2022年全国统一高考甲卷理科数学试卷含答案解析

2022年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）

一'选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.若z=—1+Qi,贝=()

zz—1

A.-1+V3ZB.-1-V3Zc.」+0D.」一乌

3333

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社

区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和

则(）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},3={x|--4x+3=0},则4(A|jB)=(

)

A.{1,3)B.{013}C.{-211}D.{-2,0}

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体

A.8B.12C.16D.20

5.函数y=（3'-3T）cosx在区间［-工，为的图像大致为（）

22

X

A.-1B.--0.-D.1

22

7.在长方体A3CO-A及GQ中，已知8Q与平面43co和平面所成的角均为30。，则

()

A.AB=2AD

B.AB与平面ABC。所成的角为30。

C.AC=CB.

D.四。与平面BBCC所成的角为45。

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如

图，48是以O为圆心，为半径的圆弧，C是43的中点，。在A8上，CD_LAfi."会圆

术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：5=AB+—.当。4=2,幺。8=60。时，5=(

OA

)

11-469-3指

VP.----------

22

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2万，侧面积分别为际和5乙，

体积分别为%和%.若萨=2,则白=()

S乙Y乙

D,亚

A.垂)B.2&C.V10

4

10.椭圆C:=+[=l（a>8>0）的左顶点为A,点P,。均在C上，且关于y轴对称.若直

ab~

线AP,AQ的斜率之积为工，则C的离心率为（）

4

11.设函数/（x）=sin（s+19在区间（0,万）恰有三个极值点、两个零点，则口的取值范围是（

）

A513、D519、(U鸟

A.r一，—)B.r一,—)D.

3636耕勺616

12.已知a=①，Z?=cos—,c=4sin—,贝lj(

)

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设向量1，6的夹角的余弦值为L且|万|=1,出|=3,则（2。+5）石=

3

14.若双曲线丫2-==1（机>0）的渐近线与圆V+y2-4y+3=0相切，则〃?=.

m"

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为—.

AT

16.已知AA8C中，点。在边8C上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当一上取得最小

AB

值时，BD=.

三'解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60

分。

17.（12分）记S,为数列｛〃“｝的前〃项和.已知2iL+〃=2a“+l.

n

（1）证明：｛”,）是等差数列；

（2）若％,%,佝成等比数列,求S”的最小值.

18.（12分）在四棱锥中，P£>_L底面ABC£>,CD//AB,AD=DC=CB=l,AB=2,

DP=6.

（1）证明：BDIPAi

（2）求PD与平面的所成的角的正弦值.

19.（12分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方

得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目

中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

20.(12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为f,点£>(p,0),过尸的直线交C于〃，N两

点.当直线垂直于x轴时，|=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A,8,记直线MN,他的倾斜角分别为a,

ft.当a-尸取得最大值时，求直线AB的方程.

21.(12分)已知函数/'(x)=^——lnx+x-a.

x

(1)若/(x)..O,求a的取值范围；

(2)证明：若/(X)有两个零点,X?,则苔工2<L

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分。［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

'2+t

X------,

22.(10分)在直角坐标系x0y中，曲线G的参数方程为6Q为参数)，曲线G的参数

2+s

方程为一6'(S为参数).

y=-y［s

(D写出G的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

2cos6-sind=O,求C与G交点的直角坐标，及G与G交点的直角坐标.

［选修4-5:不等式选讲］(10分)

23.已知a,b,c均为正数，且/+从+4C?=3,证明：

(1)a+/?+2q,3；

(2)若b=2c,则L+L.3.

2022年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.若z=—l+6i,则=^=()

ZZ—1

A.+®B.-1-73/C./D.-/

3333

【思路分析】由已知求得zN,代入二，则答案可求.

