上海市黄浦区2022届高三数学二模试题含解析

上市浦届高三学模题含析一填题共12题，分值54分每空格对6题4分后6题5分.1．集合Ax+2﹣3，＝{||﹣1|＜1}，么∩＝．2．方程2log的解x．3．某球体的外表积为36π，那该球体的体积是．4．函数f〔〕的定义域为R，数〔〕奇函数，且〔〕＝〔〕+2，设f〔1〕﹣1，那么f﹣1〕＝．5．复数z共轭复数为，假设〔中i为数单位，那么|＝．6．方体ABCD﹣AD的＝＝3，＝4那么异面直线AB与所角的大小是.〔结果用反三角函数值表示〕7随事件和B互独立假设〔＝0.36，那么P〔〕．

〔表事件A的对立事件，8．无穷等比数{〔n∈N范围是．

，〕的n项为S，且n

＝2，那么首项a的取值9．〔1+2〕

的二项展开式中第三项的系数是112那么行列式

中元素﹣1的数余子式的值是．10数x满足线性约束条件么标函数z＝2+5的大值是．11．某企业开展科技知识抢答抽活动，获奖号码从用0、1、2、3、、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是的倍数．假设某位职工知识抢答过程中抢答成功，那么该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是.结果用数值作答〕12．，函〔〕＝组成的集合是．

的最小值为2，么由满足条件的a值二选题总值20分13．空间直线和面α那么“直线l平面α外是“直线l∥平面α的〔〕-1-

A．充分非必要条件C．充要条件

B．必要非充分条件D．非充分非必要条件14．某赛季甲乙两名篮球运发动假设干场比赛中的得分情况如下：甲：21、22、23、25、28、29、30、30乙：14、16、23、26、28、30、33、38那么以下描述合理的是〔〕A．甲队员每场比赛得分的平均值大B．乙队员每场比赛得分的平均值大C．甲队员比赛成绩比拟稳定D．乙队员比赛成绩比拟稳定15．点〔4〕是直线：〔t∈Rt是参数〕和圆：〔∈R，θ是参数〕的公共点，过点P作C的切线l，那切线的方程是〔〕A﹣4﹣28＝0B+4﹣28＝0C．3﹣﹣13＝0D．﹣3﹣16＝016．、是正数，△ABC三边长为＝3，＝4＝5，点是边ABP与点A、不重合〕上任一点，且

．假设不等式2+3≥xy恒成立，那么实数m的取范围是〔〕A．B．C．D．≤3三解题本题分76分本题有5题解以下题须答卷相编规区内出要步．17．长方体ABCD﹣BD中，＝＝2，＝3，点E是棱AD的中点．〔1〕联结，三棱锥D﹣的积；〔2〕求直线和面DEB所成角的大小．〔结果用反三角函数表示〕18．△中，内角A、、C所边长分别为、、c，且b，sin＝3sin．〔1〕求正实数a的值〔2〕假设函数〔x〕＝sin2+cos2x〔〕，函数fx〕的最小正周期、单调递增区间．19．某民营企业开发出了一种新品，预计能获得50万到1500万的经济收益．企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金y单位：万-2-

元〕随经济收益〔单位：万元〕的增加而增加，且y＞0，金金额不超过20万．〔1请为该企业构建一个y关于的数模型并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；〔答案不唯一〕〔2〕假设该企业采用函数y＝数a的取范围．20．〔16分〕圆

作为奖励函数模型，试确定实的右顶点为A〔，0，焦距为2〔＞0〕，左、右焦点分别为F、，〔x，〕椭圆C上的任一点．〔1〕试写出向量

、

的坐标〔用含x、、字母表示〕；〔2〕假设

的最大值为3，最小值为2，求数a、的；〔3〕在满足2〕的条件下，假直线＝椭圆C交于两〔、与圆的左、右顶点不重合〕，且以线段MN为直径的圆经过点A求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标．21．〔18分〕义：符号max{x，，}示实数x、xx中大的一个数min{，，x}示、、最小的一个数．如，2，1.2}＝2，{﹣2，2}﹣2．设K是一给定的正整数〔K≥3〕，数列{a共有K项记A＝{，a，，，}，iB＝max{a，，，a，}＝﹣＝1，2，3，，﹣1．由d取值情Kii况，我们可以得出一些有趣的结论．比方，假设＞0那么a＞.由：d＞0，么A＞.又≥，≥a，是，有＞试解答以下问题：〔1〕假设数列{a}的通项公式为

