新教材人教a版选择性必修第二册5.1.1变化率问题学案

第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题自主学习·必备知识课表解读课标要求素养要求1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程;2.体会极限思想.1.数学抽象——能通过实例领会变化率的概念;⒉数学运算——会求平均变化率与瞬时变化率.教材研习教材原句要点一瞬时速度1.我们把物体在①某一时刻的速度称为瞬时速度.要点二曲线的切线及其斜率抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系.记Δx=x-1,则点P的坐标是(1+Δx,(1+Δx)2.我们可以用②割线P0P的斜率k近似表示切线P0T的斜率k0,3.从几何图形上看,当横坐标间隔|Δx|无限变小时,点P无限③趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.这时,割线P0P的斜率k无限趋近于点自主思考1.切线与曲线只有一个公共点吗?答案：提示切线与曲线至少有一个公共点,其中有一个公共点必是切点.名师点睛1.平均速度与瞬时速度的意义与计算方法（1）平均速度只能大致描述运动物体在某一段时间内运动的快慢,瞬时速度可以精确地描述运动物体在某一时刻运动的快慢.（2）对于运动物体来说,平均速度随着时间间隔越来越小逐渐趋近于瞬时速度,所以瞬时速度是平均速度的极限值,即v=2.曲线在切点处的切线斜率的意义与计算方法（1）准确理解曲线的切线的概念：不能根据对圆的切线（与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线）的认识推广到任意曲线的切线.曲线y=f(x)在切点P(x0,f(x0))处的切线与曲线的公共点可能不唯一,如图,幂函数y=x3的图象在点P(1,1)处的切线与函数图象有两个公共点（点P（2）切线的斜率等于割线斜率的极限值,即k=lim3．常见的函数的极限（1）limΔx→0C=C（C（2）limΔx→0(C+Δx)=C（C互动探究·关键能力探究点一求平均速度与瞬时速度精讲精练例沿直线运动的物体的位移与时间的关系式为s=3t2+4t（位移单位：m,时间单位：s（1）求2 s到3 s（2）分别求第2 s和第3 s答案：（1）2 s到3 s内的平均速度为（2）设2 s附近时间的增量为Δt,则物体在2 s与(2+Δt)s所以物体在第2 s时的瞬时速度为同理求得物体在第3 s时的瞬时速度为v=22(变式若本例条件不变,如何求运动物体在2 s到3 s内的平均加速度？如何求运动物体在第2 s与第答案：设在时刻t附近的时间增量为Δt,则在时刻t的瞬时速度为v==lim由于加速度为速度增量对于时间增量的比率,所以在2 s到3 sa¯设2 s附近时间的增量为Δt,则物体在2 s与(2+Δt)a¯所以物体在第2 s时的瞬时加速度为同理,物体在第3 s时的瞬时加速度为a=6(解题感悟计算瞬时速度的步骤已知直线运动的物体的位移时间方程为s=s(t).（1）计算平均速度：设t=t0时刻附近的时间增量为Δt，则在t0与t0+Δt（2）计算极限：物体在t=t0时刻的瞬时速度是平均速度的极限值,即迁移应用1.（2021山东日照高二质检）一质点的运动方程是s=5-3t2,则在时间段[1,1+Δt]A.3Δt+6B.-3Δt+6C.3Δt-6D.-3Δt-6答案：D解析：v¯2.一个物体的运动方程为s=(2t+1)2（位移单位:m,时间单位:s）,则物体在0 s到1 s内的平均速度为,物体在答案：8 m/s;解析：由题意得物体在0 s到1 s内的平均速度设在1 s末附近的时间增量为Δt,则在1 s末的瞬时速度为探究点二曲线的割线、切线斜率精讲精练例已知曲线y=2x2+1（1）求曲线的割线PQ的斜率;（2）求曲线在点P,点Q处的切线的斜率.答案：（1）由曲线y=2x2+1上的点P(0,1),Q(1,3),得割线PQ（2）设曲线上点P(0,1)附近的一点M(Δx,2(Δx)2+1)，则割线PM的斜率k=2(Δx)2+1-1Δx=2Δx,由在点P(0,1)同理,曲线在点Q(1,3)处的切线斜率k2变式请你利用判别式法求出曲线y=2x2+1在点Q(1,3)处的切线的斜率,并求出点Q答案：设曲线y=2x2+1在点Q(1,3)则切线方程为y-3=k(x-1),代入y=2x2+1得2x依题意,方程有且只有一个根,所以Δ=(-k)2-4×2(k-2)=0,所以所求切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.解题感悟计算切线斜率的方法步骤已知曲线y=f(x),切点坐标为(x（1）先计算割线斜率：设x=x0附近的增量为Δx,计算点(x0,y0（2）再计算极限得切线斜率：曲线y=f(x)在切点(x0,y0)迁移应用1.求曲线y=4x2在x=2答案：∵Δy=4(2+Δx∴ΔyΔx∴切线斜率k=lim由于切点为(2,1),所以切线方程为y-1=-(x-2)，即x+y-3=0.评价检测·素养提升课堂检测1.已知函数y=f(x),自变量x由x0变化到x0+Δx时,函数值的变化量ΔyA.f(x0C.f(x0答案：D2.（2020吉林长春东北师大附中高二月考）某物体沿水平方向运动,其前进距离s（米）与时间t（秒）的关系为s(t)=5t+2t2,则该物体在前2秒内运动的平均速度为（单位：米/秒）（A.18B.13C.9D.13答案：C3.已知一直线运动的物体,当时间从t变到t+Δt时物体的位移为Δs,那么lim△t→0​A.时间从t变到t+Δt时物体的速度B.在t时刻该物体的瞬时速度C.当时间为Δt时物体的速度D.时间从t变到t+Δt时物体的平均速度答案：B4.已知函数y=2x+3,当x由2变到时,函数值y答案：15.已知函数y=f(x)=x3,则f(x)的图象在点（1,1）处的切线斜率为,答案：3;3x-y-2=0解析：因为Δy=(1+Δx=Δx[(1+Δx=Δx[(Δx)所以ΔyΔx所以lim△x所以f(x)的图象在点（1,1）切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.素养演练数学运算——计算瞬时速度年的一天,年轻的意大利比萨大学数学教授伽利略,邀请比萨的一些学者和大学生来到斜塔下面,他和他的助手登上斜塔,让一个重十磅和一个重一磅的铁球同时由塔上自由下落,轻的和重的几乎同时落地.伽利略把试验重复了一次,结果仍然相同.伽利略的试验动摇了亚里士多德在物理学中长期占统治地位的臆断,在观众中引起了极大的震动.两个铁球同时着地的原理是自由落体运动,两铁球下落高度相同,同时落地,和质量无关.不受任何阻力,只在重力作用下而降落的物体,叫“自由落体”.已知自由落体的位移时间的计算公式为s(t)=1（1）0 s到1 s内的平均速度与1 s到（2）1 s末和2 s（3）请求出自由落体的瞬时速度的计算公式.答案：（1）0 s到1 s内的平均速度为1 s到2 s内的平均速度为ΔsΔt（2）不相同.理由如下：设1 s末附近时间的增量为Δt,则物体在1 s与(1+Δt)s物体在1 s末的瞬时速度为v1=limΔt→0Δs（3）设ts时刻附近时间的增量为Δt,则物体在ts与(t+Δt)s内的平均速度为=1所以物体在ts时刻的瞬时速度为v=素养探究：1.求平均速度就是求位移增量与时间增量的比率,数学公式为ΔsΔt2.求瞬时速度就是求平均速度当时间增量趋近