2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练-《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础篇）

专题1.27《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础篇）

（专项练习）

一、单选题

1.如图，在四边形ABC。中，AB]\CD,BC\\AD,且AD=DC,则下列说法：①四边

形488是平行四边形；②AB=BC；@AC1BD；④AC平分NBA。；⑤若AC=6,BD=8,

则四边形ABCQ的面积为24,其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.如图，在菱形A8CD中，直线MN分别交4B、OAC于点M、N和。.且AM=CN,

连接80.若NOBC=65°,则ND4c为()

C.25°D.20°

3.两个边长为2的等边三角形如图所示拼凑出一个平行四边形ABCQ,则对角线BO的

C.V3D.2上

4.如图，在菱形中，NABC=40。，点E为对角线8。上一点，F为仞边上一

点，连接AE、CE、FE,若AE=FE,ZBEC=56°,则NDEF的度数为（)

A.16°B.15°C.14°D.13°

5.如图，在△ABC中，AC=BC,D、E分别是边AB、AC的中点，4ADE沿ACFE,则

A.菱形B.矩形C.正方形D.无法确定

6.如图，在RtZXABC中，D、E分别是直角边BC、AC的中点，若£>£=10,则A3边

上的中线CP的长为()

A.5B.6C.5x/3D.10

7.如图，在矩形ABC。中，E尸是对角线AC的垂直平分线，分别交AB,CO于点E,

F,若AB=8,AO=4,则EF的长为（）

A.4B.8C.x/5D.2石

8.如图，矩形力8CO的顶点A(l,0),3(0,2),8(5,2),将矩形以原点为旋转中心，顺

时针旋转75。之后点C的坐标为(）

A.（4,-2）B.（4衣-20）C.（40,-2）D.（2^6,-2^）

9.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角

形拼接而成，其中AE=5,BE=13,则E尸的值是（）

A.128B.64C.32D.144

10.正方形A8CD的边长为4,点M,N在对角线4c上（可与点A,C重合），MN=2,

点P,。在正方形的边上.下面四个结论中错误的是（）

A.存在无数个四边形P/WQN是平行四边形

B.存在无数个四边形PMQN是矩形

C.存在无数个四边形PMQN是菱形

D.至少存在一个四边形PMQN是正方形

11.如图，在正方形ABC。中，等边AAEF的顶点E,尸分别在边BC和C£＞上，则NAE3

等于（）

A.60°B.70°C.75°D.80°

12.如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,。是BC中点，分别以A8,AC

为边向外作正方形4BEF和正方形ACGH,连接F。、HD,若3C=10,则阴影部分的面

积是（）

A.5/B.10x/2C.25D.50

二、填空题

13.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,DE//AC,CE//BD,已知AB=6cm,BC=8cm,

则四边形ODEC的周长为cm.

14.如图，平行四边形ABC。的对角线AC与交于点。，请你添加一个条件使它是

15.如图，已知菱形ABCD的对角线AC,2。的长分别为6,4,则AB长为

16.如图，菱形4BC。中，E、/分别是AB、4c的中点，若E尸=3,则CD的长是

17.如图，在矩形45CQ中，AB=6,8c=8,。是矩形的对称中心，点E、F分别在边

AD.BC上，连接OE、OF,若AE=BF=2,贝iJOE+OF的值为.

18.如图，菱形ABCO的对角线AC,BZ）相交于点O,过点。作，3c于点H,连

接OH,若。4=4,5箜.88=24,则的长为

19.如图，四边形纸片ABCD中，ZC=ZD=90°,AD=3,BC=9,8=8,点£

在8c上，且4EJ.BC.将四边形纸片ABC。沿4E折叠，点C、C分别落在点C'、W处，CD

与AB交于点F,则8尸长为.

20.我们把宽与长的比为黄金比（苴二1）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形

2

ABC。中，AB<BC,BC=4,48C的平分线交4。边于点E,则AE的长为.

21.图，正六边形ABCDEF的顶点B、C分别在正方形AGHI的边AG、G，上，若A8=2,

则AG的长度为.

ED

22.如图，已知小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形AAGR；

把正方形AqGR的各边长按原法延长一倍得到正方形A/BzGA;以此进行下去…则正方

形4()22B2022c202202022的面积为

23.如图，正方形ABC。的边长为6,点E,F分别为边BC,CQ上两点，CF=BE,

AE平分N2AC,连接BF,分别交AE,AC于点G,M,点尸是线段AG上的一个动点，过

点P作PNL4C,垂足为N,连接PM,则PM+PN的最小值为.

