数学新设计湘教版必修三讲义第六章立体几何初步6-2-2-2

第2课时平面与平面平行[学习目标]1．理解平面与平面平行的判定定理、性质定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理、性质定理，并知道其地位和作用．3．能运用平面与平面平行的判定定理、性质定理证明一些空间面面关系的简单问题．[知识链接]1．直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行．2．直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．[预习导引]面面平行的判定定理、性质定理定理表示面面平行的判定定理面面平行的性质定理文字叙述一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线互相平行符号表示eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α,b⊂α,a∩b＝P,a∥β,b∥β))⇒α∥βeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b图形表示要点一平面与平面的位置关系例1已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．答案③④解析①错．a与b也可能异面；②错．a与b也可能平行；③对．∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点；④对．由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错．a与β也可能平行．规律方法两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交．熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键．跟踪演练1如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交 D．不能确定答案C解析如图所示，由图可知C正确．要点二平面与平面平行的判定例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.证明(1)连结B1D1，∵E，F分别是B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连结DF，MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，AM，MN⊂平面PMN，∴平面MAN∥平面EFDB.规律方法证明两个平面平行的关键在于证明线面平行．在证明面面平行时，可利用面面平行判定定理的推论：如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即证一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条相交直线分别平行即可．跟踪演练2如图，三棱锥P－ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明平面GFE∥平面PCB.证明因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂平面PCB，所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.又EF∩GF＝F，EF，GF⊂平面GFE，所以平面GFE∥平面PCB.要点三面面平行的性质定理的应用例3如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，∴A′B′∥平面C′D′DC.同理A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′＝A′，A′A，A′B′⊂平面A′B′BA，∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD.同理AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形．规律方法1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．2．面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．跟踪演练3如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.证明过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连结MP，PN，BE，ED.∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC.∵α∥β，∴AC∥DE.又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥DE.∵PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α.又M，P分别AB，AE的中点，∴MP∥BE，又MP⊄α，BE⊂α，∴MP∥α，又MP∩PN＝P，MP，PN⊂平面MPN，∴平面MPN∥α.又MN⊂平面MPN，∴MN∥α.1．圆柱的两个底面的位置关系是()A．相交 B．平行C．平行或异面 D．相交或异面答案B解析圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．2．下列说法正确的是()①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③ B．②④C．②③④ D．③④答案D解析由两平面平行的判定定理知③④正确．3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案A解析EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥面E1FG1，同理EH1∥平面E1FG1，且EG∩EH1＝E，EG，EH1⊂平面EGH1，∴平面EGH1∥平面E1FG1.4．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．答案平行解析在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l⊂β，∵a∥β，∴a与l无公共点，∴a∥l，∴l∥α.又b∥α，b∩l＝O，根据面面平行的判定定理可得α∥β.5．若平面α∥平面β，a⊂α，下列说法正确的是________．①a与β内任一直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内任一直线不垂直；④a与β无公共点．答案②④解析∵a⊂α，α∥β，∴a∥β，∴a与β无公共点，④正确；如图，在正方体中，令线段B1C1所在的直线为a，平面ABCD为平面β，平面A1B1－C1D1为平面α，显然a与β内无数条直线平行，故②正确；又AB⊥B1C1，故在β内存在直线与a垂直，故①③错误．常见的面面平行的判定方法：(1)利用定义：两个平面没有公共点．(2)归纳为线面平行．①平面α内的所有直线(任一直线)都平行于β，则α∥β；②判定定理：平面α内的两条相交直线a，b都平行于β.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α,b⊂α,a∩b＝P,a∥β,b∥β))⇒α∥β，五个条件缺一不可．应用时的关键是在α内找到与β平行的相交直线a，b.(3)化归为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β(证明后可用)．(4)利用平行平面的传递性：两个平面同时和第三个平面平行，则这两个平面平行．一、基础达标1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面或相交答案D解析如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．2．下列说法中正确的是()A．如果两个平面α，β只有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝aB．两平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线C．两平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝AD．两平面ABC与DBC相交于线段BC答案A解析B不正确，若A∈α∩β，则α，β相交于过A点的一条直线；同理C不正确；D不正确，两个平面相交，其交线为直线而非线段．3．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．可能重合答案C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．4．a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β有()A．只能作一个 B．至少一个C．不存在 D．至多一个答案D解析∵a是平面α外的一条直线，∴a∥α或a与α相交．∵当a∥α时，β只有一个，当a与α相交时，β不存在．5．平面α与β平行的条件可能是()A．α内有无穷多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥βC．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何直线都与β平行答案D解析如图①，α内可有无数条直线与β平行，但α与β相交．如图②，a∥α，a∥β，但α与β相交．如图③，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，但α与β相交．故选D.6．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．7．已知底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．解存在，点F为PC的中点时，BF∥平面AEC.理由如下：如图，连结BD交AC于O点，连结OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连结BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC.又BG∩GF＝G，GF，BG⊂平面BGF，∴平面BGF∥平面AEC.∵BF⊂平面BGF，∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD的中点，∴E是GD的中点．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点．而GF∥CE，∴F为PC的中点．因此，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.二、能力提示8．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面答案D解析由面面平行的性质定理，点C应在过AB中点且平行于α(或β)的平面内．故选D.9．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝________.答案eq\f(4,25)解析由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝(eq\f(A′B′,AB))2＝(eq\f(PA′,PA))2＝eq\f(4,25).10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面BDD1B1.答案M∈FH(答案不唯一，如FH∩GE＝M等)解析如图，取B1C1的中点P，连结NP，NH，MN，HF，PF，则可证明平面NPFH∥平面BDD1B1，若MN⊂平面NPFH，则MN∥平面BDD1B1.故M为FH上任意一点．11．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连结DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A