新教材人教a版选择性必修第三册6.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案

6．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理新课程标准解读核心素养通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，并能运用数学抽象、数学运算、逻辑推理第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号．[问题](1)总共能编出多少种不同的号码？(2)你能说说这个问题的特征吗？知识点一分类加法计数原理1．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分类加法计数原理的推广完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．分类加法计数原理中各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．分类加法计数原理中“不同方案”如何理解？提示：分类加法计数原理中“完成一件事有n类不同方案”是指完成这件事的所有方法可以分为n类，即任何一类中的任何方法都可以完成这件事，这n类不同方案中的方法互不相同，且完成这件事的任何一种方法都在某一类方案中．1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有()A．3种 B．4种C．7种 D．12种解析：选C选择课程的方法有2类：从A类课程中选一门有3种不同方法，从B类课程中选1门有4种不同方法，所以共有不同选法3＋4＝7种．2．某校高二有三个班，分别有学生50人、50人、52人．从中选一人担任学生会主席，共有多少种不同选法()A．100 B．102C．152 D．50解析：选C这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也可能是三班学生．根据分类加法计数原理，共有50＋50＋52＝152种不同选法．知识点二分步乘法计数原理1．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．2．分步乘法计数原理的推广完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步，各个步骤相互依存，完不成其中任何的一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件．如何区分“完成一件事”是分类还是分步？提示：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为()A．10 B．6C．8 D．9解析：选D因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3种选法，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3种选法，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．2．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条．解析：经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一种，由分步乘法计数原理得一共有4×3＝12(条)．答案：12分类加法计数原理的应用[例1](链接教科书第3页例1)某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，那么一台电视机共可以选看多少个不同的节目？[解](1)当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类：第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目；第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目；第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目．根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看12＋10＋46＝68个不同的节目．(2)因为有3个频道正在转播同一场球赛，所以这3个频道转播的节目只有1个，而其余频道共有(12＋10＋46－3)个正在播放的互不相同的节目，所以一台电视机共可以选看1＋(12＋10＋46－3)＝66个不同的节目．利用分类加法计数原理的解题流程[跟踪训练]1．(2021·怀柔一中月考)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定的不同的平面个数为()A．40 B．16C．13 D．10解析：选C分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理，知共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面．2．为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男生38人和女生18人中选取1名学生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有________种．解析：完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法计数原理，共有N＝38＋18＝56(种)不同的选法．答案：56分步乘法计数原理的应用[例2](链接教科书第4页例2)从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为多少？[解]由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法．由分步乘法计数原理得，可以组成抛物线的条数为5×5×4＝100(条)．[母题探究]1．(变条件)本例中若二次函数图象开口向下，则可以组成抛物线的条数又为多少？解：需分三步完成，第一步确定a有2种方法，第二步确定b有5种方法，第三步确定c有4种方法，故可组成2×5×4＝40(条)抛物线．2．(变条件，变设问)若从本例的六个数字中选2个作为椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的参数m，n.则可以组成椭圆的个数是多少？解：据条件知m>0，n>0，且m≠n，故需分两步完成，第一步确定m，有3种方法，第二步确定n，有2种方法，故可以组成椭圆的个数为3×2＝6(个)．利用分步乘法计数原理的解题流程[跟踪训练]一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？解：(1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5×4＝20(种)不同的取法．(2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能，所以共有49种不同的投法．两个计数原理的综合应用[例3](链接教科书第5页例3)在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？[解]选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．第一类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6(种)选法；第二类：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6(种)选法；第三类：从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4(种)选法；第四类：2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛，有2种选法．所以共有6＋6＋4＋2＝18(种)不同的选法．在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．[跟踪训练]集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}．现从A，B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标．(1)可以得到多少个不同的点？(2)在这些点中，位于第一象限的有几个？解：(1)一个点的坐标由x，y两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类：第一类：选A中的元素为x，B中的元素为y，有3×4＝12(个)不同的点；第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4×3＝12(个)不同的点．由分类加法计数原理得不同的点的个数为12＋12＝24(个)．(2)第一象限内的点x，y必须为正数，从而只能取A、B的正数，同样可分为两类，类似于(1)．由分类加法计数原理得适合题意的不同点的个数为2×2＋2×2＝8(个)．1．某班小张等4名同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每名同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A．27种 B．36种C．54种 D．81种解析：选C小张的报名方法有2种，其他3名同学的报名方法各有3种，由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法，故选C.2．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1,2,3,4,5}，b＝{1,2,3,4,5,6,7}，则满足上述条件的椭圆个数为()A．20 B．24C．12 D．11解析：选A当a＝1时，b＝2,3,4,5,6,7，有6个；当a＝2时，b＝3,4,5,6,7，有5个；当a＝3时，b＝4,5,6,7，有4个；当a＝4时，b＝5,6,7，有3个；当a＝5时，b＝6,7，有2个．由分类加法计数原理，共有6＋5＋4＋3＋2＝20个．3.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()A．26 B．24C．20 D．19解析：选D因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法，12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和，即3＋4＋6＋6＝19，故选D.4．已知a∈{3,4,5}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示_