2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练-《特殊平行四边形》全章复习与巩固（巩固篇）

专题1.28《特殊平行四边形》全章复习与巩固（巩固篇）

（专项练习）

一、单选题

1.在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的

条件可以是（）

A.另一组对边相等，对角线相等B.另一组对边相等，对角线互相垂直

C.另一组对边平行，对角线相等D.另一组对边平行，对角线相互垂直

2.若菱形的两条对角线长分别为6和8,则它的周长为（）

A.14B.16C.20D.24

3.如图，菱形A8CD中，AC=6,BD=8,则CH=（）

A.24B.10C.—D.—

55

4.如图，在菱形A3CO中，ZB=60°,E是的中点，连接AE,DE,与AC交

于点G、以OE为边作等边三角形。EF,连接A尸交DE于点N,交。C于点下列结论：

@DE=—AB^②/E4N=45。；③AE=2拒CM;④点”为A尸的中点.其中结论正确的

2

序号有（）

A.①®@B.①②④C.②③④D.①®@

5.如图，在矩形A8CO中，对角线AC,BO相交于点O,BC=2AB=8,点P是8c上

一点，PEL4c于点E,于点F,若m=PE+PF,则，”的值为（).

AD

B.子4/D,巡

~5~5

6.如图，点E,F,G,H分别为四边形ABC。的边AB,BC,CD,QA的中点.下列

三种说法:

①.四边形EFGH一定是平行四边形；

②.若AC=B£>,则四边形EFG”是菱形；

③.若ACJ_BO,则四边形EFGH是矩形.

其中正确的是（）

A.①B.①②C.①③D.①②③

7.如图，菱形A3。的对角线AC,8。相交于点0,点尸为A8边上一动点（不与点A,

B重合），/石，。4于点£「尸_1_03于点尸.若47=20,80=10,则EF的最小值为（）

A.2A/2B.273C.4D.2#）

8.如图，点。是菱形A8C£>对角线的交点，DE//AC,CE//BD,连接0E,设AC=

12,80=16,则0E的长为（）

9.如图，在正方形ABC。中，AB=4,E为对角线AC上与A,C不重合的一个动点，

过点E作与点F,EGLBC与点、G,连接DE,FG,下列结论:①DE=FG，②DELFG,

③④尸G的最小值为3,其中正确的结论的个数有（）

C.3个D.4个

10.如图，正方形A8CD的顶点A,。的坐标分别是（2,0）,(0,1),则顶点B的坐标是

)

A.(-3,2)B.(3,-2)C.(3,2)D.(2,3)

11.如图，四边形A8CE>,A£FG都是正方形，点E,G分别在边AB,上，连接FC,

过点E作E”〃尸C交BC于点H.若AB=4,AE=\,则FC的长为（)

C.3D.34

12.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正

方形ABCD的边AB在X轴上，的中点是坐标原点0,固定点AB,把正方形沿箭头方

向推，使点。落在y轴正半轴上点”处，则点C的对应点C'的坐标为（）

A.（3>/3,3）B.（3,373）C.（6,3月）D.（6,3）

二、填空题

4

13.如图，在平面直角坐标系xQy中，一次函数y=-§x+4的图像与x轴、y轴分别交

于点A、B,以AB为边作菱形ABC。，8C〃x轴，则菱形ABCC的周长是.

14.如图，在菱形ABCO中，M,N分别在A8,上，且AM=CN,MN与AC交

于点。，连接B0.若如C=35。，则NOBC的大小为度.

15.如图，菱形ABCQ中，对角线AC=6,BD=8,M,N分别是BC,CO上的动点,

尸是线段BO上的一个动点，则PA/+PN的最小值是.

16.如图，A。是△ABC的高，在4B上取一点E,在AC上取一点F,将△ABC沿过E、

产的直线折叠，使点4与点。重合，给出以下判断：①E尸是△ABC的中位线；②ADE尸的

周长等于△ABC周长的一半；③若AB=AC,则四边形AEDF是菱形；④若NBAC是直角，

则四边形AEDF是矩形；其中正确的是.

