北师大版八下数学分解因式基本方法的应用

分因基方的用【精练】把下列各式因式分解（1）

ax

（22分析在分解因式时一定先要认真观察不要盲目下笔通过观察发（1）题的多项式含有公因式因此先提取公因式余下的因式4x利用公式法继续分解；而（2题可以直接考虑用平方差公式．

又可以解答1x

36

ax

a(4

2

xa

2（2

=点评：因式分解一般先考虑提公因式，然后再考虑用公式，并且要分解到底．拓广：因式分解a

3

a

2

【知识规律串讲】一、基知识（1）因式分解：把一个多项式和的形式化为积的形式，叫做因式分解（）公因式：几个单项式中相同因式最低次幂的积叫做这几个单项式的公因式确定公因式的方法是：系——取多项式的各项系数的最大公约数；字——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂（3）提公因式法：实际上是逆用乘法分配律，（4）公式法：利用平方差公式2利用完全平方公式aab2（5）因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；③分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．二、分解因的几常用方．1/7

2323222222323222222221．公因式解例1分解因式7x

2

-3y+xy+21x．分析：第1、4项含公因式7x，、含公因式y，分组后又有公因式(x-3)，解原式=(7x-21x+(xy-3y)=7x(x-3(x-3=x-37x+y)．2．系数分例2分解因式x．分析：第1、2项和3、4项的系数之比：，把它们按系数分组．解原式=(x)))(x+3(x+3)(x+3．．按次数分例3分解因式+2m·n-3m-3n+n．分析：1、2、5项是二次项，第3、4是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式．解原式=(m+2m·n+n)+-3m-3n)-3(m+n)＝m+n)(m+n-3)．4．乘法公分组分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式．2/7

2222222222222222222222222222222442222225．开后再组例5分解因式abc

2

+d

(a

+b

．分析：将括号展开后再重新分组．解原式=十cdb＝(abc)+()＝(bc+ad+bdbc+ad＝()(ac+bd)．6．项后再组例6分解因式x

2

-y

+4x+2y+3分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．解原式=x-y(x+4x+4)+-y+2y-1=(x+2-(y-1)=()(x-y+3)．添项后再组例7分解因式x．分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组．解原式=x-4xx+2)-(2x=x)(x-2x+28．换元法行因式分解用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成．例8分解因式(x+3x-2)(x+3x+4-16．3/7

22222222222222222222分析：将令

则原式转化为(y-2)再分解就简单了．解令y=x

则原式=)(y+4)-16=y

+2y-24=()()．因此，原式=x

2

)(x

2

+3x-4x-1x+4x

2

．9．求根法行因式分解例9分解因式x

2

分析：x

2

利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解．10用待定数法分解因．例分解因式x+6x-16．分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即)(，将其展开得12xb+b)xb·b与x+6x-16相比较得122=6b·b=-16可得b，即可分解．12解设x+6x-16=()12则x+6x-16=x+(b+b·b1224/7

332222222eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○332222222eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)∴x

2

+6x-16=x-2x+8)．三、因分解的应用1．用因式解解方程例11一个数的立方等于它本身，求这个数．分析：当时，．设此数为x，x=x．利用因式分解，将其变形为x(x1)(x－1)=0．通过对积为0数的分析，可得出x的解，这就是利用因式分解法解方程的基本原理．解：设这个数为x则

x

3

=xx－x=0x(x－x(x1)(x－所以或x或x解得或x=-1或x=1答：这个数可能是0，或1．例12已知长方形的长为a宽为与b都是整数，＋ab－=7．求长方形的面积．分析本题就是要由条件a＋－=7确定整数a与b值可将等式左边进行因式分解，等式右边进行因数分解，从而确定每一个因式的值．解：因为所以

a＋－=7(a－

或

＋－b)=（-1）×(-7)由于ab都是线段长，所以＋由

和

解得

不合题意舍去5/7

210987654322228652109876543222286522232222632由eq\o\ac(○,3)和eq\o\ac(○,4)解得

经检验

符合题意所以a·b=6答：长方形的面积为62．用因式解巧算计算例13计算

1998321998319981999分析：大数计算，应巧解，算式中多次出现了1个数，可考虑先部分提取公因数，进行化简．解：原式=

22

(19982)1996(1998

199619991996(199821999(19982199619993．用因式解求代数式值例14已知a＋a－求a

＋a

－a

＋a

＋a－a

＋a

＋

－a

的值分析：将代数式变形成a＋－的表达式，利用a＋－1=0整式代入，即可求值．解：原式=a＋a－－a＋－a＋a＋－=a

[(a

6

＋－＋a

＋－＋

＋－1)]=a＋－1)(a＋a＋1)因为a＋a所以原式=06/7

2222222222222222222222例15已知a(a－－(a

2

－b)=-2，求

a2

ab的值分析：分别将条件和待求代数式变形，寻求整体代入机会．解：因为a(a－－(a－所以a－a－＋即

－原式

a

2

22

(a)2

2将－b=-2入原式=22a答：值为224．用因式解判断代数的取值号例16设、、是△ABC的三条边，求证：