费马点问答(含答案解析)

费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1.2.3.如果三角形有一个内角大于或等于120。，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。性质：费马点有如下主要性质：1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。3.费马点为三角形中能量最低点。4.三力平衡时三力夹角皆为120。，所以费马点是三力平衡的点。例1:已知：4ABH是等边三角形。求证：GA+GB+GH最小证明：:MBH是等边三角形。G是其重心。ZAGH=ZAGB=ZBGH=120°。以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.AH=BH=AB=12.、、P三点一线。再连PD两点。、AGHP和4BDH都是等边三角形，/GHB=30ZPHD=30在AHGB^AHPD中HG=HPZGHB=/PHD;HB=HD;^HGB^zHPD;(SAS)ZHPD=ZHGB=120ZHPG=60、、D三点一线。AG=GP=PD,且同在一条直线上。GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.例2:已知：ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。/AGC=ZAGB=/BGC=120△求证：GA+GB+GC最小ZBCD=60工CP和ABCD都是等边三角形。、、P三点一线。、、D三点一线。、、PD三条线段同在一条直线上。GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.但它不同于等边三角形的费马点是重心。例3:已知：ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。/AGC=ZAGB=ZBGC=120△求证：GA+GB+GC最小证明：将4BGC逆时针旋转60°GP,DB.则工GB^/CPD;/GCP=60ZBCD=60工CP和ABCD都是等边三角形。、、P三点一线。、、D三点一线。、、PD三条线段同在一条直线上。GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.但它不同于等边三角形的费马点是重心。PABCtPAPBPC（费马点问题）如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围BBP'C',易知BPP'为等边三角形BPC解：Parti:将绕点顺时针旋转60。得到.从而PAPBPCPAPP'P'C'AC'tJ3（两点之间线段最短），从而.PBMPBCABACMN,MNANAM的平行线分别交、于点、易知.因为在Part2:过作和中，PBMPBM①，PCPNNC②。PNCAPMANMAMN,所以.++③可得又③tAMBMMPNPNCABMNNC1ANNC2,t2tPAPBPCJ3t2.即.综上，的取值范围为费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点就是这个内角的顶点.费尔马的结论：对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120°120°的三角形，△ABCP下面简单说明如何找点使它到三个顶点的距离之和++最小？这就是所谓的费尔马问题.A解析：如图把绕点逆时针旋转60°得到丛,连接为等边三角形，==则所以++=++ABP点可看成是线段绕点逆时针旋转60°而得的定点，、、、四点在同一直线上C图1时，++最小.=/=180-ZAPP=180-60=120,=360--=360-120-120=120因此，当△ABCP的每一个内角都小于120°时，所求的点对三角形每边的张角都是120°,可在、边PP上分别作120。的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是点；当有一内角大于或等于120点就是钝角的顶点.费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考.本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考.EiJABC内一动点至、、三点的距离之和的最小值为.2.6,求此正方形的边长.图2图3ABCEABC三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同.解如图连接C连接、、可知△、都是绕点顺时针旋转60°等边三角形，则=又=4）.++=++（图BGGAC•・•点、点为定点（为点绕点顺时针旋转60。所得）.3）.EABCEF••・线段即为点至ij、、三点的距离之和的最小值，此时、两点都在上（图设正方形的边长为那么2==,6—a.+=EABC••点到、、三点的距离之和的最小值为而.2.6——...,、—a+—a=J2V6,a=2.解得、也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试.本题旋转xOy（2009年北京中考题）如图4,在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A6,01.,B6,0,C0,46—AC//AB交的延长线，延长到点DD,使=,过点作2(1)D求点的坐标;ykxbC作点关于直线F的对称点,分别连结B、若过点的直线将四边形E于点.b（3）GyykxyG轴到达点，再沿P设为轴上一点，点从直线与y轴的交点出发，先沿A到达点，若点在轴上运动的速度是它在直线PyGP上运动速度的2倍,试确定点的位置，使分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式;A点按照上述要求到达点所用的时间最短.分析和解：（1）D点的坐标（3,673）（过程略）.（过程略）.yJ3x673的解析式为3）GQPy12vv2P度为则沿P运动的时间为MQAQ,最小.最小，或解法1=G上找点最小就是最小，就是在直线ABM使他到、、三点的距离和最小.至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换.B绕点顺时针旋转,得到连接、把B都是等边三角形，则=又=•.MQ+AQ+BQ=++AQ••点、为定点，所以当、两点在线段'上时，最小.由条件可证明与上，所以的交点就是所要的点（图6）.可证=1G点总在2图5图6图7的垂线交可得于由=6,=解法2考虑12=30,所以2…1要使一最小，只需使2条直线上时，最小，并且此时的垂直于G7.Hy，由=6,=可得=60•.ZBAH=302V3=在中，=tan点的坐标为石）（G点为线段的中点）P例3（2009年湖州中考题）若点为===120°,则所在平面上一点，且P点叫做的费马点.P=60=3,=4,则的值为;（1）若为锐角△的费马点，且/2）如图在锐角的外侧作等边△,连结.求证：过的费马点且=++图82解：（1）利用相似三角形可求的值为2）P设点为锐角的费马点，即===120C连结则为正三角形.如图8,把绕点顺时针旋转60°到=120,PEC=60=••.zBEC+ZPEC=180PE即、、三点在同一直线上•.BPC=120,ZCPE=60,Z+=180,BPE即、、三点在同一直线上・・•BPE的费马点又==、、、四点在同一直线上，即过•.BB=EB+PB+PE=PA+PB+注通过旋转变换，可以改变