2022-2023学年浙江七年级上学期数学重难题型全归纳及技巧提升专项（浙教版）专题02数轴中的动点问题专项讲练（解析版）

专题02数轴中的动点问题专项讲练

数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。

【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：

①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；

②写点——写出所有点表示的数：一般用含有/的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用表示;

③表示距离——右一左，若无法判定两点的左右需加绝对值；

④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。

注意：要注意动点是否会来回往返运动。

题型1.单动点问题

例1.（2022•河北石家庄•七年级期末）如图，已知A,B（B在4的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数

为8,且AB=12,动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，

M,N始终为AP,的中点，设运动时间为r（，＞0）秒，则下列结论中正确的有（）

BN+PMA……-

_____t________*_______.:4»①［对应的数星一4：②点尸到达点8时，t=6；③BP

08

=2时，，=5；④在点尸的运动过程中，线段MN的长度不变

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】①根据两点间距离进行计算即可：②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，

点户在点3的左侧，由题意求出4P的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点8的右侧，

点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可.

【详解】解：设点8对应的数是x,

•••点A对应的数为8,且AB=12,

...8-尸12,.•.户4二点B对应的数是4故①正确；

由题意得：12+2=6（秒），，点P到达点8时，t=6,故②正确；

分两种情况：当点P在点B的右侧时，

：A8=12,BP=2,：.AP=AB-BP=l2-2=\0,

.♦.10+2=5（秒），；.8P=2时，/=5,当点P在点8的左侧时，；48=12,BP=2,.•.4P=AB+8P=12+2=14,

/.144-2=7（秒），,BP=2时，/=7,综上所述，8尸=2时，/=5或7,故③错误；

分两种情况：当点P在点B的右侧时，

'：M,N分别为AP,3P的中点，：.MP=^AP,NP=^BP，

：.MN=MP+NP=!AP+!BP=24B=gx12=6,

2222

当点P在点8的左侧时，N分别为AP,BP的中点，，MP=TAP,NP=^BP,

：.MN=MP-NP=|AP-gBP=ggx12=6,

在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确：

所以，上列结论中正确的有3个，故选：C.

【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键.

变式1.（2022・全国•七年级课时练习）如图，在数轴上有A,8两点（点8在点A的右边），点C是数轴上

不与A,8两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC,8c的中点，如果点4表示数。，点8表示数。，

求线段MN的长度.下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（）

甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为:s-a）；

乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为g（。-加；

2

丙说：若点C在射线8A上运动时，线段MN的长度为g（4+A）.

二J*A.只有甲正确B.只有乙正确C.只有丙正确

D.三人均不正确

【答案】A

【分析】分别求得点C在线段上运动时，点C在射线A8上运动时和点C在射线BA上运动时，线段MN

的长度，判定即可.

【详解】解：点C在线段AB上运动时，如下图：

4MCNB

MN=LAC+1BC=LAB=L3-“）甲说法正确；

2222

当点C在射线A8上.运动时，如下图:

AMBNC

MN=」AC_，BC=，AB=，S_a)乙说法不正确；

2222

当点C在射线BA上运动时，如下图：

CM&NB.

MN=-BC--AC=-AB=-(b-a)^^iE^故选A

2222

【点睛】此题考查数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点C的位置进行分类讨论分别求解.

题型2.单动点问题(规律变化)

例2.(2021•浙江温州•七年级期中)如图，在数轴上，点A表示-4,点8表示-1,点C表示8,P是数轴

上的一个点.

ABC

------1----->(1)求点4与点C的距离.⑵若PB表示点尸与点B之间的距离，

-4-18

PC表示点尸与点C之间的距离，当点尸满足尸8=2PC时，请求出在数轴上点尸表示的数.(3)动点尸从点

8开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四

次向右移动4个单位长度,依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC=2PA时,则点P移动次.

【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29

【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离；

(2)设点P表示的数是x,根据题意列出方程，再解方程即可；

(3)设点P表示的数是x,根据题意列出方程可得x=T6或0,再根据点尸的移动规律可得答案.

