2022年四川省成都市武侯区中考二诊 数学 试题（学生版+解析版）

四川省成都市2021—2022学年武侯区二诊数学试题

A卷

一、选择题（本大题共小8题）

1.比－2大3的数是（)

A.-5B.OC.ID.5

2.下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（)

B.c勹

3.2022年2月，北京冬奥会顺利举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩＂备受大家喜爱，据不完全统计，仅在中国

的微博上已有45亿个关千冰墩墩的帖子，将数据45亿用科学记数法表示为（)

A.4.5x108B.4.5xl09C.45xl08D.4500000000

4.下列计算正确的是（)

A2ab-a=2bB.(-3ab丁＝6a千

C.(a—b)2=a2—b2D.(I+a)(a—l)=a2—l

5.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图所示的方法叠放在一起，若乙1=30°'则乙2的度数为

()

A.30°8.45°c.60°D.70°

6.某校举办主题为“关爱身心健康，致敬可爱守护者”的演讲比赛，进入决赛的6名选手的成绩（单位：

分）分别为：9.0,8.4,9.2,8.5,9.2,9.5,则这组数据的中位数和众数分别是()

A.9.1,9.28.9.1,9.5C.9.0,9.2D.8.5,9.5

x-1I

7.分式方程一—-=1解为（)

Xx+2

A.X=—lB.x=lC.X=—2D.x=2

8.关于二次函数y=3(x+1}2-7的图象及性质，下列说法正确的是（)

A.对称轴是直线x=lB.当x=-l时，y取得最小值，且最小值为－7

C顶点坐标为(-1,7)D.当x<-1时，y的值随x值的增大而增大

二、填空题（本大题共5小题）

9.代数式2~有意义，则x的取值范围是.

10.如图，已知6ABC兰6BAD，乙C=30°,乙DBA=l00°,则4认D的度数为.

c

D

AB

11.若（a-1)』吓'1-3x+4=0（其中a是常数）是关于x的一元二次方程，则a的值为.

12.已知点A(m,y,),B(m+l,y2)都在直线y=2x-3上，则）'2-y,=_.

1

13.如图，在矩形ABCD中，连接AC,分别以点A和C为圆心，以大于—AC长为半径作弧，两弧相交

2

4

于点M和N,作直线MN分别交AC千点E，交AB千点F,若cos乙ACD=...:...,AC=lO,则线段BF

5

的长为

(.

/)

三、解答题（本大题共6小题）

1-I

14.(I)计算（冗＋珂－2sin45五）呻－闷

(2)解不等式组{2(x1+1)<5x3x-l，并将其解集表示在下面的数轴上

-X-l三9-—

22

叠4-3-2-1012345678

15“五四“青年节来临之际，某校团委组织新团员开展了主题为“青年大学习，吉春勇担当＂的知识竞

赛活动，将成绩分成A,B,C三个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图．

人聂

10

8

6420~一---

成纹等级

ABc

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)参加本次知识竞赛活动的新团员共有人；

(2)扇形统计图中“A”所对应的扇形圆心角的度数为;

(3)将本次知识竞赛成绩获得A等级的新团员依次用A,4,A3……表示，该校团委决定从这些A等级

的新团员中，随机选取两名新团员在校团课中进行“勇担使命，争做有为青年”的发言，请用树状图或列

表的方法求恰好抽到新团员Al'A3的概率．

17.2022年，武侯区继续开展“武侯文化大讲堂”活动，某中学数学组以此为契机，在望江楼公园开展

“感受武侯文化，领略古建风韵”的综合实践活动，测量望江楼AB的高度．如图，已知测倾器的高度为

1.2米，在铡点C处安置侧倾器，测得点A的仰角LADE=45°,在与点C相距IO米的测点F处安置侧

倾器，测得点A的仰角LAGE=58°（点C,F与B在一条直线上），求望江楼AB的高度．（结果精确到

0.1米，参考数据：sin58°~0.85,cos58°~0.53,tan58°~1.60)

A

,o

D心一一---艺/__\._＿.E

B

CF

18.如图，AB为0的直径，点C在00上，连接AC,BC.过点C作00的切线，交BA的延长线于点

P,过点B作BD..lPC千点D.

D

B

(1)求证：乙PCA＝乙CED;

(2)若CD=4,tan?PCA..:.，求00的半径及线段PA的长．

2

k

20如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-2x+4的图象与反比例函数y=~(x<O)的图象相

X

交于点A(a,6)，与y轴相交千点B.

