微分几何课后习题答案第四版梅向明黄敬之编

§1曲面的概念r.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的坐标曲线.r解u-曲线为r={ucosvo,usinvo,bvo}={0,0,bv0}+u{cosvo,sinvo,0},为曲线的直母线；v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv}为圆柱螺线..证明双曲抛物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的坐标曲线就是它的直母线。r证u-曲线为r={a(u+v0),b(u-v0),2uv0}={av0,bv0,0}+u{a,b,2v0}表示过点{av0,bv0,0}以{a,b,2v。}为方向向量的直线；v-曲线为r={a(v-曲线为r={a(u0+v),b(u0-v),2u0v}={aubu0,0}+v{a,-b,2u0}表示过点(au°,bu0,0)以｛a,-b,2u0｝为方向向量的直线。r-3,求球面r={acossin,acossin,asin｝上任意点的切平面和法线方程。解r={asincos,asinsin,acos},r=r-3,求球面r={acossin,acossin,asin｝上任意点的切平面和法线方程。解r={asincos,asinsin,acos},r={acossin,acoscos,0}任意点的切平面方程为acosasincosyacossinzasinacoscossinasinacossincosacos0即xcoscos+ycossin+zsin法线方程为xacoscosycoscosacossincossinasinsin224.求椭圆柱面xya{asin,bcos,0}, rt{0,0,1}。所以切平面方程为:xacosybsinasinbcosxacosybsinasinbcos0 00 0,即xbcos+yasin1此方程与t此方程与t无关，对于对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面35.证明曲面r{u,v,a-}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常uv数。uvuvo)z3o3a3证 ru{1。多},rvuv3{0,1,1}。切平面方程为:uv与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2)

uv于是，四面体的体积为:V631u131v篇声是常数。§2曲面的第一基本形式.求双曲抛物面r={a(u+v),b(u-v),2uv}的第一基本形式.解ru{a,b,2v},rv{a,b,2u},Eru2a2b2 4v2,2 2 2 2 2 2Frurva b 4uv,Grvab4u,I=(a2 b2 4v2)du22(a2 b2 4uv)dudv (a2 b2 4u2)dv2。.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。解 ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b},Eru21,Frurv0,Grv2u2b2,I=du2 (u2b2)dv2,F=0,•.・坐标曲线互相垂直。.在第一基本形式为I=du2sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长。解由条件ds2 du2sinh2udv2,沿曲线u=v有du=dv,将其代入ds2得ds2du2sinh2udv2=cosh2vdv2,ds=coshvdv,在曲线u=v上，从v1至1Jv2的V2弧长为|coshvdv||sinhv2sinhv1|。Vl.设曲面的第一基本形式为I=du2(u2a2)dv2,求它上面两条曲线u+v=0,u-v=0的交角。分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E1,Fv0,Gu2a2,曲线u+v=0与u-v=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为E1,Fv0,Ga2。曲线u+v=0的方向为du=-dv,u-v=0的方向为6u=6V,设两曲线的夹角为,则有2EduuGdvu 1acos=' 。Edu2Gdv2.Eu2Gv21a.求曲面z=axy上坐标曲线x=x0,y=y0的交角.r解曲面的向重表小为r={x,y,axy},坐标曲线x=xO的向重表小为r rr={x0,y,ax°y},其切向重ry={0,1,ax。}；坐标曲线y=y0的向重表小为r={x,y,axy0},其切向量葭={1,0,ayO},设两曲线x=x°与y=y°的夹角为，则2有cos=3 :—ax0y0—IrxllryI.1a2x(2.1a2y：.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为6u:6V,则有Edu6u+F(du6V+dv6u)+Gdv6V=0,将dv=0代入并消去du得u-曲线的

