专题17.1 条件概率与全概率公式(精讲精析篇)

专件率全率式精精篇提挈点突热考条概．件概率定义表示

一般地，当事件B发的概率大于时(即(B)，已知事件B发的条件下事件发的概率，称为事概率PA)计算公式

PA)＝

PP．条件概率的性质(1)0(B)；(2)P(A)；(3)如果B与互，(B∪)＝(B)PC)．【两点说明】．如果知道事件发会影响事件B发的概率，那么P)(BA；．已知A发，此条件下B发，相当于AB发，要求(BA，相当于把看新的基本事件空间计nnnP算AB发的率，即P(A)＝＝＝【典例1】一个袋中有个黑球和个球，如果不放回地抽两个球，记事第一次抽到黑球”为；件第次抽到黑球为(1)分别求事件A，∩B发的概率；(2)求P(B)【答案））4

5×464545×46454【解析】首先弄这试”指是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．详解：由古典概型的概率公式可知(1)P(A＝，2×13×2P(B)＝＝＝，5×452×1P(A)＝＝.P10(2)P(B)＝＝P4【典例2】现有6个目准备参加比赛，其中个舞蹈节目2个言类节目，如果不放回地依次抽取节目，求：(1)第抽到舞蹈节目的概率；(2)第和第2次抽到舞蹈节目的概率；(3)在第次抽到舞蹈节目的条下，第2次到舞蹈节目的概率．3【答案））5【解析】第、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．详解：设第次抽到舞蹈节目为事件A第抽到舞蹈节目为事件，第1次第都抽到舞蹈节目为事件.(1)从节目中不放回地依次抽取2个事件数为Ω)＝A

＝，根据分步计数原理(A)＝AA

202＝20于是PA)＝＝＝n3(2)因为(A)＝A

122＝，于是PA＝＝＝30(3)法一：(1)(2)得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第次抽到舞蹈节目的概率为P5P(BA)＝＝＝P2法二：因为(∩)，nA)＝，所以P(A＝

3＝＝205【典例3】在一个袋子中装有个，设有个红球2个球黑球4个球，从中依摸2个，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．【答案】

A1nij1ni1niiiA1nij1ni1niii【解析】设摸出第一个球为红”为事件，摸第个球为黄为事件，摸出第三个球为黑球为件C11则P(A＝，P)＝＝，P()＝＝.10×94530所以P(A＝

P1＝＝，(A＝＝＝P109所以P(∪)＝(B)PCA＝＋＝.39所以所求的条件概率为.【总结提升】．用定义法求条件概率PA)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算PA，(∩B；(3)代入公式求(B)＝

PP典例2第问给出了两种求条件概率的方法一定义法二利用基本事件个数直接作商一重要的求条件概率的方法．．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间Ω中算事件发的概率，即PBA)P(2)在原样本空间Ω中先计算P∩)，(A)，再利用公式P(BA)＝计求得(BA．P为了求杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率（如典例用公式(B∪)＝(B)＋P)可使条件概率的计算较为简，但应注意这个性质的使用前提是B斥．热考全率式．全概率公式－－(1)P(B＝(A)P(B)＋P(A)P(BA)；(2)定理若样本空间中事件A，，，A满：①任意两个事件均互斥，即A＝，i，j＝1,2，，，ij②＋＋＋＝；③(A)0i＝1,2，…，n则对Ω中任意事件B，有B＝＋BA＋…BA，nP(B)＝∑ii．贝叶斯公式

1nij1nijjjjjnii83131235588381nij1nijjjjjnii8313123558838(1)一般地，当＜()且)＞0时有P(AB)＝

PP＝

P－－P(2)定理若样本空间中事件A，，，A满：①任意两个事件均互斥，即A＝，i，j＝1,2，，，ij②＋＋＋＝；③1PA)，i＝，，则对Ω中任意概率非零的事件B有P(A)＝

P＝P∑i－P【拓展叶公式充分体现了PB(AP(B)PBA)(B|)P(AB)之间的转化(AB)＝，P－－P()＝A)PB＝(B)PA，(B)＝P(APBA＋P()P(B)之间的内在联系．【典例】甲箱的产品中有5个品和个次品，乙箱的产品中有个品和3个品．(1)从甲箱中任取个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个品入乙箱中然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是品的概率．【答案））.【解析】(1)从甲箱中任取产品的事件数为2

＝

8×7＝28，这2个产品都是次品的事件数为C2

＝3.∴这个产品都是次品的概率为(2)设事件为从乙箱中取出的一个产品正，事件为从箱中取出产品都是正”，事件B

2为从箱中取出1个品次品，件为“从甲箱中取出2个品都是次，事件B、件、事件B彼互斥．25C1C115P(B)＝＝，PB＝＝，1C214C223P(B)＝＝，3C2285P(AB)＝，PB＝，(＝，13991534∴(A)＝P(B(A＋(B)P(AB＋(BP＝×＋＋＝.131428912

