2022届重庆市高三下学期5月月考数学试题（解析版）

2022届重庆市第一中学校高三下学期5月月考数学试题

一、单选题

1.设复数Z满足|z-i|=l,Z在复平面内对应的点为(x,y),则()

A.(x+1)2+=1B.(x-l)2+y2=1C.x2+(j-l)2=lD.^2+(>>+1)2=1

【答案】C

【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易.此题可采用几何法，根据点

(x,y)和点(0,1)之间的距离为1,可选正确答案C.

【详解】z=x+yi,z-i=x+(y—l)i,|z-i|=Jx2+(y-l)2=1,贝I]d+(/-1产=1.故选C.

【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养.采取

公式法或几何法，利用方程思想解题.

2.已知集合4=.v|言2°8={吊242,48},那么AC|3=()

A.[1,3]B.(2,3]C.[2,3]D.(0,3)

【答案】B

【分析】解分式和指数不等式可求得集合A8,由交集定义可得结果.

【详解】由号》0得：]:忆表<解得：xWO或》>2,即A=(—,0]U(2,”)；

由242"48得：l<x<3,即8=[l,3]；

.•乂口8=(2,3].

故选：B.

3.点P为椭圆4/+y2=i6上一点，F},名为该椭圆的两个焦点，若|M|=3,则归用=

()

A.13B.1C.7D.5

【答案】D

【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到归国+归用=2。=8,从而求出答案.

【详解】椭圆方程为：1+哈=1，由椭圆定义可知：附+|尸闾=2。=8,

故|P国=5

故选：D

4.已知偶函数〃x),当x>0时，〃引=*2-/'⑴x+2,则f(x)的图象在点(一2,7(-2))

处的切线的斜率为()

A.-3B.3C.-5D.5

【答案】A

【分析】求导后，代入x=l可得/'⑴，由此可得x>0时，/(X)=X2-X+2；根据奇偶

性可求得x<0时，/(x)的解析式，求导后代入x=-2即可得到切线斜率.

【详解】•.•当x>0时，_f(x)=2x—/'⑴，♦・/⑴=2-/'⑴，解得：/⑴=1,

.,.当x>0时，f[x)=JC-x+2-

当x<0时，T>0,:.f(-x)=^+x+2,

又/(x)为偶函数，，/(x)=/(-x)=f+x+2,即x<0时，/(X)=X2+X+2,

贝lj_f(x)=2x+l,.•/(-2)=T+1=-3.

故选：A.

5.已知一个圆台的上、下底面半径之比为1：2,母线长为4,其母线与底面所成的角

为45。，则这个圆台的体积为()

.56721125/2„80夜64042

A.--------兀DB.----------兀C.---------nV.-----兀

3333

【答案】B

【分析】作出辅助线，求出上、下底面半径和高，从而求出圆台的体积

【详解】如图，由题意得：BD=4,AB=2CD,ZABD=45°,

过点D作DELAB于点E,则DE=BE=4x变=2夜，

2

因为圆台的上、下底面半径之比为1：2,

所以CD=AE=BE=2y[2，

则圆台上底面面积为(2四)一兀=8兀，下底面面积为卜夜,71=32兀，

故圆台的体积为g(8兀+32兀+,8兀x32兀)x2&=包兀

故选：B

6.几何学中把变换前后两点间距离保持不变的变换称为刚体变换.在平面中作图形变

换，易知平移变换是一种刚体变换.以下两个函数“X)与g(x),其中g(x)不能由“X)

通过平移刚体变换得到的是()

A./(x)=sinx,g(x)=cosxB.f(x)=x2,g(x)=W+2x

C./(x)=2\g(x)=2*+lD./(x)=log2x,^(x)=log4x

【答案】D

【分析】ABC均可以通过左右平移或上下平移得到；D选项只能通过伸缩变换，而不

能由平移变换得到.

【详解】/*)=sinx向左平移］个单位即可得到g(x)=cosx；

因为8(力=》2+2*=(》+1丫-1,

所以〃x)=x2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位即可得到g(x)=f+2x；

/(x)=2'向上平移1个单位，即可得至ljg(x)=2，+l；

因为g(X)=log4x=；log,X,

故=log,X不能通过上下左右平移得到g(x)=log/.