17.如图a,A8C。是长方形纸带（A£>〃BC）,ZDEF=20。，将纸带沿EF折叠成图6,

再沿B尸折叠成图c,则图c中的NCFE的度数是.

18.如图，在矩形ABC。中，连接AC,以点A为圆心，小于A3

的长为半径画弧，分别交A。，AC于点E,F,分别以点E,尸为圆心，大于;E尸的长

为半径画弧，两弧在ND4C内交于点G,作射线4G,交。C于点H.若A£>=6,AB=8,

则△A”C的面积为

19.如图，连接四边形A8CD各边中点，得到四边形EFG”,还要添加一个条件

A8=6,8C=10,点E是AO的中点，将AABK沿8E折叠后

△ADE沿AE

对折至△AFE,延长E尸交边BC于点G,连接AG、CF,则下列结论：①AAfiG2"FG；

②N4GB+ZAE£)=135。③G尸=3；④AGHCF；其中正确的有.（填序号）.

22.如图，直线L经过正方形A6co的顶点A,分别过点8、。作。EJL/于点E,

BFLI于点、F,若£>E=4,BF=5,则EF的长为

23.如图，在四边形A8C£>中，AC_L8。，点、E,F,G,，分别是AB,BC,CD,

D4的中点，若AC=6,80=8,则四边形EEG”的面积是

24.如图，点E是正方形A8C。边8c上一点，连接4E,将△48E绕着点A逆时针旋

转到△AFG的位置（点F在正方形ABCD内部），连接0G.若4B=10,BE=6,DG//AF,

则CH=—.

三、解答题

25.如图，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，四边形ABC0是菱形，点A的坐标

为（-3,4）,点C在x轴的正半轴上，直线AC交）轴于点M,A8边交）轴于点“，连接

(1)填空：菱形ABC。的边长=；

(2)求直线AC的解析式；

(3)动点尸从点A出发，沿折线A-3-C方向以3个单位/秒的速度向终点C匀速运动,

设MMB的面积为S(SH0),点P的运动时间为，秒，

①当0<f<g时，求S与f之间的函数关系式；

②在点尸运动过程中，当S=2,请直接写出/的值.

26.如图，在矩形A5CO中，AB=8,8C=20,点P从点。出发向点A运动，同时，

点。从点B出发向点C运动，当点尸运动到A点时，两点都停止.连接PQ、AQ、CP,设

点尸、。运动的时间为，秒.

(1)若「、。的速度都为每秒1个单位.当，=时，四边形4QCP为菱形;

(2)若尸的速度为每秒3个单位，。的速度为每秒1个单位.

①当峥时，四边形ABQP是矩形；

②当，为何值时，线段PQ长为12,请说明理由.

27.综合与实践

如图1,正方形ABCO的对角线AC与8。交于点O,NMON=9()。，两边分别与A8,

8c交于点E,F.

(1)OE与。尸的数量关系为；(直接写出答案)

(2)如图2,点。是正方形对角线8。上一点，ZMON=90°,经过点A,ON交BC干

点E,连接OC.猜想线段0C与OE的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在图2的基础上，连接4E,点G是AE的中点，分别连接OG,BG.判断

△8OG的形状，并说明理由.

28.阅读下列材料并完成相应的任务

等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等"、”分

割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相

等”等性质解决有关数学问题.在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思

路清晰，解题过程简便快捷.

如图，矩形A8CD的边A8上有一动点E,以EC为边作dt/G,且边尸G过矩形的顶

点。，在点E从点A移动到点8的过程中，oECPG的面积如何变化？

小亮的观点:过点。作DH1CE于点H,连接DE.CE与DH的乘积始终等于CDAD,

所以奴尸G的面积不变.

小明的观点：在点£的运动过程中，CE的长度在变化，而CE与FG两条平行线间的距

离不变，所以oECFG的面积变化.

任务：你认为小亮和小明谁的观点正确？正确的写出完整的证明过程.

参考答案

1.D

【分析】

根据菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定逐项判断即可得.

解：A.一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则此

项不符题意；

B.一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，

则此项不符题意；

C.一组对边平行，另一组对边平行，时角线相等的四边形可以是矩形，不一定是

菱形，则此项不符题意；

D.一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项符

合题意；

故选：D.