⑴解：AC=|8-(-4)|n2,故答案为：12；(2)解：设点P表示的数是x,则尸8=|x+l|,PC=|x-8|,

.".|x+l|=2|x-8|,解得x=17或5；

(3)解：设点尸表示的数是X,则以=|x+4|,PC=|x-8|,

，仅-8|=2|x+4|,解得x=-16或0,

根据点P的移动规律，它到达的数字分别是-2,0,-3,1,-4,2,-5,3......

它移动奇数次到达的数是从-2开始连续的负整数，故移动到-16需29次，移动到0需2次.

故答案为：2或29.

【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的

性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键.

变式2.（2021•浙江嘉兴•七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步

的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，x“表示第〃秒时机器

人在数轴上的位置所对应的数.给出F列结论：①》3=3;②工5=1；③XiosVXm；④Wow>X,ojo.其中，正

确结论的序号是.

【答案】①②④

【分析〉'前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一

个循环节结束的数即X5=l,第二个循环节结束的数即XK）=2,第三个循环节结束的数即XG=3,…，第m个

循环节结束的数就是第5m个数，即X5m=m.然后再根据“前进3步后退2步''的运动规律来求取对应的数值.

【详解】根据题意可知：Xl=l,X2=2,X3=3,X4=2,X5=l,

X6=2,X7=3,X8=4,X9=3,Xio=2,

X||=3,X|2=4.X|3=5,X14=4,X|5=3,...

由上列举知①②正确，符合题意：

由上可知：第一个循环节结束的数即X5=l,第二个循环节结束的数即xio=2,第三个循环节结束的数即

X15=3....即第m个循环节结束的数即X5m=m.

Vxioo=2O,.*.xioi=21,x102=22,XIO3=23,XI（M=22,

VXIO5=21,.".xi（）6=22,xIO7=23,xios=24

故XK）8>X3,故③错误，不合题意；

X20l5=403,.，.X2OI6=4O4,X2OI7=405,X2018=406,X2OI9=4O5,X2O2O=4O4,

故X239>X2020,故④正确.符合题意.故答案为：①②④.【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，

主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”.把数和点对应起来，也就是把“数''和"形''结合

起来.前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n+5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节

中对应的第几个数.

题型3.双动点问题（匀速）

例3.（2021・陕西・西安铁一中滨河学校七年级期中）如图：在数轴上A点表示数m3点表示数4C点表示

数c,且〃，。满足|。+3|+（b-9）2=0,c=\.

（1）a=,h=；

（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x,则当x时，代数式lx-ol-lx-例取得最大值，最大值

为；

(3)点尸从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点。从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，

在点。到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为f(二8)秒，求第几秒时，点尸、。

之间的距离是点B、Q之间距离的2倍？

~4Q_A［答案］(1)-3.9；(2)>9,12；(3)-秒或义秒.

【分析】(1)由|"+3|+(Z?-9)2=0,根据非负数的性质得|a+3|=0,(b-9)2=0,即可求出a—-3、b=9；

(2)由(1)得a=-3、〃=9,则代数式|x-a|-|x-即代数式|x+3|-|x-9|,按x<-3、-3<r<9Rx>9

分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值：

(3)先由点C表示的数是1,点8表示的数是9,计算出8、C两点之间的距离，确定f的取值范围，再按

t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可.

【详解】解：⑴V|a+3|>0,(6-9)2>0,且|。+3|+(1-9)2=0,

•,.|a+3|=0,(。-9)2=0,：.a=-3,b=9,故答案为：-3,9.

(2)'.'a--3,b=9,.,•代数式|x-即代数式|x+3|-|x-9|,

当xV-3时，W+3|-|x-9|=-(x+3)-(9-x)=-12；

当-3%<9时，卜+3|-|x-9|=x+3-(9-x)=2x-6,

V-12<2x-6<12,-12<|x+3|-|x-9|<12；

当xN9时，|x+3|-|.r-9|=x+3-(x-9)=12,

综上所述,|x+3|-|x-9|的最大值为12,

故答案为：>9,12.(3)•••点C表示的数是1,点B表示的数是9,

.♦.8、C两点之间的距离是9-1=8,

当点。与点C重合时，则2f=8,解得f=4,

当0〈出4时，如图1,点F表示的数是-3-f,点。表示的数是9-2/,

12

根据题意得9-2/-(-3-r)=2x2/,解得/=二；

当4<正8时，如图2,点尸表示的数仍是-3-7,

V1+(2r-8)=2f-7,.•.点。表示的数是2f-7,

根据题意得2f-7-(-37)=2(16-20,解得才=',

综上所述，第，秒或第半秒，点P、Q之间的距离是点B、。之间距离的2倍.