，求数列{〔＝1，2，，〕的通项公式；〔2〕假设数{〔n＝1，2，，〕足a，＝1〔i＝1，2，⋯，﹣1，求通项公式a〔3〕试构造项数为的数{a，满足＝+c，其{}是等比数列，}是公差不为n零的等差数列，且数列{d}〔＝1，2，，K﹣1是单调递减数列，并说明理由．〔答案不唯一〕参考答案-3-

一填题共12小〕1．集合Ax

+2﹣3＞0}＝{||﹣1|＜1}，那么A∩＝〔1〕．【解答】＝{|

+2﹣3}＝{x|〔+3〕x﹣1＞0}＝{＜﹣3或＞1}，Bx|﹣1＜﹣1＝{|0＜＜2}A∩＝{|1＜x＜2}，故答案为：，2〕．2．方程2log+1＝3解x4．解：方程2log+1＝3，即方程log＝1∴＝4，故答案为：．3．某球体的外表积为36π，那该球体的体积是36π．解：设球的半径为R，那么4π

＝36，即．∴该球的体积为＝故答案为：π

．4．函数f〔〕的定义域为R，数〔〕奇函数，且〔〕＝〔〕+2

，设f〔1〕﹣1，那么f﹣1〕＝．解：根据题意，g〔〕〔〕+2，那么g〔1＝〔1〕+2，〔﹣1＝〔﹣1，又由g〔〕奇函数，那么〔1g〔﹣1〕＝〔1〕+〔﹣1〕+＝〔1〕+＝0，解可得：〔﹣1＝故答案为：．

，5．复数z共轭复数为，假设

〔其中i为虚数单位〕，那|z|＝5．解：因为所以＝

，＝﹣4﹣3，故|＝5故答案为：．6．长方体﹣CD的棱ABBC，＝4那么异面直线与所角的大小是.〔结果用反三角函数值表示〕解：建立空间直角坐标系，如下图：由长方体ABCD﹣D，＝＝3CC＝4，所以A〔3，0，0〕，B〔3，3，4〕，〔0，3，0〕，〔0，4〕，-4-

所以＝，3，4〕，＝，﹣3，4〕，计算cos＜，＞＝＝，所以异面直线与CD所成角的大小是arccos故答案为：．

．7随事件和B互独立假设〔＝0.36，那么P〔〕0.9．解：随机事件A和相独立〔〕，∴〔〕＝1﹣0.6＝0.4，

〔表事件A的对立事件，〔表事件A的立事件〕，∴〔〕＝故答案为：0.9．

＝＝0.9．8．无穷等比数{〔n∈N

，〕的n项为S，且n

＝2，那么首项a的取值范围是〔0〕〔2〕．解：∵无穷等比数列a}〔n∈N〕的前n项和是，且n∴，a＝2﹣〕由题意可得1＜＜1，且q，∴0＜1﹣＜2且1≠1，∴0＜，且≠2∴首项a的值范围是〔0，2〕〔2，4．故答案为：，2〕∪〔2，4〕

＝2，9．〔1+2〕

的二项展开式中第三项的系数是112那么行列式

中元素﹣1的数余子式的值是5．解：因为〔1+2x〕

的二项展开式中第三项的系数是112所以•2＝112，解得n，-5-

maxmax所以行列式故答案为：．

中元素1的代数余子式为﹣＝〔3×1﹣1×8〕．10数x满足线性约束条件么标函数z＝2+5的大值是．解：画出可行域，如下图：当直线z＝2+5y过点B时取最大值，联立方程，得，∴点B〔，〕∴＝2×+5×故答案为：．

＝．11．某企业开展科技知识抢答抽活动，获奖号码从用0、1、2、3、、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是的倍数．假设某位职工知识抢答过程中抢答成功，那么该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是.〔结果用数值作答〕解：获奖号码从用0、1、2、3、、9十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，根本领件总数＝9×9×8＝648一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍，满足条件的三个奇数可能为〔1，3，5，，5，9〕，〔3，5，7〕，，7，9〕，∴一等奖号码包含的根本领件个数＝∴某位职工在知识抢答过程中抢答成功，