【点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定，熟练掌握菱形的判定

是解题关键.

2.C

【分析】

根据菱形的对•角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的

边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.

解：如下图所示，

根据题意得A0=gx8=4,3O=gx6=3,

•••四边形A8CD是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,ACLBD,

...△AOB是直角三角形，

AB=y/AO2+BOr=742+32=5，

二菱形的周长为：5x4=20,

故选：C.

【点拨】

本题考查「菱形的性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出菱形的边长，同时

也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每

一条对角线平分一组对角.

3.D

【分析】

利用菱形的性质先求解菱形的边长，再利用等面积法求解A"，再利用勾股定理可得答

案.

解：如图，AC,8。交于点0,

菱形AC=6,80=8,

\OA=OC=3,OB=OD=A,AB=BC=CD=AD,

\BC=^OB'+OC2=5,

QAHLBC,

由；ACg/iD=BC舂H可得:

、c小而B寸2一赣=T

故选D

【点拨】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，熟练的运用菱形的对角线互相垂

直平分是解本题的关键.

4.D

【分析】

根据菱形的性质、等边三角形的性质即可判定①；证明△DAETz^DCF,故可判断②;

连接CF,过点A作A4LOC于点“，证明AAMH丝△FMC,故可判断③④.

解：,••四边形A8CD是菱形，

：.AB=AD=BC,

XVZB=60°,

.•.△ABC是等边三角形,

点是8c中点，

：.AE±BC,AB=2BE,

：.AE2=AB2-BE2=AB2-2=-AB2,

24

DE=y/AE2+AD2=J-AB2+AB2=—AB.

V42

故①错误；

•四边形A8C。是菱形，Z5=60°,AB=BC,

.'.△ABC、△ACO是等边三角形，AD//BC,/8AE=NCAE=30。,

设BE=CE=af则AB=BC=AC=2a,

•ME二yjAB2-BE2=y/3a，

VADEF.△ACO是等边三角形，

：.AD=CD9ED=FE,ZADC=ZEDF=60°f

:./ADC-/EDC=/EDF-/EDC,

:.AADE-ACDF,

又AD=CD,ED=FD,

/.△DAE^ADCF(SAS),

・•・AE=CF,ZDAE=NDCF=/DAC+ZC4E=60°+30o=90°,

ZDCF=90°,

/.ZACF=ZACD+ZDCF=150°,

■:AC处E,AE=CFf

:.NC*CF,

AZCAF^ZCM=15°,

Q

・・・ZEAN=ZEAC+ZCAF^45f

故②错误；

连接CR过点A作于点儿

•：AHLCD,AC=ADf

：.ZA/7A/=ZFCM=9O°,CH=DH=a,AH=AE,

VCF=AE,AH=AEf

:・AH=FC,

又NAMH=NFMC,

(AAS),

：.AM=FM,CM=HM,

.•.点M为AF的中点，

故④正确；

AE-yfia<CM--CH=-CE=-a,

222

•••AE=2&M,

故③正确；

故选：D.

【点拨】此题主要考查菱形、等边三角形及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟

知等边三角形的性质、全等三角形的判定定理.

5.D

【分析】

连接P0,由矩形的性质和勾股定理得求得OB=OC=2后，再由S^BOC=S&B。"+S&COP求

得PE+PF的值即叽

解：如图，连接P0,

；8C=2A8=8,

：.AB=4,

:四边形ABC。是矩形，

.../A8C=90°,S^ABCD=AB-BC=4x8=32,OA=OC,OB=OD,AC=BD,

2222

：.AC=BD=-JAB+BC=A/4+8=4#),S^AOl)=；Sik^ABCD=8,OB=OC=^AC=

2A/5,

"：PELAC,PFLBD,

S^BOC=S&BOR+S^C（）P=；0BPF+；0C・PE=；0B（PE+PF）=；x2&（PE+P尸）=8,

8g亚

:.PB+PF=—=壬,

V55

nn8近

即m------,

5

故选：D.

【点拨】本题考查矩形的性质，熟记矩形的性质及三角形的面积公式是解题的关键.