D

24.如图，在平面直角坐标系中，有一个由四个边长为1的正方形组成的图案，其中点

A坐标为(3,7),则点B坐标为

-Ox

三、解答题

25.如图，在菱形ABCD中，BELCD于点、E,OFL8C于点尺

⑴求证：BF=DE；

(2)分别延长BE和AO相交于点G,若NA=45。，AB=1,求0G的值.

26.如图，AABC中，ZABC=90°,。为AC的中点，连接80并延长至。使0。=。8,

连A。、CD.

(1)求证：四边形A8C。为矩形；

⑵若NAOB=60。，E为BC的中点，连OE,0E=2.求对角线的长及矩形的面积.

AD

27.(1)方法感悟：如图1,在正方形A8C£＞中，点E,F分别为。C,8C边上的点，

且满足NEAF=45。，连接EF,求证：DE+BF=EF.

感悟解题方法，并完成下列填空：

将△4DE绕点4顺时针旋转90。得到△ABG,此时AB与4。重合，由旋转可得：

AB=AD,BG=DE,/1=N2,NABG=/。=90。，

ZABG+ZABF=90°+90°=180°.

因此，点G,B,H在同一条直线上.

NEA尸=45°,；.Z2+N3=NBAD-N£4尸=90°—45°=45°,

.♦.Nl+N3=45°.即NGAF=N______.

又：AG=AE,AF=AF,

：.ZXGA$______.

=EF.故DE+BF=EF.

(2)方法迁移：如图2,将放AABC沿斜边翻折得到△AOC,点E,F分别为。C,BC

边上的点，且/E4F=；ND4B.试猜想。E,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

(3)问题拓展：如图3,在四边形ABC。中，AB=AD,E,F分别为。C,BC上的点，

满足NE4F=；ND4B,试猜想当N8,满足什么关系B寸，可使得。E+BF=EF?请说

明理由.

图1图2图3

参考答案

1.D

【分析】

由BC//AD,可知四边形ABCZ）是平行四边形，可判断①的正误；由AQ=

DC,可知平行四边形4BC7）是菱形，根据菱形的性质可判断②③④⑤的正误.

解：VAB//CD,BC//AD,

四边形ABC。是平行四边形，故①正确；

\'AD=DC,

二平行四边形4BCO是菱形，

：.AB^BC,ACA.BD,AC平分Z8A。，故②③④正确；

；AC=6,8。=8,

.,.菱形A5C。的面积=1ACX8Z）=LX6X8=24,故⑤正确；

22

正确的个数有5个，

故选D.

【点拨】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质.解题的关键在于证明四边

形A8C。是菱形.

2.C

【分析】

根据菱形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定定理和性质确定BA=BC,OA=OC,

根据等腰三角形三线合一的性质确定NBOC=90。，根据三角形内角和定理和平行线的性质即

可求出ND4c.

解：；四边形48CD是菱形，

AAB||CD,BC//AD,BA=BC.

：.ZOMA=ZONC,NOAM=NOCN,ZDAC=ZOCB.

'：AM=CN,

：.△Q4M四△OCN（ASA）.

：.OA=OC.

C.BOVAC.

：.ZBOC=W0.

VZOBC=65°,

ZOCB=180°-ZBOC-ZOBC^25°.

N£MC=NOC8=25°.

故选：c.

【点拨】本题考查菱形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定定理和性质确，等腰

三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，综合引用这些知识点是解题关键.

3.D

【分析】

连接8。交AC于点。，由平行四边形和等边三角形的性质，易证四边形"CD是菱形，

可求得A8=2,A0=\,由勾股定理可求得B0=6,继而可求得对角线即的长.

解：如图，连接8。交AC于点0,

由题意可得△4%和△ACZ）是等边三角形，且边长都为2,

AB=BC=CD=DA=AC=2,

四边形AfiCD是菱形，

AAO=-AC=\,BD=2B0,ACLBD,

2

在RhABO中，由勾股定理得：BONABjO2=后-任=百，

BD=2BO=2石.

故选：D.

