．已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？(1)[分析]设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，由圆心角为2rad，依照弧长公式可得l＝2r，进而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.112故扇形的面积S＝2rl＝2×2×4＝4cm.[答案]4cm2(2)[解]设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是lR＝2(π－1)，12扇形的面积是2Rl＝(π－1)R.【类题通法】弧度制下波及扇形问题的攻略112(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝2lr＝2|α|r(此中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．波及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，重点是先剖析题目已知哪些量求哪些量，而后灵巧运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．【对点训练】已知扇形的周长是30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才华使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l＋2r＝30，故l＝30－2r，112152225进而S＝2lr＝2(30－2r)r＝－r＋15r＝－r－2＋41515π＋1<r<15，所以，当r＝2cm时，α＝2，扇形面积最大，最大2252面积为4cm.题型三、用弧度制示意角的会合【例3】用弧度示意终边落在以下各图所示暗影部分内(不包括鸿沟)的角的会合．[解](1)如图①，330°角的终边与－30°角的终边同样，将－π30°化为弧度，即－6，π5π而75°＝75×180＝12，∴终边落在暗影部分内(不包括鸿沟)的角的会合为π5π.θ2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z612π7π如图②，∵30°＝6，210°＝6，这两个角的终边所在的π直线同样，所以终边在直线AB上的角为α＝kπ＋6，k∈Z，π又终边在y轴上的角为β＝kπ＋2，k∈Z，进而终边落在暗影部分内(不包括鸿沟)的角的会合为ππ.θkπ＋<θ<kπ＋，k∈Z62【类题通法】用弧度制示意角应关注的三点用弧度示意地区角，实质是角度示意地区角在弧度制下的应用，需要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要一致．在示意角的会合时，能够先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2kπ，k∈Z.(3)终边在同向来线上的角的会合能够归并为{x|x＝α＋kπ，k∈Z}；终边在互相垂直的两直线上的角的会合能够归并为xx＝α＋k·π.，k∈Z2在进行区间的归并时，必定要做到正确无误．【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y＝－x上的角的会合．解：在0到2π范围内，终边落在直线y＝－x上的角有两个，373即4π和4π，全部与4π终边同样的角组成的会合为S1＝37αα＝4π＋2kπ，k∈Z，全部与4π终边同样的角组成的集合为2αα＝7π＋2kπ，k∈Z＝S＝43αα＝4π＋

2k＋1

π，k∈Z

，∴终边落在直线

y＝－x

上3的角的会合为S＝S1∪S2＝αα＝4π＋nπ，n∈Z.【练习反应】1．以下命题中，错误的选项是()A．“度”与“弧度”是胸怀角的两种分歧的胸怀单位11B．1°的角是周角的360，1rad的角是周角的2πC．1rad的角比1°的角要大D．用弧度制胸怀角时，角的大小与圆的半径相关分析：选D依据角度制和弧度制的定义能够知道，A、B是正确180的；1rad

的角是

π

°≈57.30°，故

C也是正确的；不论是用角度制仍是用弧度制胸怀角，角的大小都与圆的半径没关，故

D错误．5π2．角α的终边落在区间－3π，－2内，则角α所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：选C－3π的终边在x轴的非正半轴上，－52π的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．11π3．－135°化为弧度为________，3化为角度为________．π3分析：－135°＝－135×180＝－4π；11113π＝3×180°＝660°.3答案：－4π660°4．把角－690°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．分析：法一：－°＝－690×π23690180623ππ∵－6π＝－4π＋6，∴－690°＝－4π＋6