6.D

【分析】

根据三角形中位线定理得到E"〃瓦）,GF〃瓦/〃AC,GF=；BD,EF=

^AC,根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可.

解：•.•点E,F,G,H分别为四边形ABC。的边AB,BC,CD,D4的中点，

/.EH//BD,GF//BD,EF//AC,EH=-BD,GF=-BD,EF=-AC,

222

\EH//GF,EH=GF,

•••四边形EbGF是平行四边形，故①符合题意；

若AC=BD,则EF=EH,

•••平行四边形EHG尸是菱形，故②符合题意；

若AC_L8£>,则EFJ_E/7,

二平行四边形尸是矩形，故③符合题意；

故选：D.

【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形

的判定定理是解题的关键.

7.D

【分析】

连接0尸，证明四边形OEPF是矩形，得到：EF=OP,当OP_LM时，0P

的值最小，利用:•OA.OBn?.。尸.A3,求出。尸的最小值即可,

22

解：连接OP,

是菱形，AAC±HD,UPZAOB=90°,

VPEVOA,PFYOB,

二四边形OEP尸是矩形，

，EF=OP,

当OP_LAB时，OP的值最小，

VAC=20,80=10,

AO=10,OB=5,AB=5^/5»

,?-.OA.OB=-.OP»AB,

22

OP=2y/5,即EF的最小值为：2妍，

故选：D.

【点拨】本题考查菱形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，等面积法，解题的关键

是证明所=0尸，当O尸时，O尸的值最小，利用等面积法求出。尸的长.

8.C

【分析】

先证明四边形OCED为平行四边形，再利用菱形的性质证明ZDOC=90。，求解

CD=10,再证明平行四边形。CEO为矩形，再利用矩形的性质可得答案.

解：'：DE//AC,CE//BD,

四边形OCEO为平行四边形，

:四边形ABC。是菱形，AC=\2,BD=\6,

：.ACA.BD,OA=OC=-AC^6,OB=OD=-BD=S,

22

AZD(?C=90°,CD=yjo^+OD2=762+82=10,

二平行四边形OCEO为矩形，

：.OE=CD=\0,

故选：C.

【点拨】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知

识是解题的关键.

9.C

【分析】

连接8E交尸G于，，延长OE交A8于/,交FG于J.根据正方形的性质，全等三角形

的判定定理和性质确定BE=OE,根据正方形的性质，矩形的判定定理和性质，等量代换思

想即可判断①符合题意；根据矩形的性质，等边对等角，全等三角形的性质和等价代换思想

即可判断③符合题意；根据直角三角形两个锐角互余，等量代换思想和三角形内角和定理即

可判断②符合题意；根据垂线段最短确定当DELAC时，FG取得最小值为OE,根据正方

形的性质和三角形面积公式即可判断④不符合题意.

解：如下图所示，连接8E交FG于”，延长OE交A8于/,交尸G于J.

:四边形A8CO是正方形，

：.AB=AD,NBAE=NDAE,N尸8G=90°.

ABEFUAAOE的公共边，

AABE^/XADE(SAS).

：.BE=DE.

'：EFLAB,EGIBC,

四边形尸8GE是矩形.

：.BE=FG.

：.DE=FG.

故①符合题意.

矩形FBGE的对角线相交于点H,

：.HF=HB.

：.ZABE=ZBFG.

:AABE以ADE，

，NABE=NADE.

：.ZBFG=ZADE.

故③符合题意.

•••四边形A8co是正方形，

，ZDA/=90°.

，ZA/D+ZADE=90°.

ZAID+ZBFG=90°.

.•./E//=180°-QNAIDMBFG)=90°.

：.DELFG.

故②符合题意.

"：DE=FG,

二当DE取得最小值时，FG取得最小值.

；点E是对角线AC上与A,C不重合的一个动点，

,当。ELAC时，DE取得最小值,即FG取得最小值为£>£

:正方形A8C。中，AB=4,

：.AD^CD=AB^4,ZADC=90°.

•,-5AACD=|ADCD=8,AC=Jm+S=40

：.DE=^^=2g.

AC

."G的最小值为20.

故④不符合题意.

故①②③，共3个符合题意.

故选：C.