【点拨】本题主要考查了菱形的判定与性质、勾股定理，灵活运用菱形的性质和勾股定

理求解是解题的关键.

4.A

【分析】

先求出NBAO=140。，ZADB=ZABD=20°,然后证明△ABE丝ZXCBE得到

NBEA=NBEC=56°,则/BAE=104。，ND4E=36。，证明/£：用=/"尸=36。，则由三角形外

角的性质可得NOEF=/E阳-NEDF=16。.

解：；四边形48CD是菱形，乙48c=40。，

：.AB=CB=AD,NABE=NCBE=20°,AD//BC,

：.ZBAD=140°,ZADB=ZABD=20°,

又：BE=BE,

:.AABEmACBE(SAS),

NBEA=NBEC=56°,

：.ZBAE=104°,

：.NZME=36°,

；AE=FE,

：.ZEFA=ZEAF=36°,

：.ZDEF=ZEFA-ZEDF=16°,

故选A.

【点拨】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理,

等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ABEgZXCBE是解题的关键.

5.B

【分析】

根据全等三角形的性质可得AE=CE,DE=EF,再根据对角线互相平分的四边形是平行

四边形判断出四边形AQCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出

ZADC=9Q0,再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答.

解：AADE咨ACFE,

:.AE=CE,DE=EF,

二四边形AQCF是平行四边形，

：AC=8C,点。是边48的中点，

ZADC=90°,

.••四边形ADC尸是矩形.

故选：B.

【点拨】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性

质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键.

6.D

【分析】

根据三角形中位线定理求出AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半

求解即可.

解：•.•£＞、E分别是边8C、4c的中点,

.♦.DE是△ABC的中位线.

DE=-AB.

2

；OE=10,

：.AB=2DE=20.

'：CP是RtAABC中斜边AB上的中线，，

ACP=-AB=10

2

故选：D.

【点拨】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边匕的中线是斜边的一半，熟练掌

握这些知识点是解题关键.

7.D

【分析】

连接CE,设EF交AC于点。，根据矩形的性质和EF是AC的垂直平分线，可得

OA=OC=^AC=2y/5,EC=AE,OA=OC,再由勾股定理可得AE=CE=5,从而得到0E=石，

再由△AOEgZkCOF,可得。尸=。£即可求解.

在矩形A8c。中，8C=AO-4,48=CZ>8,N8=NAOC=90°,AB//CD,

AC=y/AD2+CD2=4石，

OA=OC=-AC=245,

2

是AC的垂直平分线，

：.EC=AE,OA=OC,

设EC=AE=x,则BE=AB-AE=8-x,

在即AEBC中，BE2+BC2=CE2,

/.x2=42+(8-x)2,解得：x=5,

：.AE=CE=5,

,JEF1.AC,

0E=也,

'：AB//CD,

：.ZOCF=ZOAE,ZAEO=ZCFO,

,:OA=OC,

.•.△40E空

OF=OE,

：.EF=2OE=2后,

故选：D.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质、线段垂宜平分线的性质、勾股定理、全等三角形

的判定和性质，熟练掌握以上相关知识是解题的关键.

8.D

【分析】

过点8作轴于G,过点C作轴于，，根据矩形的性质得到点C的坐标,

求出/COE=45。，OC=40,过点C作CELx轴于E,过点。作轴于F,由旋转得

ZCOC/=75°,求出NCQF=30。，利用勾股定理求出。凡即可得到答案.

解：过点8作BGLx轴于G,过点C作C”_Ly轴于H,

：四边形ABCO是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,AD//BC,ZCDA=ZDAB=90°,

：.ZHCD=ZADO=ZBAG,

,：/CHD=NBGA=90。,

:ACHD迫AAGB(AAS),

VA(1,O),0(0,2),8(5,2),

，CH=AG=5-\=4fDH=BG=2,

：.O”=2+2=4,

：.C(4,4),

:.OE=CE=4,

：.ZCOE=45°f004近，

如图，过点。作CEL冗轴于E,过点。作轴于F,

由旋转得NCOO=75。，

・・・ZC/OF=30°,

:CF=；0C尸"C=26,

・•・OF=7OC,2-C,F2=2>/6,

.,.点0的坐标为仅指,-20),

故选：D.

Bi

【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质,

熟记各知识点并综合应用是解题的关键.