正交轨线的微分方程为E6u+F6v=0.同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F6u+G6v=0..在曲面上一点，含du,dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0,确定两个切方向(du:dv)和(6u:6v),证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0.证明因为du,dv不同时为零，假定dv 0,则所给二次方程可写成为P(du) 2 2 2 ， 2 2 2 ，闵 0Euds Gvds E G展开并化简得E(EG-F2)du2=G(EG-F2)dv2,而EG-F2>0,消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.du2(u2a2)dv2,求曲面上三条曲线u=av,v=1相交所成的三角形的面积。解三曲线在平面上的图形(如图)所示。曲线围城的三角形的面积是dvdu duuduuRduu2Q2Q--+R=0，设其一根/,一,贝 =—,—+一=—……①又根据一万向垂直的条件知Edu—+F(du+—)+G=0……②dvvdvv将①代入②则得ER-2FQ+GP=0..证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为 Edu2=Gdv2.证用分别用八 、d表示沿u—曲线，v—曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u—曲线6u0,6v=0,沿v—曲线u=0,v0.沿二等分角轨线方向为du:dv，根据题设条件，又交角公式得_ _ 2_ _ 2 __2__29.设曲面的第一基本形式为I=9.设曲面的第一基本形式为I=TOC\o"1-5"\h\z0 1 a 1S=..u2a2dudvu2a2dudva u 0 ua aa 1 a=2 ,u2 a2dudv=2(1u),u2a2du0 u 0 aa3_r2/2 _2\2 2 _2 _2 2 _2a=[(ua)2u.uaaln(u.ua)]|03a=a2[2-gln(1"]。3r.求球面r={acossin,acossin,asin}的面积。解r={asincos,asinsin,acos},r={acossin,acoscos,0}E=r2=a2,F=rr=0,G=r2=a2cos2 .球面的面积为:2a22a2sin|2 4a2.2.S=2d a4cos2d2a22cosd2 0 22r11. r11. 证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r={tcos,tsin,..t21}(t>1,0< <2)之间可建立等距映射(t>1,0< <2)之间可建立等距映射2=arctgu+v,t=.u1.分析根据等距对应的充分条件，要证以上两曲面可建立等距映射 =arctgu+v,t= Vu21,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数，然后证明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式.证明螺面的第一基本形式为I=2du2+2dudv+(u2+1)dv2,旋转曲面的第一2基本形式为1=(1—一-)dt212d ,在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu+v,TOC\o"1-5"\h\zt=Ju21,则其第一基本形式为：2/2 /u1u2 2 1 2(1——2-)- du(u1)( dudv)uu1 1uu2 1 9 1 9 9 一一一。一。一=(——1)du 2du2dudv(u1)dv=2du+2dudv+(u+1)dv=I.u 1u所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 =arctgu+v,t=vu21.§3曲面的第二基本形式.计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u} 的第一基本形式，第二基本形式.解ru={sinhucosv,sinhusinv,1}, rv={-coshusinv,coshucosv,0}ruu={coshucosv,coshusinv,0}, ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0},TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2rw={-coshucosv,-coshusinv,0}, E%=coshu,F rurv=0,G=coshu.所以I=cosh2udu2+cosh2udv2.ru rv 1n= = 2-{coshucosv,coshusinv,sinhusinv},...egF2coshu ，,coshu coshudL= 1,M=0,N= =1.sinh21 sinh21所以II=- du2+dv2o.计算抛物面在原点的2x35x124x1x22x；第一基本形式，第二基本形式.5.斛曲面的向重表小为r{x1,x2,-xf2x1x2 x2},rx(1,0,5x1 2x2}(0,0)(1,0,0},rX2{0,1,2%2x2)(o,o){0,1,0},k(0,0,5),

rxiX2 {0,0,2},&2 {0,0,2},E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,2,2 2 2dx1 dx2,II= 5dxi 4dxidx2 2dx2.r3.证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv},-0°vu,vvoo处处有en-2FM+GL=0解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},ruv={-uucosv,cosv,0}, rw={-ucosv,-usinv,0}, E r； 1,Frurv0,G rv2 u2b2,L=0,M= ,b,N=0.所以有EN-2FM+GL=0.v 2 ,2,ub1.求出抛物面z-（ax2by2）在（0,0）点沿万向（dx:dy）的法曲率.2 2adxbdydx2dy2解rx{1,0,ax）（0,0）（1,0,0},ry{0,1,by}（。,。） {0,1,。},7{0,0,a},rxy{0,0,0）ryy{0,Qb},E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向2 2adxbdydx2dy2.已知平面到单位球面(S)的中心距离为d(0vdv1),求与(S)交线的曲率与法曲率.解设平面与(S)的交线为(C),则(C)的半径为"d2,即(C)的曲率为k了^^,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于 <1d2,所以(C)的法曲率为knk6d2=1..利用法曲率公式kn"，证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基I本量成比例。证明因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v),沿任意方向du:dv,II Ldu2 2Mdudv Ndv2 1 .1 L M N, 1kn一 2 T一或—-,所以一一—（一）,即第I Edu 2Fdudv Gdv RR E F G R

