2020北京西城初三（上）期末数学备考解直角三角形（教师版）含答案

20/202020北京西城初三（上）期末数学备考解直角三角形（教师版）一．选择题（共12小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若BC＝24，cosB＝，则AD的长为（）A．12 B．10 C．6 D．5【分析】先根据等腰三角形的性质得出BD＝BC＝12，再解直角△ABD，求出AB，然后利用勾股定理求出AD．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴BD＝BC＝12．在直角△ABD中，∵cosB＝＝，∴AB＝13，∴AD＝＝＝5．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质以及勾股定理，求出BD与AB的长是解题的关键．2．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据CD＝10m，α＝45°，β＝50°设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（）A．x＝（x﹣10）tan50° B．x＝（x﹣10）cos50° C．x﹣10＝xtan50° D．x＝（x+10）sin50°【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x﹣10，得到CE＝x﹣10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x﹣10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x﹣10，∴CE＝x﹣10，∵tanβ＝tan50°＝＝，∴x＝（x﹣10）tan50°，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sinB等于（）A． B． C． D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sinB＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长度为（）A．2 B．8 C． D．【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∴tanA＝＝＝，∴BC＝2．故选：A．【点评】此题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是能够选择合适的边角关系求解，难度不大．5．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h（单位：m）的范围是（）A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜20【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．【解答】解：AC＝10．①当∠A＝30°时，BC＝ACtan30°＝10×≈5.7．②当∠A＝45°时，BC＝ACtan45°＝10．∴5.7＜h＜10，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的定义，利用三角函数的定义求得相应角度时树的高度是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝＝5．cosA＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）A．40海里 B．40tan37°海里 C．40cos37°海里 D．40sin37°海里【分析】根据已知条件得出∠BAP＝37°，再根据AP＝40海里和正弦定理即可求出BP的长．【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP＝37°，∵AP＝40海里，∴BP＝AP•sin37°＝40sin37°海里；故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（）A． B． C． D．【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A＝∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sin∠BCD＝sinA＝＝．故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD＝sinA是解题关键．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则sinA的值为（）A． B． C． D．2【分析】首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用三角函数的定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝，则sinA＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的定义，理解定义是关键．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tanA的值为（）A． B． C． D．2【分析】首先根据勾股定理求得直角边AC的长度；然后由锐角三角函数的定义求得tanA的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，∴AC＝＝2；∴tanA＝＝；故选：C．【点评】本题综合考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、勾股定理．掌握相应的锐角三角函数值的求法是解决本题的关键．11．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A． B． C． D．3【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．12．小莉站在离一棵树水平距离为a米的地方，用一块含30°的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米，那么她测得这棵树的高度为（）A．（）米 B．（a）米 C．（1.5+）米 D．（1.5+a）米【分析】过小莉的视点作树的垂线，通过构建直角三角形来求这棵树的高度．【解答】解：如图．过A作CD的垂线，设垂足为E点，则AE＝BC＝a，AB＝CE＝1.5米．Rt△ADE中，AE＝a，∠DAE＝30°，∴DE＝AE•tan30°＝a（米），∴CD＝CE+DE＝（a+1.5）米．故选：C．【点评】此题考查了仰角的定义及通过解直角三角形解决实际问题的能力．构造直角三角形是关键．二．填空题（共3小题）13．如图所示的网格是正方形网格，点A，O，B都在格点上，tan∠AOB的值为．【分析】连接AB，在直角△AOB中利用正切函数的定义即可求解．【解答】解：如图，连接AB．在直角△AOB中，∵∠OBA＝90°，AB＝2，OB＝4，∴tan∠AOB＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形，正切函数的定义．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A＝30°，AB＝20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD＝10．【分析】过B作BE⊥AC于E，由∠A＝30°，AB＝20，得到AE＝10，推出∠ADB＞∠AEB，即可得到结论．【解答】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A＝30°，AB＝20，∴AE＝10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．三．解答题（共18小题）16．计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝4×﹣×+（）2＝2﹣1+3＝4．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sinA＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）【分析】先利用直角作出BD，再用勾股定理求出BD，再用锐角三角函数求出AB，AD，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD⊥l于点D，在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝13，∴cosC＝cosα＝，∴CD＝BC•cosC＝13×＝5，BD＝＝12，在Rt△ABD中，BD＝12，sinA＝，∴tanA＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线l交于点A，连接AB，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB和AD．19．计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式＝4×﹣3×+2××＝1﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物（如图1）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数（如图2，3）．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿（如图4）．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求：（1）写出所使用的测量工具；（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；（3）写出求天坛祈年殿高度的思路．【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可．【解答】解：（1）测量工具有：简单测角仪，测量尺；（2）设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下：①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；（3）设CD的高度为xm．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB＝AC﹣BC，∴，解得，x＝．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝4××﹣（）2＝6﹣＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．22．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】根据已知条件求出BD＝AD，设DC＝x，得出AD＝90+x，再根据tan58°＝，求出x的值，即可得出AD的值．【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥DB，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AD，设DC＝x，则BD＝BC+DC＝90+x，∴AD＝90+x，∴tan58°＝＝＝1.60，解得：x＝150，∴AD＝90+150＝240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．23．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝3×+（）2﹣2×＝+﹣＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．24．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）【分析】根据等角对等边得出PB＝AB＝400米，再利用三角函数求出PC的长即可．【解答】解：如图，由题意，可得∠PAC＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAC＝30°，∴∠PAC＝∠APB．∴PB＝AB＝400米．在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB＝400米，∴PC＝PB•sin∠PBC＝400×＝200＝346.4≈346（米）．答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．25．计算：2sin60°+3tan30°﹣2tan60°﹣cos45°．【分析】首先把特殊角的三角函数值代入，然后计算求解即可．【解答】解：原式＝2×+3×﹣2×﹣＝﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆函数值是关键．26．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD＝30米，求河宽AB（结果精确到1米，取1.73，取1.41）．【分析】设河宽AB为x米．分别解直角三角形ABC和直角三角形ABD即可求出x的值．【解答】解：设河宽AB为x米．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝x．∵在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝x，∴CD＝BD﹣BC＝x﹣x，∴x﹣x＝30解得x＝15+15≈41．答：河宽AB约为41米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解此类题目的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．27．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可．【解答】解：原式＝×﹣4×（）2+×＝﹣3+＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是要求同学们熟练记忆的内容．28．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．【分析】（1）首先作PC⊥AB于C，利用∠CPA＝90°﹣45°＝45°，进而利用锐角三角函数关系得出PC的长，即可得出答案；（2）首先求出OB的长，进而得出OB＞50，即可得出答案．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C．（如图）在Rt△PAC中，∠PCA＝90°，∠CPA＝90°﹣45°＝45°．∴．在Rt△PCB中，∠PCB＝90°，∠PBC＝30°．∴．答：B处距离灯塔P有海里．（2）海轮到达B处没有触礁的危险．理由如下：∵，而，∴．∴OB＞50．∴B处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PC的长是解题关键．29．计算：．【分析】将cos30°＝，tan60°＝，sin45°＝代入原式，即可得出答案．【解答】解：∵cos30°＝，tan60°＝，sin45°＝，∴原式＝+×