9.A

【分析】

13和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长8,即可利用勾股定理得出EB的长.

解：根据题题得：小正方形的边长等于BE-4E,

VA£=5,BE=13,

・,•小正方形的边长=13-5=8,

:.E产2=82+82=128.

故选：A

【点拨】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键.

10.B

【分析】

根据正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质和平行四边形的判定

与性质来判断即可求解.

解：如图，正方形A8CQ中，作线段的垂直平分线交AQ丁点尸，交AB于。点，

垂直平分MN,

:.PM=PN,QM=QN,

在正方形ABC。中，NPAN=ZQAN=45。,

：.ZAPQ=ZAQP=45°,

：.AP=AQ,

...AC垂直平分PQ,

：.MP=MQ,

四边形PNQM是菱形，

在MN运动的过程中，这样的菱形有无数个，即存在无数个这样的平行四边形，当

点M与A或者C重合时，四边形PNQW是正方形，则至少存在一个四边形PNQM是正

方形，即A、C、D项说法正确，

•：MN=2,且当点朋与A或者C重合时，四边形PNQW是正方形，也是矩形，

.♦.不存在无数多个矩形，故B说法错误.

故选：B.

【点拨】

本题考查了正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形和平行四边形的判定定理，熟练

掌握相关定理是解答本题的关键.

11.C

【分析】

根据题意直接证明放八4£万丝RfAABE，进而得CE=CF,可知/FEC=45。，结合等边

三角形的条件，即可求得NA£B.

解：•.•四边形ABCD是正方形，

AD=AB=BC=CD,ZB=ZC=ZD=90°,

,.,AA£F是等边三角形，

：.AF=AE，ZA£F=60°,

在Rt^ADF和RtAABE中

=AB

[AF=AE'

RtAADF经RfAABE(HL),

DF=BE,

：.CE=CF,

•.-ZC=90°,

/尸EC=45。，

又NA£F=60。，

ZAEB=1800-ZAEF-ZFEC,

=180°-60°-45°=75°,

故选：C.

【点拨】本题考查了“入证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的

性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键.

12.C

【分析】

设48中点为M,AC中点为M连接力例，DN,AD.根据三角形中位线定理，平行线

的性质，正方形的性质用A8表示出△AQF的面积，用AC表示出△AQH的面积，再结合勾

股定理将4ADF与△ADH的面积相加即可求出阴影部分的面积.

解：设A8中点为M,AC中点为M连接OM,DN,AD.

H

•.,。是8c中点，M是A8中点，N是AC中点，

。例是△ABC的中位线，DN您XABC的中位线.

ADM//AC,DM=-AC,DN〃AB,DN：AB.

22

:./BMD=/BAC,NDNC=/BAC.

•・•ZBAC=90°1

：.ZBMD=90°,NDNO90。,AB2+AC2=BC2.

;四边形A3EF和四边形ACGH是正方形，

：.AB=AFfAC=AH.

2

S^ADF=^AF-DN==^ABfS^H=^AH-DM=^ACx^AC=

2

•**S阴=S^ADE+S&ADH=；AB?+；AC=；BC-.

V5C=10,

1〜

'.S^/=—xlO'=25.

故选：C.

【点拨】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，综合

应用这些知识点是解题关键.

13.20

【分析】

根据矩形的性质得出NABC=90。，AD=BC=8cm,CD=AB=6cm,OA=OC=-AC,OB=OD=

2

：BD,AC=BD,求出OC=。。，根据菱形的判定得出四边形OCEO是菱形，根据菱形的性

质得出O£>=OC=CE=CE,根据勾股定理求出AC,再求出OC即可.

解：•四边形45C。是矩形，AB=6cm,BC=8cm,

ZABC=90°,AD=BC=Scm,CD^AB=6cm,OA=OC=-AC,OB=OD=lBD,AC=BD,

22

：.OC=OD,

"：DE//AC,CE//BD,

，四边形OCED是平行四边形，

又：OC=OD,

，四边形OCED是菱形，

O1AOC=DE=CE,

由勾股定理得：AC-^AB2+BC2=>/62+82=10（cni）,

.*.AO=OC=5cm,

OC=CE=DE=OD=5cmf

即四边形。DEC的周长=5+5+5+5+5=20（cm）,

故答案为：20.

【点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点，能熟记矩形

的性质和菱形的判定定理是解此题的关键.