类基本量成比例.求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv},ru{cosv,sinv,0},&{usinv,ucosv,b},ruu={0,0,0},rw={-ucosv,-usinv,0} ,L=(ru,rv,ruu)=0,n=(jrv,rvv)=0.所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。而uEGF2 EGF2族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。.求曲面zxy2的渐近线.解曲面的向量表示为r{x,y,xy2},rx{1,0,y2},%{0,1,2xy},7{0,0,0},2xy2,Gry214x2y2.2xy2,Gry214x2y2.L0,M1L0,M14：12y4,N、丁4x2；2y40,一族为dy=0,即渐近线的微分方程为Ldx22MdxdyNdy2,即4ydxdy2xdy2yc1,c1为常数.另一族为2ydx=-xdy,即lnx2yc2，或x2yc,c0,一族为dy=0,即.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线证在每一条曲线(C)的主法线曲面上，沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面，与曲线(C)的密切平面重合，所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.rr rrrr方法二：任取曲线:rr(s),匕的王法线曲面为S: (s,t)r(s)t(s),方法二：任取曲线rr&rs(s)t”(s)t(rr&rs(s)t”(s)t(r rrr)(1t)t，t(1t)rrr在曲线上，t=0,rsrt「，曲面的单位法向量n1st「，即nr,EGF2所以曲线 在它的主法线曲面上是渐近线..证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数，y=常数构成共腕网

证曲面的向量表示为r={x,y,f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。r r rrx{1,0,f},ry{0,1,g}.rxx {0,0,f},rxy{0,0,0},ryy{。,。，g},x=常数,y=常数rrrjr,因为M rxy x=常数,y=常数EGF2构成共腕网。.确定螺旋面r={ucosv,usinv,bv}上的曲率线.rvv解 ru {cosv,sinv,0},rv {usinv,ucosv,b}={-ucosv,-usinv,0},ruv={-sinv,cosv,0},Erv2b2,L=0,M=rvv解 ru {cosv,sinv,0},rv {usinv,ucosv,b}={-ucosv,-usinv,0},ruv={-sinv,cosv,0},Erv2b2,L=0,M=ruu={0,0,0} ，rv0，dv21dudv

0 b_u2b2du2

uln(u,u2b2)「b,N=0,曲率线的微分方程为,u2b2b20,即dvG和vln(vu2 b21 ，，i、，，=，、_11du,积分得两族曲率线方程:,u2b2u) C2..求双曲面z=axy上的曲率线2 2y,Fax,G22a2x2,L0,Ma1a2x2 2y,Fax,G22a2x2,L0,Ma1a2x2 ,N=0.2 2aydy22 21axdxdy22 2axy

a2 2 2 2,1axaydx22ax=0得(1a2y2 2)dx(1a2x2)dy2,积分得两族曲率线为ln(ax1a2x2)ln(ay1a2y2)c..求曲面r{|(uv),b(uv),uv}上的曲率线的方程.TOC\o"1-5"\h\z2,22 2,2 2,22,L0,解Eabv,FabUV,Gabu4 4 4,L0,abM=2 ,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是..EGF2, 2 .2 2 2 .2 .2 2 2(abu)dv(abv)du,积分得：ln(u.a2b2u2)ln(v..a2b2v2)c..给出曲面上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角，求证L是一平面曲线.证法一：因L是曲率线，所以沿L有dn 「dr,又沿L有？n二常数，求微商得n-n0,而n//dn//dr与正交，所以n0,即- •n=0,则有=0,或•n=0.若=0,则L是平面曲线；若・n=0,L又是曲面的渐近线，则沿L,n=0,这时dn=0,n为常向量，而当L是渐近线时，=n,所以为常向量，L是一平面曲线.证法二：若 n,则因ndr「，所以nII，所以dnII&,由伏雷rr内公式知dnII(r)而L是曲率线，所以沿L有dnIIr,所以有=0,从而曲线为平面曲线；若不垂直于n,则有？n=常数，求微商得&rr一&0,因为L是曲率线，所以沿L有dnIIdr，所以r&0,所以n0,即- •n=0,若=0,则问题得证；否则•n=0,则因nr0,有nII,dnIIdr||(- )IIr,矛盾。.如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线