ZZ—1

2222

【解析】•.•z=-l+Gi,Az-z=\z|=(7(-l)+(V3))=4,

G"Z-1+>/311s/3.47r'生

则----=———=一一+—z.故选：C.

zz-\4-133

【试题评价】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社

区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和

讲座后问卷答题的正确率如图：

则()

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【思路分析】对于A,求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于3,求出讲座后

问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C,由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，

讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D,求出讲座后问卷答题的正确率的极差

和讲座前正确率的极差，由此判断。.

【解析】对于A,讲座前问卷答题的正确率从小到大为：

60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,

.•.讲座前问卷答题的正确率的中位数为：(70%+75%)/2=72.5%,故A错误；

对于3,讲座后问卷答题的正确率的平均数为：

奈(80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%)=89.5%>85%，故8正

确；

对学C,由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，

讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；

对于。，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%-80%=20%,

讲座前正确率的极差为：95%—60%=35%,

..讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故力错误.故选：B.

【试题评价】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础

知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.设全集(/={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},3={x|d-4X+3=0},贝=(

)

A.{1,3)B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【思路分析】求解一元二次方程化简8,再由并集与补集运算得答案.

【解析】•.♦B={X|X2-4X+3=0}={1,3),A={-1,2},=1,2,3),

又。={-2,-1,0,1,2,3},..g(AUB)={-2,0}.故选:D.

【试题评价】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题.

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体

【思路分析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱A88-ABGA,四棱柱的底面是直

角梯形A8CD,AB=4,AD=2,A4,=2,平面A8CD,由此能求出该多面体的体积.

【解析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABC£>-ABIGA,

四棱柱的底面是直角梯形ABCD,如图，

DiCi

AEB

AB^4,AD^2,A4,=2,想_L平面,

，该多面体的体积为：

V=-(4+2)x2x2=12.

故选：B.

【试题评价】本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解

能力，是中档题.

［解析］f(x)=(3*-3-')cosx,

可知/(-x)=(3-x-3')cos(-x)=-(3v-3'v)cosx=-/W,

函数是奇函数，排除瓦>;

当X=1时,f(1)=(3-3-l)cosl>0,排除C.故选:A.

【试题评价】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题.

6.当x=l时，函数/(x)=a/nx+2取得最大值一2,则/'(2)=()

x

A.-1B.--C.-D.1

22

【思路分析】由已知求得"再由题意可得广(1)=0求得。，得到函数解析式，求其导函数,

即可求得/'(2).

【解析】由题意/(1)=b=-2,贝=——,

x

贝厅*)，+±=竺二

XXX

•••当X=1时函数取得最值，可得X=1也是函数的一个极值点，

f(1)=a+2=0,即a=—2.

.、-2x+2

/r(X)=—2—,

X

易得函数在(0,1)上单调递增，在(1,物)上单调递减，

故x=l处，函数取得极大值，也是最大值，

贝I］.(2)=-2*+2=」.

222

故选：B.

【试题评价】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档

题.

7.在长方体A8S-ABCQ中，已知耳。与平面和平面的线8所成的角均为30。，则

()

A.AB=2AD

B.AB与平面所成的角为30。

0.AC=CB,

D.BQ与平面BBC。所成的角为45。

【思路分析】不妨令A4,=l,可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求

解.

【解析】如图所示，连接做，BD,不妨令44,=1,

Dj________________Ci

在长方体ABCD-AB£D、中，ADJ"面AA.B.B,8与_L面ABCD,

所以ZBtDB和NDB\A分别为BQ与平面43co和平面所成的角,

即NB]DB=NDB、A=30。,

所以在RtABDB1中，BBI=AA,=1,BD=g,B、D=2,

在RlAADB|中，DB、=2,AD=\,ABt=,

所以AB=0,Cq=应，AC=E,

故选项A,C错误，

由图易知，他在平面ABCQ上的射影在A4上，

所以NgAB为A3与平面A8C。所成的角，

在RtAABB]中，sinZB,AB=--^==—,

故选项5错误，

如图，连接8C，

则用。在平面8qqC上的射影为B、C,

所以NDB。为B、D与平面BB、C、C所成的角，

在用△DBC中，B,C=V2=DC,所以NDBC=45。，

所以选项。正确，

故选：D.