PACOB

------1-------1・1，，・—J1i-------i------1—

-301------------------9

图2

PACQB

―11"―W―6i―'—9—'1［点睛］本题考查数轴、数轴上两点间的

图1

距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关

键.

变式3.(2022.辽宁沈阳•七年级期末)已知数轴上有A,B,C三个点，分别表示有理数-2,4,6.

⑴画出数轴，并用数轴上的点表示点A,点B,点C；

(2)动点尸从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个

单位长度的速度沿数轴返回到点C,到达点C后停止运动，设运动时间为/秒.

①当f=l时，必的长为个单位长度，尸8的长为个单位长度，PC的长为

个单位长度；②在点P的运动过程中，若R4+P8+PC=9个单位长度，则请直接写出f的值为。

【答案】(1)见解析；

13Q11

(2)①4,2,4；②;或=或!或=

4422

【分析】(I)根据题意画出数轴即可；

(2)①先求出当，=1时，P点表示的数为6-4=2,然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C

向4运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可.(1)解：如图所示，即为所求；

4_A(2)解：①当，=1时，尸点表示的数为6-4=2,

6

/.PA=2-(-2)=4,抬=4—2=2,PC=6—2=4,故答案为：4、2、4；

②当P从C向A运动，0<Y0.5时，

%=6-4，+2,PB=6-4r-4,PC=4r,

PA+PB+PC=9,6-4r+2+6-4r-4+4r=9,解得r=一；

4

当尸从C向A运动，0.5v，S2时，

P4=6—4f+2,PB=4-6+4r,PC=4r,

3

VPA-^PB+PC=9,・・・6—4，+2+4—6+4，+41=9,解得t=一；

当P从A向C运动时，当2<Y5时,

PA=—2+2［-2）+2=2/-4,PB=4-［-2+2（r-2）］=10-2r,PC=6-［-2+2（r-2）］=12-2r,

9

VPA+PB+PC=9,：.2/-4+10-2r+12-2r=9,解得r=-；

2

当P从A向C运动时，当5</W6时，

PA=2f-4,PB=2t-lO.PC=12-2t,

VPA+PB+PC=9,：.2r-4+2r-10+12-2r=9,解得/=?：

1QQ11

综上所述，f的值为;或;或2或

【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能

够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解.

题型4.双动点问题（变速）

例4.（2021.江苏.无锡市江南中学七年级期中）已知点O是数轴的原点，点4、B、C在数轴上对应的数分

别是-12、〃、c,且从c满足（h-9）2+匕-15|=0,动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同

时点。从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，0、B两点之间为“变速区”，规则为从点。运动到点8

期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点。期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢

复原速，运动时间为秒时，P、。两点到点B的距离相等.【答案】］或30

【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、。点的不同位置，

找到对应的边长关系，列出关于f的方程，进行求解即可.

【详解】；S-9）2+|c-15|=0,

."-9=0,c-15=0,：.b=9,c=15,

•••8表示的数是9,C表示的数是15,

①当0WE6时，尸在线段。4上，。在线段8c上，此时不存在尸、Q两点到点3的距离相等；

②当6<49时，P,。都在线段。8上，P表示的数为f-6,。表示的数是9-3（t-6）,

33

・・・P、Q两点到点8的距离相等只需L6=9-3（r-6）,解得r=下，

③当9〈江15时，尸在线段08上，。在线段OA上，此时不存在尸、。两点到点B的距离相等；

④当1>15时，P在射线BC上，Q在射线04上，P表示的数为9+2（7-15）,Q表示的数是-（「9）,...2、

Q两点到点5的距离相等只需9+2（L15）-9=9-（-（r-9）］,解得f=30,

33

综上所述，P、。两点到点5的距离相等，运动时间为q•秒或30秒，

故答案为：下或30.