下r

备川OO

(1)求点A坐标及反比例函数的表达式；

k

(2)点P是反比例函数y=~(x<O)的图象上一点，连接PA,PB,若6PAB的面积为4,求点P的坐

X

标；

(3)在（2)的条件下，取位于A点下方的点P,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC,连接

k

BC,点M是反比例函数y=~(x<O)的图象上一点，连接MB,若乙PCB+LMBO=90°,求满足条件

X

的点M的坐标．

B卷

一、填空题（本大题共5个小题，答案写在答题卡上）

2a+4b

22.已知a-2b=✓2,则2的值为.

a2-4b2

23.若n顷丛E的小数部分，则矿＋4m+4=_•

24.如图，已知00是"'ABC的外接圆，LACB为锐角，若00的半径为4,AB=2✓10,则tanC的值

为

25.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=IO,AD=4,按以下步骤操作：第一步，在边AB上取一点M,

且满足BM=2BC,现折叠纸片，使点C与点M重合，点B的对应点为点B'，则得到的第一条折痕EF

的长为；第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与EF垂直，点D的对应点为D¢,则点B'

和D¢之间的最小距离为.

氏－－－二1A

I

C'--------

F

26.如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点“．已知点A的坐标为

(—2,1)，点B的坐标为(3,1),P是y轴上一点，连接AP,BP,OA,OB.现设直线AP的函数解析式为

y＝虹＋b(k丑0)，记线段AP,BP,OA,OB所围成的射闭区域（不含边界）为w,若区域W内的整点

个数为6,则k的取值范围是.

y

,--,.__,.----r·-r--r--•

iIIIIIII

卜－－卜－－卜－---}--}--;__:

iIIIIII!

iIIIIIII

r__,.--,.--r--r--r--r--!

iIIIIII!

iIIIIII!

厂－－r－－r----r--r--r__,

iIIIIIII

i卜·一卜－－~II--I~--~一一；一一~--:IIII

iIIIIIII

;jjQIjjjIX

,.--,.--,.·-t--·r··r-·r--1IIIIII'

iIIIIIII

iIIIIIII

,.＿_,.--,.--r,-－尸--r-－..一一·

iIIIIII!

iIIIIIII

,.--..--..----ro-r--r__,

iIIIIIII

iIIIIIII

,.--..--..--IIII--FI·-r-I-..--·II

IIIIIII

,___`__:,._.L..岫--蜘__:.,__;

二、解答题（本大题共3个小题，解答过程写在答题卡上）

27.成都第31届世界大学生夏季运动会（以下简称“成都大运会”)将千2022年6月26日至7月7日在

四川成都举行．某韵家购进一批成都大运会吉祥物”蓉宝”小挂件，进价为20元／件，调查发现，日销售

械y（单位：件）与售价x（单位：元／件，且20:S泛60)之间满足一次函数关系，其部分数据如表：

x（元／件）...303540...

y（件）...605040...

(l)求y与x的的数关系式；

(2)设日销售利润为w（单位：元），试问当售价为多少时，日销售利润达到最大？并求出该最大值．

29.如图，将线段AB绕点A逆时针旋转a(0°<a<180°)得到AC,连接BC,在线段BC上取一点D,

1

连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转－a得到AE,连接CE.

2

BADCB/\:

00I图2

$

(1)如图l，若tanB=.:'....::....

3

O当BD>CD,且乙CAE=2伊时，求乙DAC的度数；

＠试探究线段AD与CE之间满足的数旦关系，并说明理由；

3CE

(2)如图2,若tanB=—，当CE上BC时，求—－的值．

4CD

31.［阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交

千M,N两点（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交千点Q,若记S(l,C)=PQ-MN,

则称S(l,C)是直线l与抛物线C的“截积".

【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数表达式为y=x+2.

x

备用印

(1)若抛物线C的函数表达式为y=2x2—l，分别求出点M,N的坐标及s(l,c)的值；

(2)在(l)的基础上，过点P作直线l的平行线l'，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线C'的

顶点P'落在直线l'上，试探究S(l,C'）是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，诸说明理由；

(3)设抛物线C的函数表达式为y=a(x-h)+k，若S(l,C)=6五:,MN=4✓2，且点P在点Q的

下方，求a的值．

四川省成都市2021—2022学年武侯区二诊数学试题

A卷

一、选择题（本大题共小8题）

1.比－2大3的数是（)

A.-5B.OC.ID.5

【l题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】运用有理数运算中的加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并把绝对值相减．

【详解】解：由题意得：-2+3=3-2=1.

故选C.