＝24，那么该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是P＝故答案为：．

＝．12．，函〔〕＝

的最小值为2，么由满足条件的a值-6-

mimi组成的集合是

．解：①假设a＜0时，那么f〔〕﹣++1的对称轴为x＝，∴当x＜0时，f〔〕＝f〔〕＝﹣又∵当x≥0时，〔〕＞2，

++1，∴﹣++1＝2，+6a﹣4，a＝﹣②假设a＝0时，那么〔x〕＝

﹣3或＝﹣3〔舍去〕，，∴f〔〕＞1＞2，a≠0，③假设a＞0时，那么f〔〕﹣++1的对称轴为x＝＞0∴当x＜0时，f〔〕x﹣++1单调减，∴f〔〕f〔0〕+1，当≥0时，〔〕＝，∴〔〕≥+2，∴a+2a，∴＝2，又∵+1＞2，∴0＜，∴≠2，综上所述：∈{故答案为：﹣

﹣3}．．二选题本题分20分〕大共题每有只一正答案考应答卷相编上将表案小格黑选得5分否么律零分13．空间直线和面α那么“直线l平面α外是“直线l∥平面α的〔〕A．充分非必要条件C．充要条件

B．必要非充分条件D．非充分非必要条件解：假设直线在面α外，那么l∥α或l与α相交故“直线l平面α外〞推不出“直线∥平面α，由“直线l∥平α〞么推出“直线l平面α外〞，故“直线l平面α外〞是“直线∥平面α〞必要不充分条件，应选：．14．某赛季甲乙两名篮球运发动假设干场比赛中的得分情况如下：-7-

甲：21、22、23、25、28、29、30、30乙：14、16、23、26、28、30、33、38那么以下描述合理的是〔〕A．甲队员每场比赛得分的平均值大B．乙队员每场比赛得分的平均值大C．甲队员比赛成绩比拟稳定D．乙队员比赛成绩比拟稳定解：甲队员得分的平均值为乙队员得分的平均值为

〔21+22+23+25+28+29+30+30〕，〔14+16+23+26+28+30+33+38〕＝26故甲队员和乙队员每场比赛得分的平均值相等，应选项A，B误；甲队员得分的方差为

[〔21〕

+〔22﹣26〕+﹣26〕

+〔25〕〔28﹣26〕+﹣26+〔30﹣26〕

+﹣26

]＝12，甲队员得分的方差为

[〔14〕

+〔16﹣26〕+﹣26〕

+〔26〕〔28﹣26〕+﹣26+〔33﹣26〕

+﹣26

]＝48.25，所以甲队员的成绩比拟稳定，应选项C正，选项D错．应选：．15．点〔4〕是直线：〔t∈Rt是参数〕和圆：〔∈R，θ是参数〕的公共点，过点P作C的切线l，那切线的方程是〔〕A﹣4﹣28＝0解：直线l：

Bx+4y﹣28＝0C﹣﹣13D．﹣3﹣16＝0〔∈R是数〕转换为直角坐标方程为﹣3﹣16．由于点P〔4，〕在直线上，故＝﹣3，所以P〔4，〕，设圆C的切线l的方为y＝〔﹣4，整理得﹣﹣4﹣3＝0．由于直线与圆相切，故圆心〔1，0到直线﹣y﹣4k﹣3的离＝，解得k＝．-8-

所以切线的方程为3﹣4＝0．应选：．16．、是正数，△ABC三边长为＝3，＝4＝5，点是边ABP与点A、不重合〕上任一点，且

．假设不等式2+3≥xy恒成立，那么实数m的取范围是〔〕A．B．C．D．≤3解：建立如下图的直角坐标系，因为，

分别为，

方向上的单位向量，那么为＝，1〕，＝，0，那么故〔，〕，因为AB所在的直线方程为因为2+3≥•x•恒立，

＝，〕+〔，0〕＝〔，〕，，即＝﹣+3＜x，0＜＜4〕，所以m令〔〕＝

＝，，那么

，易得，当0＜y

﹣4时函数单调递减，当4

时，函数单调递增，故当y＝4故m应选：．

时f〔〕取得最小值．

，三解题本题分76分本题有5题解以下题须答卷相编规区内出要步．17．长方体ABCD﹣BD中，＝＝2，＝3，点E是棱AD的中点．-9-

〔1〕联结，三棱锥D﹣的积；〔2〕求直线和面DEB所成角的大小．〔结果用反三角函数表示〕解：〔1〕因为﹣CD是方体，且棱＝＝2，AA＝3，所以⊥面，即三棱锥EBC高等于AA，所以