故选：D

7.平面向量2,B满足忖=4,£与力的夹角为120、记正=f£+(lT»(rGR),当网取

最小值时，a-m=()

A.2GB.12C.D.4

【答案】B

【分析】设况=£，OB=b，作出图象，根据平面向量基本定理可知无£石起点相同，

终点在直线AB上，可知同.=26且＜£而＞=30,由向量数量积定义可求得结果.

I1mm

【详解】设厉=£,OB=b,则：)=浅1，如图所示，

一B

O

Q.与£4的夹角为120、.•.NQ48=12(r,ZOAC=60；

,.•m=ta+(l-t)b(teR)且/+(17)=1,

r.MZB起点相同时，终点共线，即在直线A5上，

,当而_L而时，向最小，又同=4,.,•同「25此时＜£,而＞=30\

a-/n=4x2\Z3cos30'—12.

故选：B.

8.已知等差数列｛%｝(公差不为零)和等差数列｛2｝的前〃项和分别为S“，T„,如果

关于x的实系数方程2021f-s2Mx+4以=0有实数解，那么以下2021个方程

平+2=0。=1,2,3,…,2021)中，无实数解的方程最多有()

A.1008个B.1009个C.1010个D.1011个

【答案】C

【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到*"-4九“±0,要想无实

根，要满足仿＜0,结合根的判别式与基本不等式得到4＜。和A2⑼＜。至多一个

成立，同理可证:成＜0和A2020co至多一个成立,……,品)”＞＜0和品“2＜0至多一个

成立，且4。“士。，从而得到结论..

【详解】由题意得：5^,-4x20217；^＞0,

其中S2⑼=迎粤如1=20214。“，4"=2021(1+%)=2021%，

代入上式得：^0ll-4b,nil＞0,

要想x2-平+4=0(i=l,2,3,…,2021)方程无实数解,则d-物＜0,

显然第1011个方程有解，

设方程f—qx+a=0与方程/一生。24+3)21=0的判别式分别为4和2⑼，

则A+AMI=(4—461)+(%02]-4%,2i)2q+^2021-4(4+，202i)

2安置一4佃+%融=粤龙-幽。“=2(廉广的。“”。，

等号成立的条件是ai=a202i.

所以4＜。和A2四＜0至多一个成立，同理可证：&＜0和4回＜0至多一个成立,

……,430<0和△⑼2<0至多一个成立，KA101l>0,

综上，在所给的2021个方程中，无实数根的方程最多1010个

故选：C

【点睛】对于数列综合题目，要综合所学，将不熟悉的问题转化为我们熟练的知识点进

行解决，比如本题中要结合根的判别式，以及等差数列的性质，以及基本不等式进行求

解，属于难题.

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.若二项式的展开式中所有项的系数和为-击，则展开式共有7项

B.对具有线性相关关系的变量为儿其线性回归方程为$=3X-4,若一个样本点为

（m,2）,则实数加的值是2

C.已知随机变量X服从正态分布若P（X>-2）+P（X26）=l,则〃=2

D.已知2X—y=6,若X〜3（5。6）,则£>“）=4.8

【答案】CD

【分析】令x=l可构造方程求得〃=7,知展开式有8项，知A错误；根据样本点未必

在回归直线上可知B错误；由P（X4-2）=P（XN6）,结合正态分布曲线对称性可知C

正确；根据二项分布方差公式可求得。（X）,由方差性质可得。（丫），知D正确.

【详解】对于A,令x=l,则展开式所有项系数和为,解得：及=7,则

（2J128

展开式共有8项，A错误；

对于B,样本点（m,2）不一定在回归直线上，・•.加不一定是2,B错误：

对于C,vP（X>-2）+P（X>6）=l,P（X<-2）+P（X>-2）=l,

2）=P（XN6）,;.〃=彳=2,C正确；

对于D,­.•X~B（5,0.6）,.•.£）（X）=5x0.6x04=1.2,

■.■2X-Y=6,.♦.O（y）=O（2X_6）=4O（X）=4xl.2=4.8,D正确.

故选：CD.

