人教b版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其运算学案

【标题】第一章空间向量与立体几何1．1空间向量及其运算1．1．1空间向量及其运算今日头条1．平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．2．向量的数量积为a·b＝|a||b|cos＜a，b＞，其结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定．当θ为锐角时，a·b＞0，但当a·b＞0时，θ不一定是锐角，因为θ也可能为0；当θ为钝角时，a·b＜0，但当a·b＜0时，θ不一定是钝角，因为θ也可能为π．空间向量1．定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．2．模（或长度）：向量的大小．3．表示方法：（1）几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A，终点为B的向量，记为AB，模为|AB|．（2）字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．几类特殊的向量1．零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．2．单位向量：模等于1的向量称为单位向量．3．相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．4．相反向量：方向相反、大小相等的向量称为相反向量．5．平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．6．共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．1．如图1，在平行四边形OABC中，OB＝OA＋AB＝a＋b，CA＝OA－OC＝a－b．2．如图2，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，DA＋DC＋DD1＝即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．3．给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：（1）当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：①当λ＞0时，与a的方向相同；②当λ＜0时，与a的方向相反．（2）当λ＝0或a＝0时，λa＝0．4．空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝（λ＋μ）a；②λ（a＋b）＝λa＋λb．空间向量的数量积1．空间向量的夹角如果＜a，b＞＝π2，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b2．空间向量数量积的定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos＜a，b＞叫做a，b的数量积（或内积），记作a·b．3．数量积的几何意义（1）向量的投影如图所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a'．（2）数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积．特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0．4．空间向量数量积的性质：（1）a⊥b⇔a·b＝0；（2）a·a＝|a|2＝a2；（3）|a·b|≤|a||b|；（4）（λa）·b＝λ（a·b）；（5）a·b＝b·a（交换律）；（6）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．一、思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）1．零向量没有方向． （×）2．有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示． （×）3．对于非零向量a，b，＜a，b＞与＜a，－b＞相等． （×）4．若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c． （×）5．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件． （×）二、思考题1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，顶点连接的向量中与向量AD相等的向量共有几个？答案：与向量AD相等的向量有BC，A1D1，B1C2．数量积运算满足结合律和消去律吗？答案：数量积运算不满足结合律，也不满足消去律，即（a·b）·c≠a·（b·c），a·b＝a·c⇒/b＝c．探究1空间向量概念1．零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0|＝0，单位向量e的模|e|＝1．2．零向量不是没有方向，它的方向是任意的．3．注意零向量的书写，必须是0这种形式．4．两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相等，则称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关．【例1】给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝A1③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；④在四边形ABCD中，必有AB＋AD＝AC．其中正确命题的序号是①②．[思路点拨]在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致．类比平面向量的结论，并根据空间向量的有关概念及性质逐一判断即可．解析：①正确；②正确，因为AC与A1C1的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有AB＋AD＝AC．【针对训练】1．（多选题）下列关于空间向量的说法中错误的是 （ABC）A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C．若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，则AB＞CDD．相等向量其方向必相同解析：A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选ABC．2．如图所示，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，顶点连接的向量中，与向量AA'相等的向量有BB'，CC'，DD'；与向量A'B'相反的向量有B'A解析：根据相等向量的定义知，与向量AA'相等的向量有BB'，CC'，DD'．与向量A'B'相反的向量有B探究2空间向量的线性运算1．空间中任意两个向量都是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法，如图所示．OB＝OA＋AB＝a＋bBA＝OA－OB＝a－b2．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．【例2】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c（1）AP；（2）A1N；（3）MP＋[思路点拨]根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律求解．解析：（1）∵P是C1D1的中点，∴AP＝AA1＋A＝a＋c＋12AB＝a＋c＋1（2）∵N是BC的中点，∴A1N＝A1A＋AB＋＝－a＋b＋12AD＝－a＋b＋1（3）∵M是AA1的中点，∴MP＝MA＋AP＝－12a＋a+c+12b＝1又∵NC1＝NC＋C＝12AD＋AA1∴MP＋NC1＝12a+b+c【针对训练】1．如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'，点E是上底面A'B'C'D'的中心，求下列各式中x，y，z的值．（1）BD'＝xAD＋yAB＋zAA（2）AE＝xAD＋yAB＋zAA'解析：（1）因为BD'＝BD＋DD'＝BA又BD'＝xAD＋yAB＋zAA所以x＝1，y＝－1，z＝1．（2）因为AE＝AA'＋A'E＝AA'＋12A'C'＝AA'＋12（A'所以x＝12，y＝12，z＝2．在如图所示的平行六面体中，求证：AC＋AB'＋AD'＝2证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC＝AB＋AD，AB'＝AB＋AA∴AC＋AB'＋AD'＝（AB＋AD）＋（AB＋AA'又∵AA'＝CC'，AD＝∴AB＋AD＋AA'＝AB∴AC＋AB'＋探究3空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算的两种方法：（1）利用定义：利用a·b＝|a||b|cos＜a，b＞，并结合运算律进行计算．（2）利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．【例3】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：（1）EF·BA；（2）EF·BD；（3）EF·DC；（4）AB·CD．[思路点拨]确定向量的模和夹角，注意合理利用向量的线性运算．解析：（1）EF·BA＝12BD·BA＝12|BD||BA|cos＜BD，BA＞＝12cos60（2）EF·BD＝12BD·BD＝12|BD|2（3）EF·DC＝12BD·DC＝12|BD||DC|cos＜BD，DC＞＝12cos120°（4）AB·CD＝AB·（AD－AC）＝AB·AD－AB·AC＝|AB||AD|cos＜AB，AD＞－|AB||AC|cos＜AB，AC＞＝cos60°－cos60【针对训练】1．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则（2a－b）·a等于 （D）A．12B．8＋13C．4 D．13解析：（2a－b）·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos120°＝2×4－2×5×-12＝2．如图，已知正四面体OABC的棱长为1．求：（1）OA·OB；（2）（OA＋OB）·（CA＋CB）．解析：在正四面体OABC中，|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，＜OA，OB＞＝＜OA，OC＞＝＜OB，OC＞＝60°．（1）OA·OB＝|OA||OB|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝12（2）（OA＋OB）·（＝（OA＋OB）·（＝（OA＋OB）·（OA＋OB＝OA2＋2OA·OB－2OA·OC＋OB2－＝12＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1＋1－1＋1－1＝1．1．（多选题）下列说法错误的是 （ABD）A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同B．若向量AB，CD，满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CDC．若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB，CD为相反向量D．AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D重合解析：A错误．两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．B错误．向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．C正确．AB＋CD＝0，得AB＝－CD，且AB，CD为非零向量，所以AB，CDD错误．由AB＝CD，知|AB|＝|CD|，且AB与CD同向，但A与C，B与D不一定重合．2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝14A1C1，若AE＝xAA1＋y（AB＋A．x＝1，y＝12B．x＝12，yC．x＝1，y＝13 D．x＝1，y＝解析：因为AE＝AA1＋A1E＝AA1＋14A1C3．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则两直线的夹角为 （BA．30° B．60°C．120° D．150°解析：设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－12，所以θ