（点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练常握和理解有理数加法运算法则是关键．

2.下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（)

B.c勹

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】解：？球的主视图、左视图、俯视图都是圆，

占主视图、左视图、俯视图都相同的是B,

故选B.

3.2022年2月，北京冬奥会顺利举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩＂备受大家喜爱，据不完全统计，仅在中国

的微博上已有45亿个关于冰墩墩的帖子，将数据45亿用科学记数法表示为（)

A.4.5x108B.4.5xl09C.45xl08D.4500000000

【3题答案】

（答案】B

【解析】

【分析】利用科学记数法的表示方法即可求解，科学记数法是指把一个数表示成axlO”的形式（l匆<10,

n为整数）．

【详解】解：45亿＝4500000000=4.5X109,

故选B.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，表示形式为：axlO"（区a<IO,n为整数），找准a的值和

n的值是关键．

4.下列计算正确的是（)

A.2ab-a=2bB.(-3ab丁＝6a2b4

c.(a-b)2=a2-b2D.(1+a)(a-1)=a2-1

【4题答案l

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项的法则、积的乘方和幕的乘方、完全平方公式、平方差公式进行运算，即可作出判

断．

【详解】解：A.2ab-a-:t:-2b,故选项错误，不符合题意；

B.(-3ab2)2=9a扩，故选项错误，不符合题意；

C.(a—bf=a2—2ab+b2,故选项错误，不符合题意；

D.(1+a)(a-l)=a2-l,故选项正确，符合题意．

故选：D.

【点睛】本题考查了合并同类项的法则、积的乘方和幕的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握运

算法则是解题的关键．

5.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图所示的方法叠放在一起，若乙1=30°'则乙2的度数为

()

A.30°B.45°C.60°D.70°

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由等腰直角三角形可知乙3＝乙6=45°'再由三角形的一个外角等千两个不相邻的内角和，两直线

平行同位角相等以及三角形内角和即可求得．

【详解】解：如图所示：

？等腰直角三角形，

.·．乙3=乙6=45°'

·.·乙1=30°'

．·.乙4=乙3＋乙1=75°'

？矩形ABCD,

:.ADIiBC,

..·/4=乙5=75°'

．．．乙2=180°－乙5－乙6=180°-45°-75°=60°

AD

Bc

故选C.

【点睛】本体考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，平行线性质，三角形外角以及三角形内角和，

熟练掌握这些性质并灵活运用是解题关键．

6.某校举办主题为“关爱身心健康，致敬可爱守护者”的演讲比赛，进入决赛的6名选手的成绩（单位：

分）分别为：9.0,8.4,9.2,8.5,9.2,9.5,则这组数据的中位数和众数分别是（)

A.9.1,9.2B.9.I,9.5C.9.0,9.2D.8.5,9.5

【6题答案】

（答案】A

【解析】

【分析】将题目中的数据，按照从小到大排列，即可得到这组数据的众数和中位数．

【详解】解：将6名选手的成绩（单位：分）按照从小到大排列是：8.4,8.5,9.0,9.2,9.2,9.5,

故这组数据的众数是9.2,中位数是(9.0+9.2)--;--2=9.l,

故选：A.

【点睛】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的含义，找出相应的众数和中位

数

x-11

7.分式方程——-=1的解为（)

Xx+2

A.x=-lB.x=lC.x=-2D.x=2

【7题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据解分式方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为l，解方程，最后验根即

可求解

x-11

【详解】解=1

Xx+2

去分母得：(x-l)(x+2)-x=x(x+2),

去括号得：x2+2x-x-2-x=x2+2x,

合并同类项移项得：2x=-2,

系数化为1得：x=-1,

当x=-1时，x(x+2)-:t:.0,

．．．经检验，x=-1是原方程的根．

故选A.

【点睛】本题考查了分式方程的求解，注意在去分母时，常数也要乘以公分母，并且最后必须验根，这是

解分式方程的易错点和关键点．

8.关于二次函数y=3(x+1}2-7的图象及性质，下列说法正确的是()

A．对称轴是直线x=lB.当X=-1时，y取得最小值，且最小值为－7

C.顶点坐标为(-1,7)D．当x<-1时，y的值随x值的增大而增大

【8题答案】

（答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的性质逐项分析即可．

【详解】？二次函数解析式为：y=3(x+l}1-7,

:．该二次函数图象对称轴是直线x=-l,故A不符合题意；

当x=-l时，y取得最小值，且最小值为－7,故B符合题意；

顶点坐标为(-1,-7)，故C不符合题意

·..3>0,

:．该二次函数图象开口向上，

:．当x<-1时，y的值随x值的增大而减小，故D不符合题意．

故选B.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练常握二次函数的图象和性质是解题关键．

二、填空题（本大题共5小题）

9.代数式2✓亡了有意义，则x的取值范围是.