10.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两

种三角函数：定义l-cos。为角。的正矢，记作/rsin。，定义1-sin。为角。的余矢，记

作coversing,则下列命题正确的是（）

.16K1

A.v^rsin-----=—

32

B.versin(兀-8)—coversinT-T°

coversinx-\covers\wx-verx

C.若=2,贝。/、=——

v^rsinx-1'2-(<coversinx+versinx)3

工71

D.函数〃x)=versinI2022x--\+covers\n[2022x+的最大值为2+&

36

【答案】BC

【分析】AB选项，按照题干信息进行计算即可;C选项，按照题干信息计算得到tanx=2,

再分子分母同除以cosx把弦化切，进行求解；D选项，利用诱导公式及题干信息化简

得至lJ/（x）=2-2sin（2022x+《J,进而求出最大值.

【详解】野1]166K7rln兀3

versin=1-cos-----=1-cos5c兀+一=l+cos-=1,A错误;

33

，正

v^rsin(兀一6)—coversin(7t-，)-l+sin£-6)=cos0-cos=0,B

确;

coversinx-\1-sinx-l

-----------------=---------------=tanx=2,

versinx-11-cosx-l

coversin冗一uersinxl-sinx-l+cosx-sinx+cosx

2-(^coversinx+versinx)2-(l-sinx+l-cosx)sinx+cosxJ

c(7versinx-v^rsinx—tanx+1—2+11

分子分母同除以cosx得：------:-------:—-------7=丁;正确;

〃一jri*八IT2-((:6>versinx+versinx)tanx+12+13,C

/(x)=versin(2022x-[+coversin\2022%+—

I6

兀71兀71

=l-cos2022%--+1-sin2022x+-=2-sin2022x--+--sin2022x+-

36326

=2-2sinl2022x+^,

当5m（2022工+弓）=-1时，〃x）取得最大值为4,D错误.

故选：BC

11.已知抛物线y2=4x的焦点为R过点尸的直线交该抛物线于A（AX）,8（私％）两

点，点T（-L0）,则下列结论正确的是（）

4

A.yiy2=-

11

B-网+西

C.若三角形Z48的面积为S,则S的最小值为4夜

D.若线段AT中点为。，且|44=2忸Q|,则|AF|—忸同=4

【答案】ABD

【分析】A选项，设出直线AB：x=my+\,与/=4x联立后得到两根之积；B选项，

利用抛物线的定义得到|A尸|=演+1,忸耳=毛+1,转化为两根之和与两根之积的关系式,

代入求解；C选项，表达出S=j7F|E-%|=Ji才I记24,求出最小面积；D选项,

根据|AT|=2忸Q|得到N7BF=90。，BT.BF=O,得至1尾=石—2,进而计算出

%=石+2,求出明=4.

【详解】将直线AB：x=/ny+l与丁=4x联立得：y2-4my-4=0

设4（%,乂）,8（々，％）'±2刍＞0，则jyy.」_4，故A正确；

由抛物线的定义可知：|AF|=N+I,忸耳=々+1,

则-L+-L=_L+_L=-L_+_^=二心+%）+4_

\AF\\BF\玉+1x24-1my14-2my2+2疗yy2+2"?（X+必）+4

=一誓上4—=1，B正确；

-47n-+8/W+4

5=]"|回_必|=J（乂+%）2_4乂必='16”/+1624,当且仅当机=0时等号成立，故

S的最小值为4,C错误；

由|A刀=2怛。可得：ZTBF=90°,即前•丽=0,

所以（—I-9,—%AO-¥-1+£=*-1+4工2=。，

解得：£=后-2或％=-石-2（舍去），

22

又因为百々=景=1，所以玉=石+2,

因止匕|AF|-怛耳=%+1—d+1）=4,D正确.

故选：ABD

【点睛】抛物线的焦点弦的性质是比较多的，要重点记忆一些，比如当多=：,

,112

府[+同=万等.