【点拨】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，矩形的判定定理和性质，等边

对等角，直角三角形两个锐角互余，三角形内角和定理，垂线段最短，综合应用这些知识点

是解题关键.

10.C

【分析】

过点8作冗轴的垂线交于E,证明以△。4。二心△E8A(A4S),得OD=AE,OA=BE,根

据A(2,0),£>(0,l),得出8=AE=1Q=BE=2,即可求解.

:.ZOAD+ZODA=90°,

ZOAD+ZBAE=90°,

:.ZODA=ZBAE9

・•・DA=AB,ZDOA=ZAEB=90°,

/.Rt^OAD=Rt^EBA(AAS),

OD=AE,OA=BE,

・・•A(2,0),0(0,1),

.\OD=AE=tOA=BE=2,

:.OE=3,BE=2,

「•5(3,2),

故选：C.

【点拨】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质、图形于坐标，解题

的关键是掌握正方形的性质.

11.D

【分析】

求出BE的长，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求出四边形EFCH平行

四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=C，，再根据正方形的性质可得AB=BC,

AE=EF,然后求出即可得解.

解：'：AB=4,AE=\,

：.BE=AB-AE=4-1=3,

•.•四边形ABC。，4EFG都是正方形，

.,.AD//EF//BC,

又,：EH〃FC,

四边形EFC”平行四边形，

：.FC=EH,

•••四边形A8CD,AEFG都是正方形，

：.AB=BC,AE^EF,

：.AB-AE=BC-CH,

；.BE=BH=3.

由勾股定理得：EH=\lBE2+BN2=372.

FC=3>/2

故选：D.

【点拨】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出四边形

EPC”平行四边形是解题的关键，也是本题的难点.

12.C

【分析】

由已知条件得到A〃=AD=6,AO=gA8=3,根据勾股定理得到8'=JADH=38，

于是得到结论.

解：：AZy=AO=6,且A3的中点是坐标原点。，

：.A0=^AB=3,

ob=^AET-OJ^=3后，

'：CD'=6,CD'//AB,

AC（6,373）,

故选：c.

【点拨】

本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关

键.

13.20

【分析】

先求出一次函数与坐标轴的交点A、8的坐标，再利用勾股定理或两点间的距离公式计

算出线段的长，最后利用菱形的性质计算周长即可.

解：令>=0,得一gx+4=0,解得x=3,A（3,0）,OA=3.

令x=0,得y=4,3（0,4）,08=4.

在RsAOB中，AB=JOT+OB?=^32+42=5.

:四边形ABCO是菱形，

：.AB=BC=CD=DA.

C箜舷ABCO=4AB=4x5=20.

故答案为：20.

【点拨】本题是一道函数与几何的综合题.重点考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求

法，两点间的距离公式（或勾股定理），菱形的性质.如果是使用两点间距离公式，注意公

式的正确使用：设点A&,*），8（毛,%），则A、8两点间的距离为48="川-xj.

14.55

【分析】

根据菱形的性质以及AA/=CN,利用AS4可得AAMgACNO,可得49=CO,然后

可得5。，AC,继而可求得NO8C的度数.

解：：四边形A3CD为菱形，

AB//CD,AB=BC,BC//AD,

：.ZMAO=ZNCO,ZAMO^ZCNO,

在△AMO和ACNO中，

/MAO=NNCO

<AM=CN,

ZAMO=ZCNO

・・・△AMOGACNO(ASA),

AO=CO,

"：AB=BC,

：.BOIAC,

NBOC=90°,

TND4c=35。，BC//AD

ABCA=ADAC=35°,

ZOBC=90°-35°=55°.

故答案为：55.

【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质.灵活

运用菱形的性质是解题的关键.

15.—##4.8

5

【分析】

作点M关于直线BD的对称点AT，连接M',P,连接AT,N,根据垂线段最短原理，

当，8时，PM+PN的值最小，根据菱形的性质表示菱形的面枳,然后计算求解即可.