4

【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找

到等量关系，列出关于时间，的方程，并进行求解，这是解决这类问题的上要思路.

变式4.（2021.四川绵阳•七年级期中）已知为常数，且关于x、y的多项式（-20/+以7+⑵-（bx2+\2x+6y

-3）的值与字母x取值无关，其中〃、〃分别为点A、点8在数轴上表示的数，如图所示.动点E、F分别

从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为f

秒.（1）求小6的值；（2）请用含f的代数式表示点E在数轴上对应的数为：，点尸在数轴上对

应的数为：.（3）当E、尸相遇后，点E继续保持向左运动，点尸在原地停留4秒后向左运动且速

度变为原来的5倍.在整个运动过程中，当E、尸之间的距离为2个单位时，求运动时间f的值（不必写过

程）.

-gQ----------\--------►【答案】（l）a=12,b=-20；（2）12-6r,-20+2r；

（3）?15-秒--或-913秒927秒或929秒

4322

【分析】（1）由题意根据关于无、y的多项式（-20戈2+办一），+]2）-（bx2+\2x+6y-3）的值与字母x取值无

关，即可求出。、b；（2）由题意根据点E、尸的运动方向和速度可得解；

（3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可.

【详解】解：（1）I•关于x、y的多项式（-20/+办-y+12）-（加：2+12r+6y-3）的值与字母x取值无关，

:.（-20/+ar-y+12）-（bx2+12x+6y-3）=-20x2+ax-y+12-bx2-\2x-6y+3）

=（-20-ft）x2+（a-12）x-7y+15,

；・-20-b=0或。-12=0,解得b=-20,a=12；

（2）设运动时间为f秒.

（3）由题意得：点E在数轴上对应的数为：12-6八点/在数轴上对应的数为：-20+2/，

故答案为：12-6f,-20+2/；

（3）设当E、尸之间的距离为2个单位时，运动时间为/秒，

相遇前：12-6f—-20+2/+2,解得：f=—;

4

相遇后：E、b相遇的时间为：（20+12）+（2+6）=4（秒），

相遇点为-20+2x4=-12,

,13

点尸在原地停留4秒时，6（/-4）=2,解得：，=7；

由题意得：当区F相遇后，点£在数轴上对应的数为：12-6f,点F在数轴上对应的数为：-12-2x5(7

-4-4)=68-10r.

当E在尸左侧时，68-10r-(12-6r)=2,解得：t=—；

当E在F右侧时，12-6r-(68-10r)=2,解得：t=—.

答：当E、尸之间的距离为2个单位时，运动时间为915秒或13[杪2一7秒或2《9秒

4322

【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键.

题型5.多动点问题

例5.(2022•福建・厦门市金鸡亭中学七年级期中)己知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b,且满足|a

+3|+(b—9产=0,0为原点；

---------1-------------------------------------------->(l)a=,b=.(2)若点C

o.

从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？(结合

数轴，进行分析.)

(3)若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，

点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动.在运动过程中,M、N分别为PD、OQ的中点，问，二

的值是否发生变化，请说明理由.(注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ-OD指线段PQ与OD

长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样.

【答案】(1)-3、9；(2)点C的速度为每秒1个单位长度；(3)PQ口的值没有发生变化,理由见解析.

【分析】(1)根据几个非负数的和为0,则每一个数都是0,建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；(2)

根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示C4=|x+3],

CB=|x-9|,再由CA=CB建立关于x的方程求解即可：(3)根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数

式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出笔瓷的值为常量，

即可得出结论.

【详解】(1)V|a+3|+(b-9)2=0,

，a+3=0,b-9=0,解得a=-3,b=9；

(2)设3秒后点C对应的数为x,则C4=|x+3],Cfi=|x-9|,

；CA=CB,.\|x+3|=|x-9|,

当x+3=x-9,无解；

当x+3=-（x-9）,解得x=3,此时点C的速度为3+3=1个单位每秒,

•••点C的速度为每秒1个单位长度；

（3）望段的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为I秒，

MN

则点D对应的数为2t；点P对应的数为-3-3t；点Q对应的数为9+6t；

点M对应的数为-l.5-0.5t；点N对应的数为4.5+3t；

则PQ=9t+12,OD=2t,MN=3.5t+6,

.PQ-OD7r+12_c

为定值,

"MN-3.5r+6-’

即普&的值没有发生变化.