12.已知函数/（力=52_^（。为常数），其中正确的结论是（）

A.当。=1时，/（力无最大值

B.若48为锐角AABC的两个锐角，则对于任意的“VO,都有/(sinA)</(cos8)

C.当。=|时，x=l是〃x)的极值点

D./(x)有3个零点的充要条件是ae，，+s]

【答案】ABD

【分析】根据/"⑺的正负可确定r(x)〈/'(ln2)<0,由此可得/(x)单调递减，知A

正确；根据HO时“X)在(。,+8)上单调递减且sinA>cos3>0,可知B正确；根据

/"(X)的正负可确定/'(犬)4/(1)=0,由此可得〃x)单调递减，知C错误；将D中问

题转化为丁=。与g(x)=5■有3个不同的交点，利用导数可求得g(x)单调性，采用数形

结合的方式可求得。的范围，知D正确.

【详解】对于A,当a=l时，/(力=1一以则/'(x)=2x—e*,_f(x)=2-e1

令/"(x)=0,解得：x=ln2,

.•.当xw(-oo,ln2)时，f"(x)>0；当xe(ln2,+oo)时,f(x)<0；

.・J'(x)在(ro,ln2)上单调递增，在(山2,物)上单调递减，

<f'(ln2)=21n2-2=2(ln2-1)<0,r.f(x)在R上单调递减，

，/(x)无最大值，A正确；

对于B,当“VO时，〃x)在(0,+功上单调递减，

••・A3为锐角AABC的两个锐角，・・.g<A<g,吟,

4242

/.sinA>cosB>0,/./(sinA)</(cosB),B正确；

对于C,当4时，〃力二9工2一e、，则r(x)=ex—eX,/"(x)=e-e\

乙2.

.,.当xe(-oo,l)时一，y(x)>0；当%€(1,+<»)时一，f"(x)<0；

.J'(x)在(一8,1)上单调递增，在(L”)上单调递减，♦・J'(x)V/'⑴=0,

•・J(x)在R上单调递减，；"(x)无极值，C错误；

对于D,显然x=0不是/(x)的零点，

.•.〃力有3个零点等价于V=。与g(x)=£■有一3个不同的交点；

X"

...g'(x)=(x-；)e',.•.当xe(e,0)U(2,y)时，g'(x)>0；当x«0,2)时,g'(x)<0；

••心(可在(-8,0),(2,+8)上单调递增,在(0,2)上单调递减，

则可得g(x)图象如下图所示，

即f(x)有3个零点的充要条件是D正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：本题考查导数在函数问题中的应用，判断是否存在最值和极值的基

本思路是通过确定函数的单调性，结合极值和最值定义得到结论；解决函数零点个数问

题的基本思路是将问题转化为图象交点个数问题，通过数形结合的方式来求得结果.

三、填空题

13.已知数列｛a,J满足：4=2,4用=詈"，则/。22=.

n

【答案】-3

【分析】由递推关系式可知数列｛4｝是周期为4的周期数列，根据%侬=/可得结果.

i-li+!

【详解】由题意得：%=罟=-3,%=旦=-4，q=T=J，%=T=2,

1-21+32]+_31_-

23

•・•数列｛。,,｝是周期为4的周期数列，，为。22=4*505+2=%=-3.

故答案为：-3.

14.若从甲、乙等6名志愿者中随机安排1人任正组长，1人任副组长，以及2名普通组

员到北京冬奥会花样滑冰场馆服务，若甲做正组长时乙不能做副组长的安排方案有

_____种.

【答案】24

【分析】首先甲做正组长的安排方案和甲做正组长时，乙做副组长的安排方案种数，采

用间接法求得结果.

【详解】甲做正组长，则共有C；C：=5x6=30种安排方案；其中乙做副组长的安排方案

有d=6种；

・••甲做正组长时乙不能做副组长的安排方案有30-6=24种.

故答案为：24.

15.已知〃%)=渥+。底+4(."为实数)，"Iglog310)=2022,则/(lglg3)=.

【答案】-2014

【分析】先化简得到了(出%10)=〃-馆怆3)=2022,再利用函数奇偶性进行求解.

【详解】/(lglog310)=/(-lglg3)=2022,

因为8(司=/(耳_4=/+6也为奇函数，

所以g(-lglg3)=-g(lglg3),

其中g(—lglg3)=/(—lglg3)—4=2018,

所以一g(lglg3)=4-〃lglg3)=2018,

解得：/(lglg3)=—2014

故答案为：-2014

16.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球

的直径恰好与圆柱的高相等.这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现.如图,

在底面半径为2的圆柱QQ内有球O与圆柱QQ的上、下底面及母线均相切，设A8分

别为圆柱的上、下底面圆周上一点，且。/与所成的角为90、直线A3与球。

的球面交于两点M，N,则线段MN的长度为.

