高等代数(北大版)第7章习题参考答案

高等代数（北大版）第7章习题参考答案第七章线性变换1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1）在线性空间V中，A

，其中V是一固定的向量；

2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；5）

在P[x]中，Af（x）f（x1）；6）

在P[x]中，Af（x）f（X0），其中X。P是一固定的数；7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A「。8）在Pnn中，AX=BXC其中B,CPnn是两个固定的矩阵.解1）当0时，是；当0时,不是。2）

当0时，是；当0时,不是。3）不是.例如当（1,0,0）,k2时,kA（）（2,0,0）A（k）

（4,0,0）,A(k)

kA()。4)是■因取

(X1,X2,X3),(力』2”3),有A(

)=A(X1y1,X2y2,X3y3)=(2X12y1X2y2,X2y2X3y3,X1%)=AA，A(k)A(kx「kx2,kx3)(2kx1kx2,kx2kx3,k%)(2kx1kx2,kx2kx3,k%)=kA(),故A是P3上的线性变换。5)是■因任取f(x)P[X],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)贝yA(f(x)g(x))=Au(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=Af(x)A(g(x)),再令v(x)kf(x)

贝y

A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)kA(f(x)),故A为p[x]上的线性变换。6)是■因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x。)g(xo)A(f(x))A(g(x)),A(kf(x))kf(xo)kA(f(x))。7)不是，例如取a=1,k=I，贝VA(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)。8)是，因任取二矩阵X,YPnn,则A(XY)B(XY)CBXCBYCAxAy，A(kX)=B(kX)k(BXC)kAx，故A是Pnn上的线性变换。2.在几何空间中，取直角坐标系oxy，以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2,并检验(AB)2=A2B2是否成立。解任取一向量a=(x,y,z)，则有1)因为Aa=(x,-z,y),A2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z)，Ba=(z,y,-x),B2a=(-x,y,-z)，B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z)，Ca=(-y,x,z),C2a=(-x,-y,z)，C3a=(y,-x,z),C4a=(x,y,z)，所以A4=B4=C4=E。2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)

，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以ABBA。3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以A2B2=B2A2。3)因

为(AB)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(乙x,y)=(y,z,x)，A2B2(a)=(-x,-y,z)，所以(AB)2A2B2。3.在P[x]中,Af(x)f'(x),Bf(x)xf(x),证明：AB-BA=E。证任取f(x)P[x]，则有(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(X))=f(x)xf;(x)-xf(x)=f(x)所以AB-BA=E。4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E,证明：AkB-BAk=kAk1(k>1)。证采用数学归纳法。当k=2时A2B-BA2=(A2B-ABA)(ABA-BA2)=A(AB-BA)(AB-BA)A=AEEA=2a结论成立。归纳假设km时结论成立，即AmB-BAm=mAm1。则当km1时，有Am1B-BAm1=(Am1B-AmBA)(AmBA-BAm1)=Am(AB-BA)(AmB-BAm)A=AmEmAm1A=(m1)Am。即km1时结论成立•故对一切k1结论成立。5.证明：可逆变换是双射。证设A是可逆变换，它的逆变换为A1。若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A1，有a=b，这与条件矛盾。其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A1b=a即可。因此,A是一个双射。6•设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当Ai,A2,,An线性无关。证因A(1,2,

,n)=(A1,A2,,An)=(1,2,

,n)A，故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是Ai,A2,,An线性无关，故A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关.。7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵：1)第

1题4)中变换A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；2)[o;1,2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB在基1,2下的矩阵；3)在空间P[x]n中，设变换A为f(x)f(X1)f(x),试求A在基i=x(x1)(xi1)1(I=1,2,,n-1)下的矩阵A；4)六个函数

1=eaxcosbx,2=eaxsinbx，3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx，1=1x2eaxcosbx,1=feaxx2sinbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基i（i=1,2,,6）下的矩阵;5）已知P3中线性变换A在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是101110，求A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)121下的矩阵；6)在P3中，A定义如下：A1(5,0,3)A2(0,1,6)，A3(5,1,9)其中1(1,0,2)2(0,1,1)，3(3,1,0)求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；7)同上，求A在1,2,3下的矩阵。解1)A1=(2,0,1)=213，A2=(-1,1,0)=-，2A3=(0,1,0)=

2，210故在基1,2，

3下的矩阵为011。2）取1=（1,0），1002=C0，1)，则A1=^1｛彳，1111故A在基1,

2下的矩阵为A=2222

又因为B