，故

；〔2〕以点D为标原点，建立空间直角坐标系如下图，那么E〔1，0，0〕，，2，0，〔2，0，〔0，3〕，所以，

，，设平面的向量

，那么，即，令＝6，得，平面的个法向量为，设直线CD和平所的角为，那么，所以直线CD和面所成的大小为．18．△中，内角A、、C所边长分别为、、c，且b，sin＝3sin．〔1〕求正实数a的值〔2〕假设函数〔x〕＝sin2+cos2x〔〕，函数fx〕的最小正周期、单调递增区间．【解答】解〔1〕∵在△ABC中，＝1，sin＝3sin，根据正弦定理

，得∴．〔2〕由〔〕，

〔＞0，，-10-

∴〔〕＝sin2+cos2＝∴函数f〔〕的最小正周期为由得

＝2sinx+．〔〕，．

〕，∴函数f〔〕的递增区间是

〔〕．19．某民营企业开发出了一种新品，预计能获得50万到1500万的经济收益．企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金y单位：万元〕随经济收益〔单位：万元〕的增加而增加，且y＞0，金金额不超过20万．〔1请为该企业构建一个y关于的数模型并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；〔答案不唯一〕〔2〕假设该企业采用函数y＝数a的取范围．【解答】解〔1〕答案不唯一．要求，如，

作为奖励函数模型，试确定实构造出一个函数，说明是单调增函数且函数的取值满足，就是符合企业奖励的一个函数模型，理由：根据一次函数的性质，易知，y随x增而大即为增函数，当＝50时，

，当＝1500时，

，即奖金金额y＞0且不超过20万元，故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型．〔2〕当≤≤500时，易知且当x＝50时，金＞0且不超过万要求，

是增函数，；当x＝500时，即满足奖-11-

故当50≤≤500时，当500＜≤1500，函数

符合企业奖励要求，是增函数，即对任意x、∈，1500]且＜时，故当且仅当1﹣＜0即a＞1时此时函数在500，1500]上增函数，

成立，由进一步可知，

，得≤9501，，故

成立，即当1＜≤9501，函数符合奖金＞0且金额不超过20万要求，依据函数模型

是符合企业的奖励要求此函为增函数，于是，有

，解得a．综上，所求实数a的值范围是＜a≤4001．20．〔16分〕圆

的右顶点为A〔，0，焦距为2〔＞0〕，左、右焦点分别为F、，〔x，〕椭圆C上的任一点．〔1〕试写出向量

、

的坐标〔用含x、、字母表示〕；〔2〕假设

的最大值为3，最小值为2，求数a、的；〔3〕在满足2〕的条件下，假直线＝椭圆C交于两〔、与圆的左、右顶点不重合〕，且以线段MN为直径的圆经过点A求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标．解：〔1〕根据题意，可知F〔﹣c，0〕、F〔c，0〕，于是，〔2知上，

，x椭-12-

∴，么．．依据椭圆的性质，可知﹣≤x≤a．∴当且仅当时

，当且仅当x＝0时，又∵﹣＝，

的最大值为3，小值为2，

．∴

解得

即为所求．〔3〕证明：由〔〕知，椭圆．又l：＝kx+m，联立方程组得〔3+4〕+8kmx+4﹣12＝0．设Mx，y〕N〔x，y〕直线：ykx与圆C的两个交点，于是，有，∵以线段为直径的圆经过点〔2〕，∴0，进一步得得7+16km+4k＝0解得．经检验，

，即﹣2〕〔x﹣2〕〔＝kx+〔〕〕，化简都满eq\o\ac(△,足)〕当＝﹣2时直线l点A〔2，0〕满足M、与圆的左顶点不重合要求，故m＝﹣2k舍去．-13-

∴，．∴直线l必经定点，且定点的坐标为

．21．〔18分〕义：符号max{x，，}示实数x、xx中大的一个数min{，，x}示、、最小的一个数．如，2，1.2}＝2，{﹣2，2}﹣2．设K是一给定的正整数〔K≥3〕，数列{a共有K项记A＝{，a，，，}，iB＝max{a，，，a，}＝﹣＝1，2，3，，﹣1．由d取值情Kii况，我们可以得出一些有趣的结论．比方，假设＞0那么a＞.由：d＞0，么A＞.又