112131231ii1321122331112223331112131231ii1321122331112223331【典例一血液化验用来鉴别是否患有某种疾病患有此种疾病的人群中通化验有的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的者仅占人口的若人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？【答案】32.3%.－－【解析】设A＝呈阳性反应，B＝患此种疾，则(A＝(B)·(A)P)·P)＝＋＝1.47%.所以P(A＝

P0.5%×95%＝＝P1.47%【典例】假定具有症状＝{，，}疾有d，d，三种，现从份有疾病，，的病历卡中统计得到下列数字：疾病

人数

出现S症人数试问当一个具有症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？【答案】推测病人患有疾病较合理．【解析】以A表事件患出现的某些症状，D表事“者患有疾病”(i＝1,2,3)，由于该问题观察的个数很多，用事件的率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知P()＝P()＝

＝，()＝，2＝，(D)＝≈0.967，P(AD＝

500＝，P(AD)＝＝37从而P()PD)PD＋(DPD＋P(AD)PD)＝7＋≈0.76.由贝叶斯公式得P(A＝

P5×0.967＝≈0.493，P0.76P(A＝

P5×0.8＝≈0.276，P0.76P(A＝

P0.35×0.5＝≈0.230，P0.76从而推测病人患有疾病d较合理．【总结提升】．以上三例分别代表全概率公式及其应用、贝叶斯公式及其应用及全概率公式与贝斯公式的综合应

iiniiiiiiii1iiniii1jjjjjjniiiiniiiiiiii1iiniii1jjjjjjnii．利用贝叶斯公式求概率的步骤n第一步：利用全概率公式计算P)即PA＝∑(B)PB)；i第二步：计算()，可利用P()＝PBB求解；第三步：代入(B)＝

P求解．PP贝叶斯式实质上是条件概率公式(B)＝(BA)＝(B(AB)率式(A)＝P(B)(A)P的综合应用．4..若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果体结果怎样未知，那么1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式2如果第二个阶段的某一个结果是已知的要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高.【提醒】n全概率式(B＝(AP(B)解题中体现了化整为零的转化化归想．iP．贝叶斯概率公式反映了条件概率(BA)，概率公式(A)∑(B)(A)及法公式P(AB＝PP(B)P(A)间的关系．P即P(B)＝＝.P∑Pi热考独性条概的系事件的独立性(1)事件A与B相独立的充要条件是P()＝AP(B．(2)当P(B＞0时，A与B独的充要条件是P(A)＝PA)．P（3）如果(A)＞0，A与B独立，则(B)＝P(B)成立．P(B)＝＝＝P(B．PP【典例】判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组名男生2名生；乙组名男生名生．现从甲、乙两组中各1名学参加演讲比赛“甲组中选出男”从乙组中选出1名生；(2)容器内盛有白乒乓球和个黄乒乓球从8个中任意取出1个取出的是白”与从剩下的7个球中任意取出个，取出的还是白球；(3)掷一颗骰子一次出现偶数点”与“出现或6点．【答案】见解析

26643602664360【解析】从组中选出1男生”这事是否发生，从乙组中选出1名女”这事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)从8球中任意取出1个取出的是白的概率若这一事件发生了，“剩下的个球中任意取出1个取出的仍是”的概率；前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)法一：记A：出现偶数点，：现或6点，则A＝{2,4,6}＝{3,6}，＝{6}1211∴(A)＝＝，P(B)＝＝，(AB＝.∴(∩B＝P(A)·P(B)，∴事件A相互独立．法二：由法一可知(B)＝，1又P(B＝＝，3∴(B)＝P(B，∴事件A相互独立．【典例】面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，，C三独立的研究机构在一1定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，.：3(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．【答案】【解析】令事件ABC分表示，，C个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意1可知，事件A，，相独立，且P)＝，P(B)＝，(C)＝.3(1)他们都研制出疫苗，即事件，，同时发生，故111P(ABC＝P(A(B)PC＝×＝.(2)他们都失败即事件，B，同时发生，故P∩B∩＝(APBP)＝(1－P－P(B))(1(C))1＝－－1332＝＝.4