14.AB=AD（答案不唯一）

【分析】

根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形“，可以添加邻边相等的条件.

解：条件：AB=AD,

•••四边形A8CC是平行四边形，AB=AD,

四边形A8CD是菱形.

故答案为：AB=AD（答案不唯一）.

【点拨】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关犍.

15.如

【分析】

根据菱形的性质求得。4,08的长，然后在HfAAOB中利用勾股定理即可求解.

解：•••菱形A8c。的对角线AC,8。的长分别为6,4,

AC±BD,OA=—AC—3,OB=—BD=2,

22

RtMOB中，AB=yJo^+OB2=V32+22=而，

故答案为：屈

【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

16.6

【分析】

根据三角形中位线定理，求得8C,进而根据菱形的性质求得CO.

解：•••四边形A8CQ是菱形，

:.AB=BC=CD=AD,

•；E、F分别是A8、AC的中点，EF=3,

:.BC=2EF=6,

CD=BC=6

故答案为：6.

【点拨】本题考查了中位线定理，菱形的性质，掌握中位线定理是解题的关键.

17.2旧

【分析】

如图，连接，AC,BD.过点。作丁点“交BC于点N.利用勾股定理，求

出OE,可得结论.

解：如图，连接，AC,BD.

:。是矩形的对称中心，

六。也是对角线的交点，

过点O作0M于点M交BC于点N.

•••四边形A8CD是矩形,

，OA=OD=OB,

•・・OM_LA。，

：.AM=DM^-AD=-BC=4,

22

：.0M=-AB=3,

2

'：AE=2,

：.EM=AM-AE=2,

：.OE"S=瓜

同法可得

：.OE+OF=2y/]3,

故答案为：2匹.

【点拨】本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造直角三角形解决问题.

18.3

【分析】

由菱形面积计算公式可求得8。的长，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求得

的长.

解：；四边形48CD是菱形，

；.心2。4=8,

••♦5菱形2=：£、8。=24,

.,.-x8SD=24.

2

:.BD=6,

•：DH1BC,。为8。的中点，

.••0”为直角△斜边上的中线，

OH=-BD=3.

2

故答案为：3.

【点拨】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，菱形面积等于两对角

线乘积的一半等知识，掌握这些知识是解题的关键.

19.5

【分析】

根据折叠的性质可得CE=C£=AD=3,则BE=8C-C'E=6,勾股定理求得4?=10,

证明ABFC'AFD,即可求得M=AF=5.

解：VZC=ZD=90°,AE±BC,AD=3,CD=8,

二四边形43CE是矩形，AD//BC

:.CE=AD=3,AE=CD=S

•.,将四边形纸片ABC。沿AE折叠，点C、。分别落在点C'、以处，

AC'E=CE=AD=3,

•••BC=9,

BE=BC—C'E=6,

Rt^AEB中，

AB=dAE。+BE。=J—+62=10>

BC'=BC-C'E-CE=3=Aiy,ZFC'B=ZI>=90°

又A。〃8c

:.ZB=ZTIAF

：.^BFC^AFiy

BF=AF=-AB=5

2

故答案为：5

【点拨】本题考查了折叠的性质，矩形的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定,

掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键.

20.2#)-2

【分析】

根据黄金矩形的定义求出AB,根据矩形的性质，角平分线的定义，平行线的性质求出

/A8E和/AEB,再根据等角对等边即可求解.

解：•.•四边形48CD是黄金矩形，BC=4,

...丝二叵±NABC=90。，AD//BC.

BC2

/.AB=BCx^^=2亚-2.

2

FE平分NA8C,

：.ZABE=ZEBC=45°.

：.NAEB=NEBC=45。.

，NABE=NAEB.

：.AE=4B=26-2.

故答案为：26-2.

【点拨】本题考查矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，综合应

用这些知识点是解题关键.

21.3

【分析】

由正六边形的性质及正方形的性质可得/■BCG=30。，则由直角三角形的性质可求得BG

的长，从而可得AG的长.

解：；六边形ABCDEF为正六边形，

.".ZCBG=360°^6=60°,BC=AB=2；

：四边形AGm是正方形，

；.NG=90。,

NBCG=90°-NCBG=30°,

BG=-BC=-x2=l,

22

."G=48+BG=2+1=3.

故答案为:3.