【试题评价】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题.

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如

图，是以O为圆心，Q4为半径的圆弧，C是AB的中点，。在上，CDLA3.“会圆

术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+=2.当。4=2,403=60。时，s=（

0A

【思路分析】由已知求得/W与CD的值，代入s=A8+三得答案.

0A

【解析】•.,04=08=2,ZAO8=60。，:.AB^2,

••,C是45的中点，。在A8上，CDLAB,

，延长DC可得。在DC上，CD=OD-OC=2-y/3,

,CD2〜（2—百产〜7-4611-4^

s=ABn+-----=2+-——=2+-----=....-.

OA222

故选：B.

【试题评价】本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题.

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2万，侧面积分别为小和S乙，

体积分别为％和%.若券=2,则券=（）

S乙N乙

A.逐B.272C.710D.空上

4

【思路分析】设圆的半径（即圆锥母线）为3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为“，高分

别为4,也，则可求得“=2,4=1，4=6,4=2血，进而求得体积之比.

【解析】如图，

甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3,甲、乙两个

圆锥的底面半径分别为4，4，高分别为Z，h2,

则2万八=41,=27r,解得（=2,弓=1,

由勾股定理可得K=石，色=272,

*注3

乙铲弓也

故选：C.

【试题评价】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题.

22

10.椭圆C:二+与=l（a>b>0）的左顶点为A,点P,。均在C上，且关于y轴对称.若直

ab~

线AP,AQ的斜率之积为,，则。的离心率为（）

【思路分析】设尸（后,%），则。（-尤0，%），根据斜率公式结合题意可得：k-k=-,再

APA工Q4

22

结合二+马=1,整理可得离心率.

a~b"

【解析】【解法一】已知A（-a,O）,设尸（/，为）,则。（一/，为），

-^s>—=yQ=1©,

kAP“AQ=~一，故^AP,kAQ

OfxQ+aa-x0a~-xj4

•.-4+4=i.即3=②，

a~b~ar

②代人①整理得：£■=■，=2故选：A.

a~4aya22

【解法二】（、补解）设椭圆C的右顶点为B,由于点P、Q均在。上且关于y轴对称，所以直

线BP,AQ也关于），轴对称，即kAP-kBP=-kAP•原°=—；=e?-1,

/=3即e=故选：A.

42

【试题评价】本题考查椭圆的简单几何性质，是基础题.

11.设函数f（x）=sin（（yx+g在区间（0,万）恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范围是（

）

.513、n519、0133八A319

A.[r-,-）B.[r-,-）C.（-,-]D.（-,—]n

363o6366

【思路分析】由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得。的取值范围.

【解析】【解法一】当。<0时，不能满足在区间（0,不）极值点比零点多，所以3>0；

函数/（x）=sin（0x+f在区间（0,左）恰有三个极值点、两个零点，令t=a）x+5

则的+^以。，劭7+三），又了=5皿，，的图象如下所示：

【解法二】（补解）如图，设/（X）在［0,乃］上三个极值点为玉,%，工3，三个零点为5,%，4，

由题/（X）在（0,乃）上恰有三个极值点，两个零点，七〈乃44，

715乃

(DXy+—二

T

可得

7T

cox^+—=3兀

解得----,Xf--,/.-------V7TW—<。W—

6co63G6。3G63

【试题评价】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题.

7111

12.已知—,b=cos—,c=4sin—,则()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

.i131

【思路分析】构造函数/(x)=cosx+-f-1,(0<x<1),可得cos->—,即Z?>a,利用三角

2432

.1

11sin-1

函数线可得tanx>x,即tan」>上，即一可得c>A.