【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式.

变式5.（2021•剑阁县公兴初级中学校七年级月考）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-6）2+|a+b|=0,

请回答问题（I）请直接写出a、b、c的值.a=—,b=—,c=—.

（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C,点P为一动点，其对应的数为x,点P在A、B之间运动时，

请化简式子：|x+lHx」-2|x+5|（请写出化简过程）

-A―5C—>（3）在（1）的条件下，数轴上的A,B,M表示的数为a,b,y,是否存在点M,

使得点M到点A,点B的距离之和为5?若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由.

（4）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n>0）个单位长度的速度

向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒

钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问：BC-AB的值是

否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.

【答案】（1）-1、1、6；（2）-10；（3）存在，y=2.5或y=-2.5；（4）值不变，BC-AB=3.

【分析】（1）据最小正整数的意义和非负数的性质作答；（2）先去绝对值号，再去括号，最后合并即可；

（3）据绝对值的性质用y表示出点M到点A,点B的距离之和，再令其等于5,列方程求解；

（4）结合题意，用t和n表示出BC-AB再化简即可判断.

【详解】解：（1）由b是最小正整数得b=l；

由（c-6）2+|a+b|=0得c-6=0和a+b=0,解之得c=6,a=-l.故a=-l,b=l,c=6.

(2);点P在A、B之间运动.,.-l<x<l.,.x+l>0,x-l<0,x+5>0

二|x+l|-|x-l|-2|x+5|=(x+l)-(l-x)-2(x+5)=x+1-1+x-2x-10=-10.

(3)由题意知AB=2,所以M不可能在AB之间，下面讨论M在AB之外的情况

第一种情况，当M在A点左侧时由MA+MB=MA+MA+AB=5,得MA=1.5

/.|y-(-l)|=1.5且y<-l/.y=-2.5；

第二种情况，当M在B点右侧时由MA+MB=MA+MA-AB=5,得MA=3.5

|y-(-l)|=3.5且y>-l.\y=2.5；故存在这样的点M,对应的y=2.5或y=-2.5.

(4)如下图

AA1B1Bc1C

“••o—•-------------•---------------•'用贝、B\c1

-116

分别表示A、B、C的初始位置由题意得，当t秒时，A'A=nt,B'B=2nt,C'C=5nt

/.AB=A<A+A1B1+B1B=nt+2+2nt=3nl+2,BC=BlC-B1B=BlCl+C1C-BlB=5+5nt-2nt=3nt+5

/.BC-AB=(3nt+5)-(3nl+2)=3故BC-AB的值不变,且BC-AB的值为3.

【点睛】此题综合考查了绝对值的意义和数轴上两点之间的距离.弄清数轴上点及点的运动与所表示的数

之间的关系是解决本题的关键.

题型6.新定义问题

例6.(2021•江西赣州•七年级期中)定义：若A,B,C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B

的距离2倍，我们就称点C是［A3］的美好点.

例如；如图1,点A表示的数为T,点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点5的距离

是1,那么点C是LA8］的美好点；又如，表示0的点。到点A的距离是1,到点B的距高是2,那么点。

就不是的美好点，但点。是的美好点.

ADCB

—।---1---i---1--i---b---1->-

-3-2-10123如图2,M,N为数轴上两点，点M所表示的数为-7,点N

图1

所表示的数为2.

।¥........................................................................N、_

二一2一立—*―2j4―j一®―A⑴点E,F,G表示的数

图］

分别是-3,6.5,11,其中是美好点的是；写出IMM］美好点”所表示的数是.

（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当f为何值时，点P恰好为

M和N的美好点？

【答案】（1）G,-4或-16；⑵1.5或3或9

【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2,直观考察点E,F,G到点M,N的距离，只有点G符合条件.结

合图2,根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注

意到两个点的距离的变化.

（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定r的值.

【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2,直观考察点E,F,G到点M,N的距离，只有点G符合

条件，故答案是：G.结合图2,根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的

点，点N的右侧不存在满足条件的点，点例和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4

符合条件.点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是

-16.故答案是：-4或-16.

