2022-2023学年人教A版（2019）必修第二册 10.2事件的相互独立性 课件(共28张)

10.2事件的相互独立性人教A版必修第二册复习回顾事件的关系或运算含义符号表示概率表示包含并事件(和事件)交事件(积事件)互斥(互不相容)互为对立A发生导致B发生A与B至少一个发生A与B同时发生A与B不能同时发生A与B有且仅有一个发生A⊆BAUB或A+BA∩B或ABA∩B=ΦA∩B=Φ,AUB=ΩP(A)≤P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)

-P(A∩B)P(AB)=P(A)P(B)P(A)+P(B)=1复习回顾前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质,还研究过和事件的概率计算方法.对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗?我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关.那么，这种关系会是怎样的呢?下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.探究下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗?

试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.

试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.

对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.思考试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现?在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，所以AB={(1,0)}.思考由古典概型概率计算公式，得于是有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.思考试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.

分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现?在试验2中，样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，包含16个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}，所以于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.相互独立事件的定义对任意两个事件A与B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.通俗地说，对于两个事件A，B，如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做

相互独立事件．若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)．思考必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立吗？根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生．由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(AØ)=P(Ø)=P(A)P(Ø)成立．因此，必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立．思考互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立?以有放回摸球试验为例,验证A与,与B,与是否独立,你有什么发现?证明对于A与，因为A=AB∪A

，而且AB与A

互斥，所以所以由事件的独立性定义，A与相互独立.类似地，可以证明事件与B，与也都相互独立.注意：我们知道，如果三个事件A、B、C两两互斥，那么概率加法公式P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；但当三个事件A、B、C两两独立时，等式

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.判断两个事件是否相互独立的方法1.直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.2.定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.3.转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立,转化为判断A与 , 与B, 与 是否具有独立性. 例1一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3"”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立?解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}，且m≠n}，A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，AB={(1,2)，(2,1)}.所以此时P(AB)≠P(A)P(B)因此，事件A与事件B不独立.例2甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.解:设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则=“甲脱靶”,

=“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响，

所以A与B相互独立，A与，与B，与都相互

独立.由已知可得，(1)AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得

P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72(2)“恰好有一人中靶”

，且

与

互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得(3)事件“两人都脱靶”=，所以(4)方法1：事件“至少有一人中靶”,且两两互斥，所以方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为方法总结由简单事件通过运算得到复杂事件,进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率.解题时要注意:1.对事件进行分解,一方面分解为互斥的几类简单事件求概率;另一方面分解为独立的事件,利用事件同时发生(乘法)求出概率.2.对事件分解时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.类型表示A,B中至少有一个发生为事件A,B中至多有一个发生为事件A,B恰好有一个发生为事件A,B都发生为事件A,B都不发生为事件A,B不都发生为事件已知两个事件A,B,例3甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.解：设A1、A2分别表示甲两轮猜对1个、2个成语的事件，B1、B2分别表示乙两轮猜对1个、2个成语的事件.根据独立性假定,得设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A=A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2、A2与B1分别相互独立，所以因此，“星队”在