【答案】2&

【分析】取A8中点G,由等腰三角形三线合一可得OGLAB；由线面垂直的判定与性

质可证得利用勾股定理可推导求得MG,又OM=ON,可知6为网中

点，由此可得MN=2MG.

【详解:TiOAQ丝AOB。?，..04=03,取A8中点G,连接OG,OA,OM,ON,O8,QA,

B

-.OA=OB,G为A3中点，：.OGYAB-,

■：02B10,A,O2BLOtO2,OXA[\O[O2=Ot,。[40]。2u平面AO。?，

..OzBJ.平面AO02，又。/u平面AQQ,:.O2BYO2A.

22122222

•.•OA=00：+O.A=8,AB=O2A+O2B=2+4+2=24,

:.OG=^OAC-AG-=^6=V2>MG=>JOM2-OG2=A/4^2=72>

•;OM=ON,:.G也是MN中点，：.MN=2MG=26.

故答案为：2夜.

【点睛】关键点点睛：本题考查旋转体中的线段长度的求解问题，解题关键是能够熟练

应用圆柱和球的结构中的长度相等的线段之间的关系，结合垂直关系，利用勾股定理来

进行求解.

四、解答题

17.已知数列｛《,｝的前”项和为5"，点（凡,邑）在直线2x—y-〃=0上

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵记"=」』，数列也｝的前〃项和为r“，求使得（成立的〃的最大值.

“".《,+12022

【答案】（1）4,=2"-1

(2)9

【分析】（1）将（4,s“）代入直线方程，可得S“=2/-〃，利用/与S“关系可证得数列

{«„+1}为等比数列，由等比数列通项公式推导可得4;

（2）由（1）可得"，采用裂项相消法可求得解不等式可求得〃49,由此可得最

大值.

【详解】（1）・•・点&£）在直线2x-y-〃=0上，

当"=1时，S[=2q-1,解得：a,=1；

当〃22时,S“_]=2a“_]—（〃—1）>a"=Sn—=2a“—2dn_l—I,

即%=2a,i+1,：.an+\=2（a,i+1）,

，数歹U{q+1}是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列，.•.q,+l=2-2"T=2",

.•.«„=2"-1.

,2"11

⑵由（1）得：2=「]）（”+­）=齐丁声口,

1

-----------1-■,—----+-----------+•••+-------------1-------------

2,-122-122-123-123-124-12n-,-lT-\T-\2n+,-1

1111

--------------------=I------------

21-12H+,-12w+,-1

由小黑得--120211

——;——<------,——：——>-------,则22<2023,

2n+,-l20222w+,-l2022

n+\<10,则〃W9,

2021

,使得北<-成---立-的〃的最大值为9.

2022

cosBb，②-*一=入,③而•》三个条件中任选

18.在①2s=-6

cosC2a+csin8-sinCa+c

一个补充在下面的横线上，并加以解答.在AABC中，角4氏C的对边分别为

27r

且,,作AP〃8C,连接8围成梯形ABC。中48=4,BC=2,/ACD=—

（1）求角B的大小；

（2）求四边形ABC。的面积

【答案】⑴B=T

(2)16方

【分析】(1)选①：利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可求得cosB,由此

可得B;选②：由正弦定理角化边，可配凑出余弦定理的形式，求得cosB,由此可得B；

选③：由向量数量积和三角形面积公式可求得tan8,由此可得B；

(2)在AABC中，由余弦定理可求得AC和cosZAC8,进而得到sinZACB,由平行关

系可确定sin/CAO,cosZCAD；利用两角和差正弦公式求得sin乙M)C后，利用正弦

定理可得CO；根据三角形面积公式和$四边畴sc。=SNBC+SAAS可求得结果.

cos8_sinB

【详解】(1)若选条件①，由正弦定理得:

cosC2sinA+sinC

即2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC,

/.2sinAcosB=-sinBcosC-cosBsinC=-sin(B+C)=-sin(^--A)=-sinA,

•.MG(0,^),:.s\nA^0,.\cosB=-^,又8w(0,;r),.•.3=笄.