（2）根据美好点的定义，P,M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，

第一情况：当尸为【M,N］的美好点，点P在M,N之间，如图1,

・・・・>

MP.ON当MP=2PN时，PN=3,点P对应的数为2-3=-1,因此片1.5秒；

图1

第二种情况，当P为［N,的美好点，点尸在M,N之间,如图2,

-J♦••--->

以P2°N当2PM=PN时，NP=6,点尸对应的数为2-6=4因此r=3秒；

图2

第三种情况，P为［N,M］的美好点，点P在M左侧，如图3,

•・---••>

P3MON当PN=2MN时，N片18,点P对应的数为2-18=16,因此片9秒；

图3

综上所述，f的值为：1.5或3或9.

【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问

题，属于中考创新题目.

变式6.（2022・全国•七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的“，在数轴上，若C到4的距离刚好是3,则C点

叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6,则C叫做A、B的“幸福中心”.

।।।一।।bNM

-5-4-3-2-1012345&，2二8fi/

图1图2

ABCP

-3-2-1123456789(1)如图I,点A表示的数为-1,则A的幸福点C所

图3

表示的数应该是:

(2)如图2,M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4,点N所表示的数为-2,点C就是例、N的幸福

中心，则C所表示的数可以是(填一个即可)；(3)如图3,A、B、尸为数轴上三点，点A所表示的

数为-1,点8所表示的数为4,点P所表示的数为8,现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速

7

度向左运动，二秒时，电子蚂蚁是A和8的幸福中心吗？请说明理由.

4

【答案】(1)-4或2；(2)。所表示的数可以是-2或・1或0或1或2或3或4(答案不唯一)；(3)当经过:7

4

秒时，电子蚂蚁是A和3的幸福中心.

【分析】(1)根据幸福点的定义即可求解；

(2)根据幸福中心的定义即可求解；

(3)根据幸福中心的定义即可求解.

【详解】解：(1)A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=4或-1+3=2；

故答案为：-4或2；

(2)V4-(-2)=6,

：.M,N之间的所有数都是M,N的幸福中心.

故C所表示的数可以是-2或-1或。或1或2或3或4(答案不唯一)；

(3)经过一秒时，电子蚂蚁是4和8的幸福中心，理由是：

4

77

8-2x--4+(8-2x—1)=6,

44

7

故当经过;秒时，电子蚂蚁是A和3的幸福中心.

4

【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时

间X速度，认真理解新定义.

课后专项训练：

1.(2022・全国•七年级专题练习)已知数轴上有三点A,B,C分别表示有理数-26,-10,10,动点P从

点A出发，以1个单位长度/S的速度向终点C移动，设点户移动时间为

APBC(1)用含r的代数式表示点P分别到点A和点C的距离：PA=______,

iI■ii)

-26-10010

PC=.

(2)当点P运动到点B时，点。从点A出发，以3个单位长度/s的速度向点C运动，点。到达点C后，再

立即以同样的速度返回，当点尸运动到点C时;两点运动停止.当点P,。运动停止时，求点尸，。间的距

离.

【答案】(1)t,36-/；(2)24

【分析】(1)根据数轴上两点的距离即可求得答案；

(2)先求得点户从8点到C点的时间，进而求得点。运动20s的路程，根据题意确定Q的位置，进而求得RQ

的距离

【详解】(1)PA=t,PC=36-1

故答案为：t,36—t；

(2)解：点P从B点到C点的时间为20+1=20s

点Q运动20s的路程为3x20=60

点、P，。距离为60-(26+10)=24

答：点P,Q距离为24

【点睛】本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键.

2.(2021•北京四中七年级期中)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A,B,若数轴上存在一点

使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点历为点A与点B的中点.解答以下问题：

(1)若点A表示的数为-5,点A与点8的中点表示的数为1,则点B表示的数为；

(2)点A表示的数为-5,点C,力表示的数分别是-3,-1,点。为数轴原点，点8为线段CO上一点.

①设点M表示的数为，"，若点M为点A与点B的中点，则”的取值范围是：

②当点尸从点A出发以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动，同时点。从点C出发以每秒3个单位

长度的速度向正半轴方向移动;若经过f(fNO)秒，点P与点。的中点在线段。。上，则f的取值范围是.

