新教材人教b版选择性必修第二册4.2.1随机变量及其与事件的联系学案

随机变量4．随机变量及其与事件的联系新课程标准解读核心素养1.通过具体实例了解随机变量、离散型随机变量的概念数学抽象，能在具体问题中恰当地定义随机变量，理解两个随机变量之间的关系数学抽象、逻辑推理在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环，……，命中10环等结果，若用X来表示他一次射击所命中的环数，则X即为随机变量．[问题]上述情景中，随机变量X的取值情况如何？知识点一随机变量的概念1．一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示．随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围．2．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量的取值范围包含一个区间．eq\a\vs4\al()1．对随机变量的再理解(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量；(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．但这些数是预先知道的可能值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．2．离散型随机变量的特征(1)可用数值表示；(2)试验之前可以判断其出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值；(4)试验结果能一一列出．知识点二用随机变量来表示事件一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X＞b等都表示事件，而且：(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；(2)事件X≤a与X＞a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X＞a)＝eq\a\vs4\al(1)．知识点三随机变量之间的关系一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“正面出现的次数”为随机变量．()(2)随机变量是用来表示不同试验结果的量．()(3)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．()(4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．两颗都是4点D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：选D抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，而ξ表示抛掷两颗骰子所得到的点数之和，ξ＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2，所以ξ＝4表示的随机试验的结果是一颗是1点、另一颗是3点或者两颗都是2点，即若将两颗骰子的点数记为(x，y)，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是(1，3)，(3，1)，(2，2)．离散型随机变量的判断[例1]指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由：(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号码；(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(3)某林场树木最高达30m，此林场中树木的高度．[解](1)只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片号码可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(2)从10个球中任取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切数值，无法一一列出，不是离散型随机变量．eq\a\vs4\al()离散型随机变量的判断方法(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．[跟踪训练]下列不是离散型随机变量的是()A．掷一个质地均匀的骰子出现的点数B．投篮一次的结果C．某同学在12：00到12：30到校的时刻D．从含有10件合格品、10件次品的20件产品中任取3件，其中的合格品件数解析：选CA中骰子出现的点数为1点，2点，3点，4点，5点，6点，可以一一列举出来，是离散型随机变量；B中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，也可以一一列举出来，是离散型随机变量；D中3件产品中的合格品件数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来，是离散型随机变量；C中的时刻，我们不能一一列举出来，因而C不是离散型随机变量．故选C.随机变量的取值范围及其应用[例2]写出下列随机变量的取值范围：(1)张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗为ξ；(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数ξ；(3)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(4)电台在每个整点都报时，，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．[解](1)ξ的取值范围为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．(2)ξ的取值范围为{1，2，3，4，5，6}．(3)ξ的取值范围为{3，4，5}．(4)ξ的取值范围为[0，]．[母题探究](变条件)本例(1)中，若每成活一棵树，政府给予补贴5元，试写出张大爷获得补贴Y元与成活树苗ξ的关系，并指出Y的取值范围．解：由题意可知Y＝5ξ，ξ∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．故Y的取值范围为{0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50}．eq\a\vs4\al()写出随机变量的可能取值及试验结果的注意点解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．[跟踪训练]写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：(1)小明要去北京旅游，可能乘高铁，乘汽车，也可能乘飞机，旅游费用分别为100元、80元和200元，他的费用为ξ；(2)一个质地均匀的正方体骰子，各面分别刻着数字1，2，3，4，5，6，随意掷两次，所得的点数之和为ξ；(3)检查一个小朋友手上的细菌个数ξ.解：(1)ξ可能取值为100，80，200，分别表示所花的费用为100元，80元和200元．(2)ξ可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，分别表示所掷点数为1，1；1，2或2，1；1，3或3，1或2，2；…；6，6.(3)ξ可能取值为0，1，2，…，n，…，分别表示细菌个数为0个，1个，2个，…，n个，….随机变量之间的关系及应用[例3](教科书第64页例2改编)某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪800元，每工作1h再获取15元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为Xh，获取的税前月工资为Y元．(1)当X＝100时，求Y的值；(2)写出X与Y之间的关系式；(3)若P(X≤120)，求P(Y＞2600)的值．[解](1)当X＝100时，表示工作了100个小时，所以Y＝100×15＋800＝2300.(2)根据题意有Y＝15X＋800.(3)因为X≤120，故15X＋800≤2600，即Y≤2600.所以P(Y≤2600)＝P(X≤120)，从而P(Y＞2600)＝1－0.8＝0.2.eq\a\vs4\al()随机变量之间的关系如果X是一个随机变量，Y＝aX＋b也是一个随机变量，X的值若能一一列出，通过代入Y＝aX＋b，Y的值也可一一列出，且P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)．[跟踪训练]某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．解：(1)ξ可取0，1，2，3，4，5，表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．(2)η可取0，2，4，6，8，10，表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D.2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则ξ＝5表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标解析：选Cξ＝5表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的取值范围是________．解析：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个．故两次抽取球号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10.答案：{2，3，4，5，6，7，8，9，10}4．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值的个数为________个．解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分，因此甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值有4个．答案：45．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现