若选条件②，由正弦定理得：二="，^a2+c2-b2=-ac,

b-ca+c

八ci"+c2—/?-17\.2乃

cosB=--------------=—，又Be(0,))，B=――.

lac23

若选条件③，2S=-6BA・BC,tzcsinB=-yfiaccosB,

:.tanB=^^-=-43,又:.B=—

cos83

(2)在△ABC中，由余弦定理得：b2=ct2+c2-2,accosB=20-16cos=28,:.b=2不,

/+从工4+28-16_2>/7

cosZACB=

lab8币—-〒

/.sinZACB=A/1-COS2ZACB=—,又ADI/BC,ZCAD=ZACB

7f

而2五

/.sinZ.CAD=-----，cosZ.CAD'=------，

77

sinZADC=sin(ZC4D+ZACD)=sinZCADcosZACD+cosZCADsinZACD

7l7214

9万

~A»,niACsinZCAD7〃r-

在△ACD中，由正弦定理得：CD=；——7==4y/7,

sinZADCy/21

7T

S四边形刖=S.ABC+s,ACO=；X4X2sin等+gX2/X4辰彳=16心

19.在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9

球失19球的成绩惨败出局.甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行

定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，

一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者

得1分，不进球者得-1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中

的概率为g,乙每次踢球命中的概率为：，甲扑到乙踢出球的概率为:，乙扑到甲踢出

球的概率（，且各次踢球互不影响.

（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X,求X的数学期望；

（2）若经过〃轮踢球，用心表示经过第i轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率，求

P"P1，P3,

【答案】⑴:

c416272

（27）p1,=—,=——,P,=---

15匕45匕675

7I

【分析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A,乙进球为事件B,求出P（4）=g,P（8）=］，

求出X的可能取值及相应的概率，求出分布列及数学期望；

（2）目=］可直接在第一问的基础上直接得到，生分三种情况，进行求解，分析得到

经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况，进行求解幺.

【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A,乙进球为事件B,A,B相互独立,

由题意得：尸伊）十（1_］总=

甲的得分X的可能取值为-1,0,1

P（X=-1）=咿8）=尸（W）P（8）=（l-|）x；j

P（X=0）=尸（A8）+尸（Z百）=P（A）P（8）+P（W）P（耳）=+

/>"=1）=”）=*4）咽令（1—£|4,

所以X的分布列为：

X-101

84

P

51515

4-lx——=

1515

4

（2）由（1）得：p[=西,

I--,84484

p,=P（X=O）P（X=l）+P（X=l）［P（X=O）+P（X=l）］=-x-+-x—十—

1515

经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得

1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分,

1轮得-1分.

1272

+C；X—=--------

5675

20.如图，四棱锥P—ABCD的底面4BCO是等腰梯形，AB//CD,BC=CD=2,AB=4,

△P3C是等边三角形，平面PBCJ_平面ABC。，点M在棱PC上.

（1）当M为棱PC中点时，求证：APVBM-,

⑵若点M满足：CM=^CP,求锐二面角MB-C的余弦值.

【答案】（1）证明过程见解析；

”、3厉

\^）----

37

【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理求出4c=2百，进而由勾股定理逆定理得到

AC±BC,由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，从而证明出线面垂直，证明

出AP_L8W；

（2）先证明尸O,BC,ON两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二

面角.

【详解】（1）连接AC,过点C,。分别作CEJ_AB于点E,。尸，AB于点产，

底面ABCD为等腰梯形且BC=CD=2,AB=4,

则AF=8E=1,所以44BC=1,

由余弦定理得：AC=JAB2+BC2-2ABBCCOS^=J16+4-8=2^3,

所以AC'+BC?=AB?,所以AC_LBC,

又平面平面ABC。，且交线为BC,

所以AC_L平面PBC,

因为BA7u平面PBC,

所以ACLBM,

因为M是棱PC的中点，且APBC是等边三角形

所以尸C,

因为Acntc=c,

所以BMJ_平面APC,

因为APu平面4PC,

所以AP_LBM

(2)取8c中点0,连接尸。，因为三角形尸8c为等边三角形，

所以P0_LBC,

又平面P3C_L平面A8CC,且交线为8C,

所以尸0,平面ABC£>,

取AB的中点M连接CW,则0N〃AC,

由(1)知0N_L平面P8C,

所以P。，BC,0N两两垂直，

以0为坐标原点，以。C,ON,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),8(-1,0,0),C0,0,0),。(2,百,0),尸(o,o,6),M；，°，半，