【答案】(1)7；(2)①-44机4一：；②C6或［=0

2

【分析】(1)根据中点的定义进行解答即可；

(2)①得出点B的范围，再得出m的取值范围即可：

②由题意得：点尸表示的数为-5+乙点。表示的数为-3+3,，则点尸与点。的中点表示的数为:

-5+^+（-1）=£_3，再分。点超过。点和没有超过。点两种情况讨论求解即可.

22

【详解】解：（1）设点3表示的数为达

由题意得二

解得x=7,.•.点B表示的数为7：

故答案为：7：

（2）①设点B表示的数为〃，则-3Vb«0,

;点A表示的数为一5,点M可以为点A与点B的中点，

-84-5+64-5,

的取值范围为：,

故答案为：-4<m<—；

2

②由题意得：点P表示的数为-5+，点。表示的数为-3+3f,

.••点P与点。的中点表示的数为：-5+r+（T）」_3,

22

•••点P与点。的中点在线段。。上，

当点Q没有运动超过0点时，

—3+3/W—3<0.

2

解得他0，

二止匕时t=0；

当点Q运动超过。点时，

04,-34-3+37,

2

解得t>6

综上所述，当壮6或f=0时，点尸与点力的中点在线段OQ上.

故答案为：d6或r=0.

【点睛】本题考查了有理数与数轴，掌握数轴上点的表示方法，数轴上的动点问题，以及两点的中点表示

方法是解题的关键.

3.（2021•山东滨州•七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移

动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是-2.参照图中所给的信息，完成填空：已知4,8都是数轴上

的点.,,KN,,

-3-2-101234

（1）若点A表示数-3,将点A向右移动5个单位长度至点A，则点A表示的数是;

（2）若点B表示数2.5,将点B先向左移动7个单位长度，再向右移动］个单位长度至点C,则点C表示

的数是;

（3）在（2）的条件下点B以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点C以每秒2个单位长度沿数轴向右运

动，当点2运动到-5.5所在的点处时，则8、C两点间距离为；

【答案】（1）2；（2）0；（3）13.5

【分析】（1）根据数轴上点向右平移加，向左平移减，可得点A表示的数：

（2）根据数轴上点向右平移加，向左平移减，可得点C表示的数；

（3）根据点B运动的距离和速度求出时间，然后求出此时点C表示的数，即可求出3、C两点间距离.

【详解】解：（1）•••点4表示数-3,将点4向右移动5个单位长度至点A,

.*.-3+5=2,

.••点A表示的数是2；

9

（2）若点B表示数2.5,将点B先向左移动7个单位长度，再向右移动£个单位长度至点C,

9

二2.5-7+-=0,

2

二点C表示的数是0；

（3）•.•点B表示数2.5,当点B运动到-5.5所在的点处时，

.•.点B运动的时间”±5$）=4,

2

二点C运动的路程=2x4=8,

二此时点C表示的数=0+8=8,

.♦.8、C两点间距离=8-（-5.5）=13.5.

【点睛】此题考查了数轴上点的表示和两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上点的表示方法和两

点之间的距离的求法.

4.（2021•广东佛山•七年级阶段练习）如图，有两条线段，AB=2（单位长度），CO=1（单位长度）在数

轴上，点A在数轴上表示的数是-12,点。在数轴上表示的数是15.

二片-----------J-----------防+(1)点8在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的

数是,线段BC的长=；

(2)若线段A8以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段C。以2个单位长度秒的速度向左匀速运

动.当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？

(3)若线段AB以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段。以2个单位长度/秒的速度也向左匀

速运动.设运动时间为，秒，当r为何值时，点5与点C之间的距离为1个单位长度？

【答案】-10,14,24；(2)-2；(3)U23或25

【分析】(1)根据AB、C。的长度结合点A、。在数轴上表示的数，即可求出点从C在数轴上表示的数，再

根据两点间的距离公式求出线段的长度；

(2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出；

(3)分线段与线段CD在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC=1,得出关于t

的的一元一次方程，解之即可得出结论；

【详解