证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。.求正螺面的主曲率。r解设正螺面的向重表小为r={ucosv,usinv,bv}.ruu={0,0,0}，rvv={-ucosv,-usinv,0},5={-sinv,cosv,0},Eru21,F ru rv0,2 2,2ruu={0,0,0}，rvv={-ucosv,-usinv,0},5={-sinv,cosv,0},Eru21,F ru rv0,2 2,2rv ubbL=0,M=———,N=0,

u2 b2代入主曲率公式(eg-f2)N(LG-2FM+ENN+LN-M2=022_aN=7^ 2770(ua)所以主曲率为17.确定抛物面17.确定抛物面z=a(x2y2)在(0,0)点的主曲率.r r 0 0r r斛曲面方程即ryy(0,0,2a},r{x,y,a(xy)},rx{1,0,2ax}ry(0,1,2ay),r r rrxx(0,0,2a},&{0,0,0},刖{0,0,2a}。在(0,0)点,E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,N=2a.所以2-4an+4a2=0,两主曲率分别为 1=2a, 2=2a..证明在曲面上的给定点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证曲面上的给定点处两主曲率分别为 1、 2,任给一方向及与其正交的方向+/2,则这两方向的法曲率分别为 n() 1cos2 2sin2,n( 2) 1cos2( 2) 2sin2( 2) 1sin2 2cos2 ,即

n()n( /2) 1 2为常数。.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数证由n1cos2 2sin2 得tg21,即渐进方向为2iarctg.1,2=-arctg21=2i为常数，所以为i为常数，即，为常数.1,即渐进方向为2iarctg.1,2=-arctg21=2i为常数，所以为i为常数，即，为常数.2.求证正螺面的平均曲率为零.证由第3题或第16题可知..求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率证在点x=y=0,E=1,F=0,G=1,L=0,M=a,N=0,H=LG2FMNE02 0,2(EGF)“LNM2 2K= r=-aEGF2.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点证法一： 由H=」 2=0有1=2=0或产-2 0.2若1=2=0,则沿任意方向n() 1cos2 2sin2=0,即对于任意的du:dv,■■ II2CR.!! 一I2knII-Ldu22Mdudv-Nd,0,所以有l=M=N=0对应的点为平点I Edu22FdudvGdv2若产-2 0,则K=12<0，即LN-M2<0,对应的点为双曲点证法二：取曲率网为坐标网，则F=M=0,因为极小曲面有H=0,所以LG+EN=0,HE>0,G>0,所以LN<0。若LNM2=0,则L=M=N=0,曲面上的点是平点，若LNM2<0,则曲面上的点是双曲点。.证明如果曲面的平均曲率为零，则渐近线构成正交网.证法一：如果曲面的平均曲率为零，由上题曲面上的点都是双曲点或平点若为平点，则任意方向为渐近方向，任一曲线为渐近曲线，必存在正交的渐近曲线网TOC\o"1-5"\h\z若为双曲点，则曲面上存在渐近曲线网.由19题，渐近方向 满足tg2 」=1,2即1=/4,2=- /4,两渐近线的夹角为力,即渐近曲线网构成正交网证法二：QH0LG2FMNE0渐近线方程为Ldu22MdudvNdv20所以啥2M所以啥2MduEduuF(duvdvu)N0,所以 一,一 一 ——dv v Ldv v Lduu du u.Gdvvdvv[EF( )G]dvv dv v=dvv[ENL-F(2M)G]0,所以渐近网为正交网 . 1 证法二：M0QH2(1 2)0,所以高斯曲率QK120,所以LNM20,所以曲面上的点是平点或双曲点。所以曲面上存在两族渐近线。取曲面上的两族渐近线为坐标网，则L=N=0,若M=0,曲面上的点是平点，若M0,则QH0LG2FMNE0,所以MF=0,所以F=0,所以渐近网为正交网。a2(ba),并令其绕轴旋转的圆环面，参数方程为r={(b+acos)cos,(b+acos)sin,asin},求圆环面上a2(ba),并令其绕轴旋转的圆环面，参数方程为r={(b+acos)cos,(b+acos)sin,asin},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。解E=a解E=a2,F=0,G=(b、2acos),L