易知平面的一个法向量E=((),1,0),

设平面MB。的一个法向量为后=(x,y,z),

______5G

则J33，可取%=(四3,-5),

尤+

n2-BD=3=0

设锐二面角。-M8-C的大小为。,

|(0,1,0).(6-3,-5)13历

贝！Jcos0=|cos4,%|=

同•同J3+9+25—37

21.已知函数〃x)满足〃x)=2〃—x)+3x-l.

(1)若关于x的方程|/(可|=左上2-》一“恰有四个不同实数根，求实数人的取值范围;

⑵若ln(/nr+〃)</(x)对定义域中的x恒成立(其中加片。)，求机”的最大值.

【答案】⑴(0，£)U(l,+8)

【分析】(1)采用构造方程组的方式可求得了(X)解析式，从而将方程变为

「(X+I+一3,将问题转化为'=(、+>±一3与":的图象恰有四个不同

交点，作出函数图象，采用数形结合的方式可求得结果；

(2)将不等式转化为In(侬+九)-x-IWO；当机<0时，取了=一〃，可知不等式

m

不成立；当〃>0时，令g(x)=ln(g+〃)r-l,利用导数可求得g(力单调性，由此可

得g(x)a=1"m+'一2,则原问题等价于研(〃(间=2加一/山/%,利用导数可求得

3

才(机)单调性，进而得到由此可得结果.

【详解】⑴•••/(x)=2/(—x)+3x—l,.•J(—x)=2/(x)—3x—l,

贝U/(x)=4/(x)—3x—3,解得：〃x)=x+l；

若关于x的方程|〃x)|=小27T恰有四个不同实数根，则七°，

x2—x—\

=(x+l)+-----3

~kx+1

则关于X的方程|/（司|二*2-工-”恰有四个不同实数根等价于产（工+1）++-3与

y=）的图象恰有四个不同交点，

K

当X<_1时，x+KO,由对勾函数单调性知：y=（x+l）+W在（9,-2）上单调递增，

在（一2,—1）上单调递减，，（x+l）+占4-2,

贝！]当xvT时，（x+l）H------3=5；

X+1min

当X>_1时，x+l>o,由对勾函数单调性知：y=（x+1）+士在（TO）上单调递减，在

（0,的）上单调递增，.•.（X+1）+£N2,

则当X>1时，（x+l）+-^--32-1,又当时，（x+l）+-^--3=0；

由此可作出>=（x+l）+-1-3与y=1的图象如下图所示，

x+1k

即实数k的取值范围为（o,t）u（l，+8）.

(2)In(zzzr+w)</(x),ln(Anr+H)<x+l,Bpln(/nx+H)-x-l<0；

①当机<0时，对任意常数〃，取工=二〃'一"，代入上式可得：「J-〉。，不合题意;

mm

(m-n\

rI一"2X---------

②当zn>0时，令g(x)=ln(mr+〃)-x—l贝％(力=」-7=」—w!

tnx+nmx+n

.•.当xe（十时，g,（x）>0；当时，g[x）<（）；

/\[nm—n।,少,(m.—n।〜、一、、，、，、

，g(x)在--,----上单调递增IA，在------，田上单调递减，

\mtn)\m)

(、(tn-n\,n

•••4-L=4—J=m-+--2.

ln(mr+n)</(x)等价于n<2m-m\ntn,;.mn<2m2-m2lnm，

设〃(〃7)=2病一疗1!1机，则〃'(1%)=36一2机Inn?=n7(3—2In〃i),

(3\/3\

・,.当加£0,3时，碉m)>0；当〃zw后,+8时，研利)vO；

\/\7

/3\/3\

二〃㈣在0,”上单调递增，在一,+8上单调递减，

\7\7

3\o33—

，〃(租)3=力-=2"#=万，.•.〃"?吗(当吁1〃=巴时取等号)，

、)乙乙