2022-2023学年黑龙江省牡丹江市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.当x→0时，3x2+2x3是3x2的()。A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小但不是等价无穷小D.等价无穷小

2.

3.A.A.2

B.1

C.1/2e

D.

4.设函数f(x)=arcsinx，则f'(x)等于()．

A.-sinx

B.cosx

C.

D.

5.

6.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的()。

A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件

7.

8.A.A.5B.3C.-3D.-59.A.A.2B.1C.0D.-1

10.当x→0时,x+x2+x3+x4为x的

A.等价无穷小B.2阶无穷小C.3阶无穷小D.4阶无穷小11.设在点x=1处连续，则a等于()。A.-1B.0C.1D.212.

[]A.e-x+C

B.-e-x+C

C.ex+C

D.-ex+C

13.

14.

15.若f(x)为[a，b]上的连续函数，（）。A.小于0B.大于0C.等于0D.不确定16.下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是（）。A.

B.

C.

D.

17.设函数f(x)=2lnx+ex，则f(2)等于（）。

A.eB.1C.1+e2

D.ln218.设f(x)在x=2处可导，且f'(2)=2，则等于()．A.A.1/2B.1C.2D.4

19.

20.

二、填空题(20题)21.22.函数f(x)=在[1，2]上符合拉格朗日中值定理的ξ=________。

23.

24.

25.

26.幂级数的收敛半径为________。

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.设f(x)=sinx/2，则f'(0)=_________。

38.39.

40.三、计算题(20题)41.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．42.

43.求曲线在点(1，3)处的切线方程．44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

45.

46.

47.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

48.49.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．50.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则51.52.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

53.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．54.

55.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

56.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

57.证明：58.59.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．60.求微分方程的通解．四、解答题(10题)61.

62.

63.64.将f(x)=1/3-x展开为(x+2)的幂级数，并指出其收敛区间。

65.

66.

67.

68.证明：在区间(0，1)内有唯一实根．69.

70.

五、高等数学(0题)71.已知f(x)的一个原函数为(1+sinz)lnz，求∫xf(x)dx。

六、解答题(0题)72.设z=x2+y/x，求dz。

参考答案

1.D本题考查的知识点为无穷小阶的比较。

由于，可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷小，故应选D。

2.B

3.B

4.C解析：本题考查的知识点为基本导数公式．

可知应选C．

5.A

6.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定。∴可导是可积的充分条件

7.D

8.Cf(x)为分式，当x=-3时，分式的分母为零，f(x)没有定义，因此

x=-3为f(x)的间断点，故选C。

9.C

10.A本题考查了等价无穷小的知识点。

11.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数，x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时，应有存在，从而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此选C。

12.B

13.C

14.B

15.C

16.C

17.C

18.B本题考查的知识点为导数在一点处的定义．

可知应选B．

19.A

20.C

21.

22.由拉格朗日中值定理有=f"(ξ)，解得ξ2=2，ξ=其中。

23.

24.＜0本题考查了反常积分的敛散性(比较判别法)的知识点。

25.3/226.因为级数为，所以用比值判别法有当＜1时收敛，即x2＜2。收敛区间为，故收敛半径R=。

27.

28.029.e-1/2

30.1/200

31.

32.

解析：33.本题考查的知识点为用洛必达法则求未定型极限．

34.135.(2x+cosx)dx．

本题考查的知识点为微分运算．

36.2

37.1/2

38.

39.

40.241.函数的定义域为

注意

42.

则

43.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

44.

45.

46.

47.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

48.

49.50.由等价无穷小量的定义可知

51.

52.

53.由二重积分物理意义知

54.由一阶线性微分方程通解公式有

55.

列表：

说明

56.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.解

67.

68.本题考查的知识点为闭区间上连续函数的零点定理；利用导数符号判定函数的单调性．

证明方程f(x)=0在区间(a，b)内有唯一实根，往往分两步考虑：(1)根的存在性：常利用连续函数在闭区间上的零点定理证明．(2)根的唯一性：常利用导数符号判定函数在给定的区间单调增加或减少．

69.

70.

71.∫f"(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)一∫f(x)dx∵f(x)的原函数为(1+sinx)Inx；

∴f(x)dx=(1+sinx)Inx+c∴原式=xcoslnx+(1+sinx)一(1+sinx)lnx一c；=xcosxlnx+sinx