复变函数与积分变换期末考试试卷1

一．填空题（每题3分，共计15分）1．1i3的幅角是（32k,k0,1,2）；22.Ln(1i)的主值是（1ln23i）；243.f(z)1，f(5)(0)（0），1z24．z0zsinz是z4的（一级）极点；5．f(z)1，Res[f(z),]（-1）；z二．选择题（每题4分，共24分）1．分析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)的导函数为（B）；（A）f(z)uxiuy；（B）f(z)uxiuy；（C）f(z)uxivy；（D）f(z)uyivx.2．C是正向圆周z3，假如函数f(z)（D），则f(z)dz0．C33(z1)3(z1)3（A）z2；（B）z2；（C）(z2)2；（D）(z2)2.3．假如级数cnzn在z2点收敛，则级数在（C）n1（A）z2点条件收敛；（B）z2i点绝对收敛；（C）z1i点绝对收敛；（D）z12i点必定发散．４．以下结论正确的选项是(B)（A）假如函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点必定分析；(B)假如f(z)在C所围成的地域内分析，则f(z)dz0C（C）假如f(z)dz0，则函数f(z)在C所围成的地域内必定分析；C（D）函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在地域内分析的充分必需条件是u(x,y)、v(x,y)在该地域内均为调停函数．5．以下结论不正确的选项是（D）．(A)、为sin1的可去奇点；(B)、为sinz的天性奇点；z(C)、为11的孤立奇点.(D)、为1的孤立奇点；sinsinzz三．按要求完成以下各题（每题10分，共40分）（1）．设f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是分析函数，求a,b,c,d.解：由于f(z)分析，由C-R条件uvuvxyyx2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）．计算ezdz此中C是正向圆周：C(z1)2z解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗睁开计算，仅给出用前者计算过程由于函数f(z)ez在复平面内只有两个奇点z10,z21，分别以z1,z2为圆心画互不(z1)2z相交互不包含的小圆c1,c2且位于c内ezez2ezdz(z1)z2dz(z1)2zdzC2(z1)CzC12i(ez)2iez2izz1(z1)2z0不论采纳那种方法给出公式最少给一半分，其余酌情给分。z15（3）．解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z3内，由留数定理z3(1z15z4)3dz2iRes[f(z),]-----（5分）z2)2(22iRes[f(1)1]----（8分）zz211(1)151zf(z)z2(11)2(2(1)4)3z2z2zf(1)113有独一的孤立奇点z0,z2z(1z2)2(2z41)zRes[f(1)12,0]limzf(1)12lim(1z2)2141)31zzz0zzz0(2zz15dz2i--------（10分）z3(1z2)2(2z4)3（4）函数f(z)z(z21)(z2)3(z3)2在扩大复平面上有什么种类的奇点？，假如有极点，(sinz)3请指出它的级.解：f(z)z(z21)(z2)3(z3)2的奇点为zk,k0,1,2,3,，(sinz)3（1）zk,k0,1,2,3,为（sin30的三级零点，z）（2）z0，z1,为f(z)的二级极点，z2是f(z)的可去奇点，3）z3为f(z)的一级极点，（4）z2,3,4，为f(z)的三级极点；（5）为f(z)的非孤立奇点。备注：给出所有奇点给5分，其余酌情给分。1在以下地域内睁开成罗朗级数；四、（本题14分）将函数f(z)z2(z1)（1）0z11，（2）0z1，（3）1z解：（1）当0z11f(z)111z2(z1)[](z1)(z11)而[(z1][(1)n(z1)n]11)n0(1)nn(z1)n1n0f(z)(1)n1n(z1)n2-------6分n0（2）当0z1f(z)111znz2(z1)z2(1z)=z2n0zn2-------10分n0（3）当1zf(z)11z2(z1)31z)(1zf(z)1(1)n1------14分z3n0zn0zn3一．填空题（每题3分，共计15分）1．2,k01,2,）；242.Ln(1i)的主值是（1ln2i）；243.f(z)12，f(7)(0)（0）；1z4．f(z)zsinz，Res[f(z),0]（0）；z3f(z)15．z2，Res[f(z),]（0）；得分二．选择题（每题3分，共计15分）1．x2y2是分析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)的实部，则（A）；（A）f(z)2(xiy)；（B）f(z)2(xiy)；（C）f(z)2(yix)；（D）f(z)2(yix).2．C是正向圆周z2，假如函数f(z)（A），则f(z)dz0．C（A）1；（B）sinz12；（D）12.z；（C）1)1z(z3)(z3．假如级数cnzn在z2i点收敛，则级数在(C)n1（A）z2点条件收敛；（B）z2i点绝对收敛；（C）z1i点绝对收敛；（D）z12i点必定发散．４．以下结论正确的选项是(C)（A）假如函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点必定分析；(B)假如f(z)dz0,此中C复平面内正向封闭曲线,则f(z)在C所围成的地域内必定分析；C（C）函数f(z)在z0点分析的充分必需条件是它在该点的邻域内必定可以睁开成为zz0的幂级数，并且睁开式是独一的；（D）函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在地域内分析的充分必需条件是u(x,y)、v(x,y)在该地域内均为调停函数．5．以下结论不正确的选项是（C）．（A）lnz是复平面上的多值函数；（B）cosz是无界函数；（C）sinz是复平面上的有界函数；（D）ez是周期函数．得分三．按要求完成以下各题（每题10分，共计40分）（1）求a,b,c,d使f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是分析函数，解：由于f(z)分析，由C-R条件u

v

u

vx

y

y

x2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）．1dz．此中C是正向圆周z2；Cz(z1)2解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗睁开计算，仅给出用前者计算过程由于函数f(z)1在复平面内只有两个奇点z10,z21，分别以z1,z2为圆心画互不(z1)2z相交互不包含的小圆c1,c2且位于c内1211(z1)zC(z1)2zdzC1zdzC2(z1)2dz2i(1)2i10zz1(z1)2z01（3）．计算z3ezdz，此中C是正向圆周z2；C(1z)解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z2内，由留数定理z2f(z)dz2iRes[f(z),]2ic1-----（5分）1z11z3ezz2ezz2(1111)(1111)(1z)1z2!z23!z3zz2z31z(z2z111)(1111)2!3!z4!z2zz2z3c1(1111)82!3!3zf(z)dz82i23（4）函数f(z)(z21)(z2)3(sinz)3在扩大复平面上有什么种类的奇点？，假如有极点，请指出它的级.f(z)的奇点为zk,k0,1,2,3,，zk,k0,12,3,为（sin30的三级零点，）,zz1,为f(z)的二级极点，z2是f(z)的可去奇点，z0,2,3,4，为f(z)的三级极点；为f(z)的非孤立奇点。给出所有奇点给5分。其余酌情给分。得分14分）将函数f(z)1四、（本题z2在以下地域内睁开成罗朗级数；(z1)（1）0z11，（2）0z1，（3）1z（1）0z11，（2）0z1，（3）1z解：（1）当0z11f(z)11[1]1)