解：如图，作点M关于直线8D的对称点AT,连接AT,P,连接MN,

则PM+PN=PM'+PN,

根据垂线段最短原理，当MNLCD时，PM+PN的值最小，

,••菱形ABCO中，对角线AC=6,BD=8,对角线的交点为O,

；.OA=3,。8=4,AOA.OB,

山勾股定理得AB=JaV+OB?=5,

:.CDxMN=>xACxBD,Bp5M?V=-x6x8,

22

24

解得M7V=W，

故答案为：—.

【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称，垂线段最短原理，熟练掌握菱形

的性质，轴对称的性质，垂线段最短原理是解题的关键.

16.③

【分析】

由折叠的性质及垂直的条件可得点E、尸分别是48、AC的中点，从而可判定①正

确；由中位线定理即可判定②正确；由A8=4C及瓜F分别为中点可得AE=AF,由

折叠的性质即可判定③正确；当A8与4c不相等时，点。不是8c的中点，则。E与4。不

平行，从而四边形AEQF不是平行四边形，故不是矩形，从而可判定④错误.

解：由折叠性质得：AE=DE,且

ZEAD=ZEDA

'：ADLBC

；.NEDA+NEDB=90°,ZEAD+ZB=90°

：.NEDB=NB

：.DE=BE

：.DE=AE

即点E是AB的中点

同理：点厂是AC的中点

二£厂是4ABC的中位线

故①正确

•••EF是AABC的中位线

EF=-BC

2

VAE=-AB,AF=-AC

22

△4EF的周长为AE+EF+AF=g(AB+8C+AC)

而4ABC的周长为AB+BC+AC

.♦.△AE尸的周长等于△42C周长的一半

故②正确v

\'AB=AC,E、尸分别是AB、AC的中点

：.AE=AF

"：AE=DE,AF^DF

:.AE=DE=DF=AF

即四边形是菱形

故③正确

当A8与4c不相等时，点。不是8c的中点，则QE与AC不平行，从而四边形

AE。厂不是平行四边形，故不是矩形

故④错误

故答案为：①②③

【点拨】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定，折叠的性质等知识，由题意得到

E、尸分别是中点是解题的关键.

17.120°##120®

【分析】

由平行线的性质知NOEF=NEF8=20。，进而得到图b中NGFC=140。，依据图。中的

NCFE=ZGFC-NEFG进行计算.

解：VAD//BC,

：.NDEF=NEFB=20。,

在图b中NGFC=180。-2ZEFG=140°,

在图c中NCFE=AGFC-NEFG=120。.

故答案为：120。.

【点拨】此题考查平行线的性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称

变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.

18.15

【分析】

由作图过程可得4〃平分/D4C,过点〃作HQJ_AC于点。，根据角平分线的性质可

得DH=QH,然后证明RdA。”（Hi,）,可得A£>=AQ=6,所以CQ=AC-AQ

=10-6=4,再根据勾股定理可得“。，进而可以解决问题.

解：由作图过程可知：平分/D4C,

D

AB

如图，过点“作HQLAC于点Q,

・・♦四边形A3c。是矩形，

.*.ZD=90°,

：.DH=QH,

,.・AD=6,DC=AB=8,

・"C=^AD2+DC2=V62+82=10,

：.HC=DC-DH=8-HQt

在RtAADH和/?/△AQH中，

jAH=AH

[DH=QH'

：.Rt/^ADH^RtLAQH(HL),

：.AD=AQ=69

：.CQ=AC-AQ=10-6=4,

在即△C〃Q中，根据勾股定理得：

CH2^CQ2+HQ2,

...(8-HQ)2=41+HQ2,

解得HQ=3,

...△4，。的面积=；*40”。=5、10x3=15,

故答案为：15.

【点拨】本题考查了作图一基本作图、角平分线的性质,矩形的性质、全等三角形的判

定与性质及勾股定理，掌握基本作图方法是解决本题的关键.

19.ACA-BD

【分析】

根据三角形的中位线平行于第三边，〃G〃82现〃AC,根据平行线的性质可得：

NEHG=N1,Nl=/2,再证明四边形EFGH是平行四边形，当/EFG=90。，四边形

EFGH是矩形，所以N2=90°,因此4CJ_8/).