【9题答案】

【答案】X:2:1

【斛祈】

【分析】根据二次根式有意义条件列出不等式，解不等式即可求解．

【详解】解：？要使2✓x可有意义，

:.x-1~0,

解得x之l.

故答案为：X之l.

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式的解法，根据二次根式有意义的条件列

出不等式是解答关键．

10.如图，已知6ABC竺么BAD，乙C=30°,乙DBA=l00°,则LBAD的度数为.

D

AB

【10题答案】

【答案】50°

【解析】

【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．

【详解】解：？卒ABC竺ABAD,

:.乙D＝乙C=30°.

:.乙BAD=l80°－乙D-乙ABD=180°-30°-100°=50°

故答案为：50°.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用全等三角形的性质进行推

理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

11.若（a－1)J叶＿3x+4=0（其中a是常数）是关千x的一元二次方程，则a的值为.

(ll匙答案】

【答案】－3

（解析】

（分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方

程的定义分析得出答案．

【详解】解：·:(a-l)Ja+q_3x+4=0是关千x的一元二次方程，

:.la+ll=2,a-l-f::-0,

解得：a=-3.

故答案为：-3.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．

12.已知点A(m,y1),B(m+l,y2)都在直线y=2x-3上，则）／2-Y1=－一—-·

【12题答案】

【答案】2

【解析】

【分析】分别把A、B的坐标代入y=2x-3,求得Y1、Y2再计算y2-y1即可．

【详解】解：把A(m,yl)代入y=2x-3得

Yi=2m-3,

把B(m+l,y2)代入y=2x-3得

Y2=2(m+l)-3=2m—1,

:.Y2一）＇l

=(2m-1)-(2m—3)

=2m—l—2m+3

=2

故答案为：2

【点睛】本题考查了一次函数，利用一次函数解析式求函数值，解题关键是熟练掌握整式的加减运算．

13.如图，在矩形ABCD中，连接AC,分别以点A和C为圆心，以大于－AC的长为半径作弧，两弧相交

2

4

千点M和N,作直线MN分别交AC千点E,交AB千点F,若cos乙ACD=—,AC=lO,则线段BF

5

的长为.

/)(·

【13题答案】

【答案】－

4

【解析】

【分析】连接CF,MN为AC的垂直平分线，则可得CF=AF,由锐角三角函数和勾股定理可得DC、BC

的长，再设BF=x,利用勾股定理列方程求解即可．

【详解】解：连接CF,

由题意可知：MN为AC的垂直平分线，

:.CF=AF,

？矩形ABCD,

·．．乙D=乙8=90°,DC=AB,

在Rtt;..ADC中，AC=IO,

DC4

cos乙ACD=＝—,

AC5

:.DC=AB=8,

在Rtt;.ABC中，

BC=~=6,

设BF=x,则AF=CF=8-x,

在R压BCF中，

CF2—BF2=BC2,

即：(8-x)2-x2=36,

7

解得：x＝一，

4

7

:.BF=.:.....

4

7

故答案为：一

4

上

,-;尸

【点睛】本题考查了垂直平分线的画法和性质，矩形的性质，锐角三角函数以及勾股定理，熟练掌握垂直

平分线的性质以及应用勾股定理列方程是本题的关键．

三、解答题（本大题共6小题）

。-l

14.(I)计算（气）—2sin45°—(—i]叩句

(2)解不等式组{:(x+l)＜5x3-xl，并将其解集表示在下面的数轴上

-X-lS9-—

22

-4-3-2-10l2345678

(14题答案】

【答案】(I)3;(2)1<x<5，数轴表示见解析

【解析】

【分析】（1)根据零指数幕、负指数幕、特殊角的三角函数值、绝对值，先化简再合并即可；

(2)先求出每个不等式的解渠，再确定不等式组的解狼，最后在数轴表示出来．

拉

【详解】解：（l)原式＝l-2x—--(-3)+✓2-1

2

=1-✓2+3＋五－l

=3;

(2)｛＼（xX-＋1I)三<95/@o

解不等式＠得：x>l,

解不等式＠得：x<5

:．不等式组的解集是1<x,;::;;5

在数轴表示如下：

-4-3-2-1012345678

【点睛】本题考查了零指数幕、负指数幕、特殊角的三角函数值、绝对值等实数的计算，及解不等式组，

熟练掌握零指数幕、负指数幕、特殊角的三角函数值，及解不等式组的步骤是解题的关键．

15“五四“青年节来临之际，某校团委组织新团员开展了主题为“青年大学习，青春勇担当”的知识竞

赛活动，将成绩分成A,B,C三个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图．

人致

A

IO

8

6

4

2rl|l~lif纺等彶

。ABC

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)参加本次知识竞赛活动的新团员共有人：

(2)扇形统计图中“A"所对应的扇形圆心角的度数为;