44…14

cos—

4

【解析】【解法一】设.f(x)=cosx+gx2一],(0<x<1),则r(x)=x—sinx,

设g(x)=x-sinx(0<x<1),g'(x)=1-cosx>0,

故g(x)在(0,1)单调递增，即g(x)>g(0)=0,

即r(x)>0,故/(x)(0,1)单调递增，

1131

所以/(Z)>/(0)=。，可得出了石，故。>a,

利用三角函数线可得一呜）时，MX,

.1

]1sin71]]

/.tan—>—,即---T->—,/.4sin—>cos—,Hc>b.综上：c>b>a,故选：A.

44cosl444

4

【解法二】（补解）如图，构造半径为4,弧长为1的扇形AO8,在扇形AOB中，则

4

\AB\<\

1|0A|2+|0B|2-|AB|242+42-I231

cos-=------------------------------>---------------=—

42\OA\-\OB\2x4x432

故〃>a,

利用三角函数线可得xe（0,生）时，tanx>x,

2

.1

]]sin71ii

tan—>—,即---,/.4sin—>cos—,故c>Z?・综

44…1444

上：c>b>a,故选：A.

【试题评价】本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题..

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设向量6的夹角的余弦值为L且|初=1,出1=3,贝l］（2d+B）/=11

3

【思路分析】首先计算小6,户的值，然后结合向量的运算法则可得所给式子的值.

【解析】由题意可得1d=1><3乂！=1,52=9,

3

则（24+垃•5=2无6+/=2+9=11.故答案为：11.

【试题评价】本题主要考查平面向量的数量积的定义，平面向量的运算法则等知识，属于中等

题.

14.若双曲线丫？一二=1（机>0）的渐近线与圆/+>2-4丫+3=0相切，则机=_立_.

m"3

【思路分析】求出渐近线方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离等于半径求解即可.

【解析】双曲线y2—二=1（,〃>0）的渐近线：x=±my,

m

圆炉+产一4y+3=0的圆心（0,2）与半径1,

双曲线丁-5=Km>0）的渐近线与圆工2+>2—+3=0相切，

m

,-1,解得=•舍去.故答案为：—.

J1+加333

【试题评价】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的判断，是中档题.

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为—.

―35―

【思路分析】根据题意，由组合数公式计算“从正方体的8个顶点中任选4个”的取法，分析

其中“4个点在同一个平面”的情况，由古典概型公式计算可得答案.

【解析】根据题意，从正方体的8个顶点中任选4个，有C：=70种取法，

若这4个点在同一^平面，有底面2个和侧面2个、对角面4个，一共有12种情况，

则这4个点在同一个平面的概率。=工=色；故答案为：

703535

【试题评价】本题考查古典概型的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题.

16.已知AABC中，点。在边3c上，NADB=120°,AD=2,CD=2BD.当——取得最小

AB

值时，fiD=_x/3-l_.

【思路分析】首先设出3D,CD,在两个三角形中分别表示AC,BC,继而

AC=b^_=4^-4x+4=4----12从而利用均值不等式取等号的条件即可.

ABc2X2+2X+4“一，3

X+1

【解析】【解法一】设BD=x,CD=2x,

在三角形ACD中，^2=4A-2+4-2-2X-2COS60O,可得：〃=4/一4犬+4,

在三角形ABD中,c、2=Y+4-2-x2cosl20。，可得:c2=x2+2x+4,

4,士，0ACmIonb10Ib14f-4x+4„12

要使得一最小，即=最小，-y=^—-_-=4------------―,

ABc2c2X2+2X+4…工3

X+l

其中x+1H---..2>/3,此时..4—2-^3,

X+lC

当且仅当X+1=6时，即》=6-1时取等号，故答案为：百-1.