VG,H、E分别是BC、CD、AO的中点,

HG//BD,EH//AC,

:.NEHG=N1,ZI=Z2,

.\Z2=Z£/7G,

同理：EF//BD,FG//AC,

\EF//HG,EH//FG,

四边形EFG”是平行四边形，

当ZEHG=90°,四边形EFGH是矩形，

：.Z2=90°,

：.AC±BD.

故还要添加AC±HD,才能保证四边形EFGH是矩形.

【点拨】本题主要考查三角形的中位线定理和矩形的四个角都是直角的性质，熟练掌握

定理和性质是解题的关键.

251

20.—##4-

66

【分析】

连接所，根据已知条件，利用"HL”证明RtAEOF丝Rt^EGF,得出。尸=G尸，设

OF=FG=x,根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可.

解：连接EF,如图所示:

•・•四边形A8c。为矩形，

AAD=BC=10,DC=AB=6,ZA=Z£）=ZC=90°,

・.・E•是A。的中点，

AE=DE=-AD=5,

2

l△ABE沿跖折叠后得到&GBE,

；.AE=EG=5,AB=BG=6,ZBGE=ZA=90°,

ZEGF=180°-ZBGE=90°,EG=ED=5,

[ED=EG

・・•在Rt^EDF和RtEGF中〈，

A[EF=EF

RjEDF丝RtAfGF（HL）,

:.DF=FG,

^DF=FG=x,则3尸=6+x,CF=6—x,

在RS8C/中，BC2+CF2=BF2,

.-.102+（6-X）2=（6+X）2

解得x=2§5.

6

故答案为：乡25.

6

【点拨】本题主要考查了了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，作出辅

助线，构造全等三角形，证明。尸=GF,是解题的关键.

21.③④

【分析】

根据折叠，得至IJA£>=AF,ZD=ZAF£=90°,推出A8=AF,NAFG=NB=90。，可证明

RtAABG^RtAAFG,即可判断①正确；根据ZDAE=NE4£N8AG=NE4G,进而可得

/GAE=45。，根据三角形内角和定理即可得N4EF+/4Q尸=135。，得到/AG8+/AEO=

135°,进而判断②正确；设BG=Gb=x,贝lJCG=6-x,EG=x+2,CE=4,在RsEGC

中，根据勾股定理建立方程(x+2)2=(6-x)2+42,解方程可得G歹=3,即可判断③正确；

根据BG=FG=3,得至UCG=BC-BG=6-3=3,得到CG=FG,推出NGCF=/GFC,根据

ZAGB=ZAGF,得至Ij/BGF=2NAGF=2NGFC,得至l1/4GF=NGFC,推出4G〃CF,即可

判断④正确

解：•••四边形438是正方形，

,ZD=ZABC=ZDAB=ZBCD=90°,AB=BC=CD=AD=6,

"：CD=3DE,

：.DE=2,

：.CE=4,

,/将AAOE沿AE对折至AAFE,

：.ZAFE^ZADE=90°,AF=AD,EF=DE=2,

：.ZAFG=ZABG=90°,AF=AB,

在RSA8G和Rt^AFG中，

JAB=AF

[AG=AG'

：.Rt^ABG^Rl^AFG(HL),

，①正确；

,/将AAOE沿AE对折至A4FE,

:.ZDAE=ZEAF,

Rt^ABG^R^AFG,

：.ZBAG=ZFAG,

,:ADAE+ZEAF+ZBAG+ZFAG=ZDAB=90°,

ZEAG=ZEAF+ZFAG=-/DAB=45°,

2

・・・ZAEF+ZADF=\35\

：.ZAGB+ZAED=135°,

・..②正确；

设BG=GF=x,则CG=6-x,EG=x+2,

,:CE=4,

，(x+2)2=(6-x)2+42,

解得％=3,

:.BG=GF=3,

・••③正确；

♦：BG=FG=3,

:.CG=BC-BG=6-3=3,

:・CG=FG,

：.ZGCF=ZGFCf

・・♦ZAGB=ZAGF9

・•・NBGF=2NAGF=2NGFC,

:./AGF=/GFC,

：.AG//CF

...④正确；

故答案为：①②③④.