(3)将本次知识竞赛成绩获得A等级的新团员依次用A尸Ai,A3……表示，该校团委决定从这些A等级

的新团员中，随机选取两名新团员在校团课中进行“勇担使命，争做有为胥年”的发言，请用树状图或列

表的方法求恰好抽到新团员Al,~的概率．

【15题答案】

［答案】(1)20(2)72°

(3)-

6

【解析】

【分析】(1)根据等级“B''对应的人数和其所占百分比即可求解；

(2)先求出等级“A"对应的人数，再根据等级“A"所占百分比即可求得其对应的扇形圆心角的度数；

(3)用列表法列出所有等可能的结果，再选出恰好抽到新团员Al'A3的结果数，进而利用概率公式即可

求解

【小问l详解】

参加本次知识竞赛活动的新团员总人数：10+50%=20（人），

故答案为：20;

【小问2详解】

等级“A”的人数：20-10-6=4（人），

4

等级“A"所对应的扇形圆心角的度数：—x360°=72°,

20

故答案为：720;

【小问3详解】

等级“A"的成员有4人，分别是：Al'Ai，~'A4,

列表格如下：

4444

44,~4,44,4

4~'44,44,4

A4,4/4,~~'/4

44,44,44',~

根据表格可知：从4名新团员中任选2名新团员共有12种等可能的结果，其中恰好选到新团员Al'A3的

结果有2种，

21

：．恰好抽到新团员Al'A3的概率为：—=－．

126

【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、列表法或树状图法求概率，正确理解题意并找出统计图隐含

条件，解题的关键是常握并熟练运用列表法或画树状图法求概率．

17.2022年，武侯区继续开展“武侯文化大讲堂”活动，某中学数学组以此为契机，在望江楼公园开展

“感受武侯文化，领略古建风韵”的综合实践活动，测量望江楼AB的高度．如图，已知测倾器的高度为

1.2米，在测点C处安置侧倾器，测得点A的仰角LADE=45°,在与点C相距IO米的测点F处安置侧

倾器，测得点A的仰角LAGE=58°（点C,F与B在一条直线上），求望江楼AB的高度．（结果精确到

0.1米，参考数据：sin58°~0.85,cos58°~0.53,tan58°~1.60)

A

D

[

CB

F

【17题答案】

［答案】望江楼AB的高度为27.9米

【解析】

【分析】延长DG与AB交千H,设AH=x,分别在Rt1;,.ADH和RtLAGH中用锐角三角函数列方程即可求

解．

【详解】解：延长DG与AB交千H,

由题意可知：四边形DCFG,匹边形GFBH,四边形DCBH为矩形，

则DG=CF=lO,BH=CD=l.2,

设AH=x,

在Rt1;,.ADH中，LADH=45°,

AH

:.tan乙ADH=—=1'

DH

:.DH=AH=x,

:.GH=DH-DG=x-10,

在Rt丛AGH中，

AR

tan乙AGH=—，乙AGH=58°,

GH

X

:::::1.60,

x-10

解得：x:::::26.67,经检验：符合题意，

:.AB=AH+BH:::::27.87:::::27.9,

:．望江楼AB的高度为27.9米．

A

OE

D(-匕-－2f-\.…~H

CFB

【点睛】本题考查的是锐角三角函数，仰角的定义，解直角三角形的应用，能正确构造直角三角形是解题

的关键

18.如图，AB为0的直径，点C在00上，连接AC,BC.过点C作00的切线，交BA的延长线于点

P,过点B作BD..lPC于点D.

D

B

(1)求证：乙PCA＝乙CBD;

1

(2)若CD=4,tan?PCA-=-，求00的半径及线段PA的长．

2

【18题答案】

【答案】（1)答案见解析

10

(2)5,—

3

【解析】

【分析】(I)根据直径所对的圆周角是直角得出乙ACB为90°,然后根据余角的性质，即可证得结果；

(2)由等角的三角函数值相等得出由勾股定理表示出BC,连接OC,根据切线的性质和余角的性质，

求出乙OBC＝乙CBD，则可利用三角函数求出AC长，再利用勾股定理求出AB长，从而求出O半径；

设PA=x