5A5A(3)他们能研制出疫的对立事件为他们都失，合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率3P＝1－P∩∩)1＝.【典例9段线路中并联着个自动控制的常开开关其1个关能够闭合就能正常工作定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，算在这段时间内线路正常工作的概率．【答案】【解析】由题目可获取以下主要信息：开关并联；②每个开关闭合的概率是0.7，闭合与否相互独立．解答本题可先作出一个线路图，再分情况讨论．详解：如图所示，记这段时间内开关K，，能闭为事件由题意这段时间内开关是否能够闭合相互之间没有影响－－－概率公式，这段时间内3个关都不能闭合的概率是(A)－－－＝()P)P)＝－P(A－(B)][1－(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－＝于是这段时间内至少有1个关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是－－－(ABC＝－＝即这段时间内线路正常工作的概率是【规律方法】判断事是否相互独立的方法

A，B，.据相互独立事件的（1）定义法：事件A，相独立

P(∩B)＝(A(B．（2）由事件本身的性质直接判定两个件发生是否相互影响．（3）条件概率法：当P(A时可用(B)＝PB)判断．求相互立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．使用相独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．．求复杂事件的概率一般可分三步进行(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间“并交表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．计算事同时发生的概率常用直接法，当遇至少”“至多”问题可以考虑间接法．

123414iii1122123414iii1122巩提朋自远方来火车机来的概率分别为0.2,0.1,0.4到概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率()AC．

B．D．【答案】C【解析】设A＝乘火车来＝他乘船来，＝乘汽车来＝乘飞机来B＝他迟到．易见：，A，，A构一个完备事件组，由全概率公式得4P(B)＝∑P(A)(B)i＝0.3×0.25＋＋＋0.4×0＝．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%语文不及格的占5%两门都不及格的已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率()A0.2C．

B．D．【答案】AP0.03【解析】记数学不及格为件，语不及格为件，(B)＝＝＝，P所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的率是()11B.C.D.5【案【解析掷黄两枚骰子共＝个基本事件中色子的点数为或的有12个本事件，此时两枚骰子点数之积大于包4×6,6×4,6×5,6×6，共基本事件，所求概率为.．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为，第二台的废品率为0.07加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的，现任取一零件，则它是合格品的概率()AC．

B．D．0.95【答案】D【解析】令B＝取到的零件为合格品A＝件为第i台床的产品i＝由概率公式得：P(B)＝PAP(B＋PA)P)

28281＝×0.96＝0.95.故选．已知A)＝0.6，PA＝且，相独立，则(等()AC．

B．D．法解【答案】A【解析】(A)0.6，PB)＝A相独立，∴(A)＝0.6(B)，∴()＝(A)(B＝0.6×0.3＝．抛掷3枚地均匀的硬币A＝{有面向上又有反面向上}＝{多有一个反面向}则与B的关系是()A互斥事件C．互独立事件

B．立事件D．相独立事件【答案】C1【解析】由已知，有(A)＝1－＝，(B)＝－＝，(A)＝，足P(＝P(A(B)则事件A与件B相互独立，故选C.．把一枚硬币投掷两次，事件＝{一次出现正}B{二次出现正面}则PB)【答案】1【解析】∵PAB＝，(A)＝，P(BA＝1．某种元件用满6000时未坏的概率是，满10小未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用2过6小时未坏，则它能用到10000小的概率为．【答案】【解析】设用满小时未坏为件，用10小未坏为件，则2P(A)＝，PAB)＝P)，所(B)＝＝.P33－．已知与B相独立，且()＝，(B)＝，PA|)＝【答案】【解析】∵A与B相独立，∴()＝(A)(B＝.0

i5153335Ciiiii45i5153335Ciiiii451又P(B＝，所P(A)＝.2－－1∴(B＝()＝1－P(A＝1＝.2．天上午李明要参青年文明号”动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80乙闹钟准时响的概率为，则两个闹钟至少有一个准时响的概率．【答案】【解析】设两个闹钟至少有一个准时响的事件为，则P(A＝1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.11袋中有个黑球5个球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取的球全是白球，则掷出点的概率为________．【答案】【解析】设B＝{出球全是白球}A＝{出i点}(i1,2，，6)，则由贝叶斯公式，得C3×P6C3P(A)＝＝0.04835.61C∑P×iii15．小组有20名手，其中一、二、三、四级射手分别有2、、9、3名又若选一、、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为、、、0.32今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为．【答案】【解析】设B＝{小在比赛中射中目}A＝{i级射手参加比}(i＝1,2,3,4)．4由全概率公式，有(B＝()P(BA)i＝

69＋＋×0.45＋＝20203．同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和在一时间内，求：4(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．19【答案】(1)20【解析】记甲气象台预报天气准为事件，乙气象台预报天气准”为事件.3(1)P(∩B)＝P(B＝×＝.

420iii22ii6777420iii22ii6777(2)至少有一个气象台预报准确的概率为119P＝1－P∩＝1－(A)×P＝1×＝11．甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比分别为，，现从这三个地区任5抽取一个人．(1)求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．【答案），(2)0.337.【解析】设A＝