【点拨】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三

角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

22.9

【分析】

利用同角的余角相等，证得NS4尸=根据垂直定义，得NAM=NA£D=90。，

结合已知，证得AZME也,进而证得4/=。£=4,AE=BF=5,据此可求出

Eb=A尸+4石=4+5=9,问题得解.

解：・・,四边形A8CO是正方形,

AAD=ABfZZMB=90%

：.ZBAF+Z.DAE=90°

VDEll

・,.ZDAE+ZADE=90°

JZBAF=ZADE

VDE1Z,BFll

：.ZAFB=ZAED=9G0

在△以£和AABF中

'NAED=NAFB

'：，ZBAF=ZADE

AD=AB

^DAE^ABF

：.AF=DE=4,AE=BF=5

，EF=AF+AE=4+5=9

故答案为：9

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，正确寻找全等三

角形，学会利用同角的余角相等是解本题的关键.

23.12

【分析】

根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFG”为矩形，根据矩形的血积

公式计算，得到答案.

解：：点E，F,G,H分别是48,BC,CD,ZM的中点，

/.EF=—AC=3,EF//AC,GH=gAC=3,GH//AC,EH=鼻BD=4,EH//BD,

222

AEF=GH,EF//GH,

四边形EFGH为平行四边形，

vACABD,

:.EFLEH,

二平行四边形EFGH为矩形，

S四边形EFGH=3x4=12,

故答案为：12.

【点拨】此题考查了中点四边形，解题的关键是掌握三角形中位线定理、矩形的判定定

理.

~20

24.—

3

【分析】

由“HL”可证RfAA/H三,可得FH=DH,由“AA夕可证AZ5HG三AF/W,可得

HG=HN,可得PF=£W=6,再由勾股定理可求AP、FN、DH,即可求解.

如图，连接过点b作/W1_CO于点N,FPLAD于点P,

•・・将^ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置，

AB=AF,ZABE=ZAFG=90°,BE=FG=6f

.\AF=AD,

・・•四边形ABC。是正方形，

/.ZADH=90°.AB=ADt

ZADH=ZAFH=90°,AD=AF9

又・.・47=A//,

Rt\AFH=Rt\ADH(HL),

:.FH=DH,

­.DG//AF,

:.ZAFG=ZDGF=90°,

:"DGH=NFNH=90。,

・・・4DHG=/FHN,

\DHG=\FHN(AAS),

:.HG=HN,

:.DN=DH+HN=FH+HG=FG=6,

•；FN工CD,FPA.AD,ZADC=90°.

・•・四边形PEW尸是矩形，

:.PD=FN,PF=DN=6,

：.AP=>JAF2-PF2=8^

:.PD=2=FN,

FH-=HN2+FN2,

DW2=(6-DH)2+4,

：.CH=DC-DH=—

3

20

故答案为：y

【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、矩形的判定廿性质，全等三角形的判

定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

25.(l)5(2)y=x+；(3)①S=+；②/或?

乙乙'X,。J

【分析】

(1)在RAAOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；

(2)根据(1)即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直

线AC的解析式；

(3)①根据求得M到直线8c的距离为/?,然后分成P在48

上和在BC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解.

②将S=2代入①中的函数解析式求得相应的r的值.

(1)解：：点人的坐标为(—3,4),

A〃=3,4O=4

在RmAOH中

AO=y/AH2+OH2=V32+42=5，

故答案为：5；

(2)；四边形48co是菱形，

/.OC=OA=AB=5,即C(5,0).

设直线AC的解析式产区+从函数图象过点A、C,

得15-3kA++b6==04

解得s

b=-

2

直线AC的解析式为y=一白+|,

⑶由y=-1x+1，令x=0,y=,则贝!JOM=1",

NN乙乙）N

①当（xr<|tft,

BP=BA-AP=5-3t,HM=OH-OM=4--=-,

22

Iiaa15

・•.S=-BPHM=-x-x（5-3t}=——f+—,

222'744

44

备用图

②设历到直线BC的距离为h,

SABC=S„AMB+SBMC=-ABQH=-AB-HM+-BC»h

A222

—x5x4=—x5x—+—x5/z

2222

解得〃=|,

'与§<f<—时，BP=3r-5,/t=—>

915

当S=2时，代入S=