【点拨】本题考查/正多边形的性质，含30度直角三角形的性质，掌握这两方面知识

是解题的关键.

22.52022

【分析】

根据三角形的面积公式，可知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长

前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5

倍，从而解答.

解：最初边长为1,面积为1,

延长一次为石，面积5,

再延长一次为技=5,面积52=25,

下一次延长为存，面积53=125,

以此类推，当N=2022时，正方形Ag/mGMAg的面积为：52。22.

故答案为：52022.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，在解题时要根据已知条件找出规律，从而得出

正方形的面积，这是一道常考题.

23.3亚

【分析】

根据题意PM+PN=PM+PH>MH>MQ,进而证明AABG丝AAMG,可得

A"=M=6,勾股定理求解即可.

解：如图，作MQ1AB,连接MH.

•••PNLAC,AE平分/8AC,

PN=PH,

：.PM+PN=PM+PH>MH>MQ,

即为所求，

•••四边形ABCD是正方形正方形，

AB=BC,ZABE=ZBCF,

又TCF=BE,

.•"BAE=NCBF,

•.・ZBAE+ZBEA=90°f

/.ZCBF+ZBE4=90°,

AE上BF,

ZAGB=ZAGM=90°,

•・•AE平分NB4C,

:./BAG=/MAG,

在d4BG与“IMG中，

NABG=ZAMG

<AG=AG,

ZBAG=ZMAG

・.△ABG也AAMG，

AM=AB=6,

・・・AC是正方形的对角线，

/.NM4Q=NC48=45。，

:.MQ=与AM=36，

即PM+PN的最小值为3亚，

故答案为：3亚'.

【点拨】本题考查了角平分线的性质，正方形的性质，垂线段最短，根据题意求得

PM+PN的最小值是M。的长是解题的关键.

24.（5,4）

【分析】

根据正方形的性质可得：A向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得点B,再利用

平移的性质可得答案.

•••四个边长为1的正方形组成的图案，点A坐标为(3,7),

A向右平移2个单位，再向下平移3个单位可得点8,

所以3(3+2,7-3),即8(5,4).

故答案为：(5,4)

【点拨】本题考查的是正方形的性质，坐标与图形，点的平移的坐标规律，熟练的运用

点的平移坐标规律是解本题的关键.

25.⑴见分析⑵&-1

【分析】

(1)根据菱形的性质可知DC=BC,再根据N3EC=NDFC=90。，ZC=ZC,可证得

△BEgADFC,则有EC=FC,问题得解；

(2)根据菱形的性质以及/4=45。可证得△A5G是等腰直角三角形，即可求解.

(1)解：•••四边形A8C。是菱形，

,CB=CD,

BELCD于点E,DF18c于点F,

：.NBEC=ZDFC=90°,

•：2BEC=2DFC,ZC=ZC,BC=CD.

△BEC四△OFC,

EC=FC,

:.BF=BC—CF=CD-EC=DE；

即BF=DE；

(2)解：•..四边形ABC。是菱形，

.♦.AB||CO,AD=AB=\,

：.ZABG=ZBEC=90°,

'：NA=45。，

NG=NA=45°,

:.AB=BG^\,

...△A8G是等腰直角三角形，

AG=0，

DG=AG-AD=42-\.

【点拨】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，证明ABEC空ADFC是解

答本题的关键.

26.(1)见分析(2)对角线的长为8,矩形的面积为16百

【分析】

(1)由。为AC的中点，可得OA=OC,然后根据对角线互相平分可证四边形ABC。

为平行四边形，又/ABC=90。，即可证明四边形ABC。为矩形；

(2)易证0E为ZUBC的中位线，可得A8=2OE=4,根据矩形的性质和乙408=60。，

可证△AOB为等边三角形，可得。4=80=A8,继而可得对角线AC=8,在R3ABC中，由

勾股定理可得3c=4石，继而可求得矩形的面积.

解：(1)：O为4c的中点，

：.OA^OC,

y.\'OD=OB,

四边形ABCD为平行四边形，

又：/斗次』。。，

四边形A8C。为矩形；

(2)解：：OA=OC,

为8c的中点，

：.BE=CE,

；.0E为的中位线，

：.AB=2OE=2x2=4,

为矩形，

：.OA=^AC,OB=；BD,

"：AC=BD,