【解法二】(补解)以。为原点建立如图所示坐标系，设8£>=Mx>0),

则D(0,0),B(-x,0),C(2x,0),A(l,x/3),则有而=(2x-1,-扬，丽=(-x-1,-我

所以反|=7(2X-1)2+(-^)2=V4X2-4X+4,IAB\=J(-x-l)2+(-^)2=y/x2+2x+4

4/—4%+412

--------------=4-

则有条4x2+2x+4,3

x+l+

x+1

,2

其中x+1+2石，此时」..4-26,

c

当且仅当x+l=6时，即x=G-l时取等号，

即8£）=&-1时.如取得最小值6-1,所以

AB

【试题评价】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题.

三'解答题：共70分。解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60

分。

17.（12分）记S“为数列｛见｝的前"项和.已知3+w=24+l.

n

（1）证明：伍/是等差数列；

（2）若%,%,%成等比数列，求S“的最小值.

【思路分析】（1）由已知把〃换为〃+1作差可得递推关系从而证明，

（2）由%,%,%成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出a“正负分界点计算即

可.

【解析】(1)【解法一】证明：由已知有：2S,,+〃2=2〃4,+”…①，

把n换成+1,2s“+]+(/?+1)~=2(拉+1)。〃+]+九+1…②,

②一①可得：2%=2(〃4-])ait+i-2nan-2n,

整理得：%=〃〃+1,

由等差数列定义有为等差数列；

2V

【解法二】(补解)・・・7+几=2q+1,・・.25“+〃2=2〃%+〃

n

••.2S〃+]+(〃+1)2=2(〃+1)凡+]+〃+1,...2S〃+]+(“+1)2=2(〃+1)(S〃+]—5〃)+〃+1

/.2咯+]-2(〃+1)S〃=n(n+1)

QV1fS11

・•・T_3L=不，故数列1是以首项为卬，公差为大的等差数歹iJ.

〃+1n2[n2

•・一=4+---,••S〃=na｝+---

n22

an=q+〃-1,Jan-an_x=1故｛an｝为等差数列

(2)【解法一】由已知有生设等差数列4,的首项为x,由(1)有其公差为1,

故(X+6)2=(X+3)(X+8),解得X=-12,故4=-12,

所以。〃=-12+(〃-1)*1=〃-13,

故可得：4</<%<・・・V42V°，《3=0'《4>0，

(-12+0)x13

故S“在〃=12或者〃=13时取最小值，S=S==-78,

12132

故S”的最小值为-78.

【解法二】(补解)由(1)可得%=q+3,%=4+6,。9=%+8,

又为,%,成成等比数列，所以％2=4,为，

即(4+6)2=(4+3>(4+8),解得4=-12,

所以为=〃一13,所以$=一12〃+心二^=’〃2(25

n-----股

”2222I218

所以，当〃=12或〃=13时(**0=-78.

【试题评价】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前〃项和的最小值，属于中档

题.

18.(12分)在四棱锥「一458中，P£>_L底面/WC£>,CD!/AB,AD=DC=CB=\,AB=2,

DP=B

(1)证明：BDJLE4;

(2)求包)与平面的所成的角的正弦值.

据长度关系可得8DJL4),进而得证；

(2)建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面03的法向量，利用向量的夹角公

式即可得解.

【解析】(1)证明：•.•PD_L底面？W8,BDu面ABCD,

:.PDLBD,

取他中点E,连接。E,则Z)E=1AB=1,则CE>〃3E,且CD=BE,

2

四边形8cDE为平行四边形，，力E=CB=I,,.♦£>£=LAB,

2

.•.△48。为直角三角形，且AB为斜边，力，4),

又尸。C4。=。，PDu面E4。，AOu面批。，

.♦.8。_1面弘0,又Q4u面加D,:.BDA.PA;

(2)【解法一】由(1)知，PD,AD,33两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标

系，BD=4AB2-AD1=V3,

则0(0,0,0),A(l,0,0),5(0,瓜0),P(0,0,73),

PD=(0,0,-x/3),PA=(1,0,-x/3),AB=(-l,y/3,0),

设平面以5的一个法向量为万=(x,y,z),则卜竺=x-&：=°,则可取为=(6,草)，

ii•AB=-x+6y=0

设PD与平面R4B所成的角为e,51IJsin0=|cos<PD,n>|=|PDn|=—

\PD\\n\5

.•・PD与平面以B所成的角的正弦值为更

【解法二】（补解）几何法

作J_AB交AB于"

:PDL平面ABCD,ABu平面ABCD

..DP1AB

AB_L平面POH,ABu面Q43,...面248上面PL归，

过点D作面PAB的垂线，垂足在面Q钻与面PDH的交线上

..・直线与平面Q钻所成角ZDPH

在APDH中：PD=j3,DH=—,PH=yjPD2+DH2=

2

•••直线P。与平面PAB所成角的正弦?

【解法三】（补解）

设点。到平面PA3的距离为"，在APAB中，PA=2,PB=®AB=2

SA/MB=2,,ADI.BDS&DAB=•由等体积法得：Vp-ABD=^D-PAB

々四产正沁小一/二警设PD与平面P”所成角为。

【试题评价】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理

能力及运算求解能力，属于中档题.

19.(12分)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方

得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目

中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【思路分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率，

可以得到甲学校获得冠军的概率；乙学校的总得分X的值可取0,10,20,30,分别求出X取

上述值时的概率，可得分布列与数学期望.

【解析】(1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场

比赛获胜的概率如下表：

第一场比赛第二场比赛第三场比赛

甲学校获胜概率0.50.40.8

乙学校获胜概率0.50.60.2

甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，

①甲学校3场全胜，概率为：^=0.5x0.4x0.8=0.16,

②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：P2=().5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.8=0.44,

所以甲学校获得冠军的概率为：《+4=0.6；

(2)乙学校的总得分X的可能取值为：0,10,20,30,其概率分别为：

p(X=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

P(X=10)=0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.8=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06,

则X的分布列为：

X0102030

P0.160.440.340.06

X的期望£¥=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

【试题评价】本题考查随机变量的分布列与数学期望的计算，难度不大.

20.(12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点ZXp,0),过F的直线交C于M,N两

点.当直线垂直于x轴时，|=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A,3,记直线MN,AB的倾斜角分别为a,

ft.当a-〃取得最大值时，求直线43的方程.

【思路分析】(1)由已知求得|尸0=5,则在RIAMFD中，利用勾股定理得p=2,

则C的方程可求；

QQ

(2)设A/,N,A,5的坐标，写出tanc与tan力，再由三点共线可得？3=,居=---；

y%

由题意可知，直线MN的斜率不为0,设/的：元=冲+1,联立直线方程与抛物线方程，化为关

于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得y+必=4帆，=-4,求得tan/?与tana,

再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得回的方程.

【解析】(1)【解法一】由题意可知，当时，y2=2p2,得功=血〃，可知|“。|=也〃，

囤地.

则在RtAMFD中，|FD|2+1DM|2=||2,得皮尸+(00)2=9,解得p=2.

则C的方程为y2=4x；

【解法二】（补解）如图所示，过点〃作抛物线的准线一髀垂线线，垂足为A

根据抛物线定义则有|MFR40|=^+%=3,

所以C的方程为/=4x；

⑵设yj,N(X2,y2),A(X3,%),

由(1)可知尸(1,0),0(2,0),则tana=&M,v=

又N、D、B三点共线,则即，即立型=互型

x2-2x4-2

%一0

~，得%”=-8,即>4=---

2

y22y

22

4f-

Q

同理由A/、D\A三点共线，得力=---.

y

则tan£=3£=」_=另％

三-%为+%-2(%+为)

由题意可知，直线MN的斜率不为0,设/的”=冲+1,

由卜一",得y2-4，*y-4=0,

[x=my+\

..m.l41—41

y+必=4"?,y%=-4,则tan。=——=—,tan/n>=-------=——,

4mm-2x4m2m

1_J_

则tan(a­)=tan"ta”=

1+tanatan/?1+_L.l2m+-

2mtn