2023届邯郸高三上学期摸底考试数学试题含答案

下列结论正确的是)

绝密★启用前A.该校2022年与2021年的本科达线人数比为6:5

B.该校2022年与2021年的专科达线人数比为6:7

邨郸市2023届高三年级摸底考试试卷

C.2022年该校本科达线人数增加了80%

数学D.2022年该校不上线的人数有所减少

5.已知向量。=(—4,—3),8=(/〃，1),且夹角的余弦值为一日・则"?=()

本试卷共4页.满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：A.0B.-1C.0或一苧D.一学

1.答卷前.考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.

2.问答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改6.“0<1<1”是七十^^>1”的()

a

动•用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号.回答非选择题时•将答案写在答题卡上.写在本试卷

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

上无效.

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

7.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中,提出了已知一角形三边长求•:角形面

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题3分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

积的公式•可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设分别为内角AJ3.C的对边.

是符合题目要求的.

a+6+c

S表示△ABC的面积.其公式为若b=43

1.若集合发<0}・3=图1唯.G0},则图中阴影部分表示的集合为()sinA4-sinB+sinC

A.{①|、下>0}

数二.则AABC面积S的最大值为

A.-72B.1C.-1-D.孝

D.{x|0<r<1或x>2}~/

8.从正方体的8个顶点和中心中任选4个.则这4个点恰好构成•:棱锥的概率为()

2.设复数之=号，则复数z的共施复数?在复平面内对应的点位于()

A41_2

A*63B-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、多项选择题:本大题共1小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

已知函数的图象在点处的切线方程是丁=一支+则八一/(

3..y=/Cr)P(3,/(3))27,3)3)=合题目要求.全部选对得5分，有选错得。分，部分选对得2分.

()9.已知函数/(1)的局部图象如图所示.下列函数/(i)的解析式与图

A.-2B.2C.-3D.3象符合的可能是()

4.某高中2022年的高考考生人数是2021年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情A./(")=卷/B./(])=、/

况,统计了该校2021年和2022年高考分数达线情况,得到如图所示扇形统计图：

C./(.r)=jsinxD./G)=酒

1。.已知双曲线C审T=l<a>。)的左'右焦点分别为6,玲，离心率为2.P为C上一点.则

()

A.双曲线(、的实轴长为2B.双曲线C的一条渐近线方程为y=点丁

C.PF1|-|PF2I=2D.双曲线C的焦距为4

2021年该校高考统计2022年该校高考统计

数学试题第1页(共4页)数学试题第2页(共4页)

11.已知力为等差数列,5“为其前〃项和•则下列结论一定成立的是)⑴请根据上述表格中的统计数据填写下面2X2列联表.依据a:0.05的独立性检验，能否

A.若=。5，贝U4】=',•=%B.若a〉4，则SiVS2V…VS”认为“晨读合格”与年级有关联？

C.若.3=2,则出+足28D.若=8.4=4•则5)2=66

项目晨读不合格晨读合格合计

12.如图，在正方体ABCD-AiBGD中•动点E在线段AC上，则()

高二

A.直线A】G与BC所成的角为30°

高三15100

B.对任意的点E,都有6D_L平面ACE

合计

C.存在点E.使得平面ABE〃平面CC.D.D

D.存在点E,使得平面ABE_L平面CDE(2)将I：述调查所得到的频率视为概率来估计全校的情况,现在从该校所有学生中•随机抽

三、填空题:本题共1小题,每小题5分，共20分.取2名学生.记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量£求S的分布列和数学期望.

13.若抛物线=4。•的准线与圆C：(a—a)2+y2=1相切，则a=.参考公式:如其中n=a^b+c+d.

(a+Z»)(c+d)(a+c)S+d)

II.已知Gr+D(j—1)$=00+01①+。2口"2+。3,，+。3+。5/+。6,/，则％+413的值为

参考数据:

15.如图•在正四棱台AWDEFGH中.AB=4育,EF=9百•且四棱徘

a0.10.050.010.0050.001

EABCD的体积为48,则该四棱台的体积为.

2.7063.8116.6357.87910.828

16.设函数/(.r)=:sinw.r-1-sinfcar+y)(w>0),/(彳)在［0,兀］上有

且仅有3个极值点.则〈”的取值范闱是

20.(本题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形.AB=2AD=2DC,AB〃

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

DC,AB_LAD.平面PCB_L平面ABCD.

17.(本题满分10分)在①^十/一/二？忘心inB；@sin2B-|-sin2C-sin2A=V3sinBsinC这两个条

(1)证明:PBJ_AC;

件中任选一个.补充在下面的问题中并作答.(2)若△PCB为正:角形,求二面角B-PA-C的正弦值.

在△ABC中.内角八.8,。所对的边分别是〃,〃.小.

(D求角A；

⑵若a=8,6+e=10.求△ABC的面积.

21.(本题满分12分)已知椭圆C：，+£=l(a>4>0)的左、右焦点分别为FiE,上、下顶点分

别为M.N.ZXNEF?的面积为巧,四边形MKNF,的四条边的平方和为16.

18.(本题满分12分)设&是等比数列｛4｝的前〃项和，且S3=145；=126.

(1)求椭圆C的方程；

(1)求数列储力的通项公式；

(2)若.斜率为k的直线/交椭圆C于A-B两点,且线段AB的中点H在直线工=

⑵记儿=S—1)%,数列｛儿｝的前〃项和为T.，求T,,,

1■上.求证:线段AB的垂直平分线与圆产+y2T恒有两个交点.

19.(本题满分12分)暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯,开学后•该校对高二、高三随

机抽取200名学生(该学校学生总数较多).调查日均晨读时间，数据如表；22.(本题满分12分)已知函数八

日均晨读时间/分钟[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40*50)[50,60](1)讨论函数八Q的单调性；

人数51025505060(2)若屋上)=上？一Mln,+H),且a>e,证明:gG)有且仅有两个零点.(e为自然对数的底数)

将学生日均晨读时间在［30,601上的学生评价为“晨读合格”.

数学试题第3页(共4页)数学试题第4页(共，1页)

高三年级摸底考试试卷

数学全解全析

【命题双向细目表】

试题难度预期

题型题号分值考查的主要知识点试题来源

易中难得分率

选择题15V集合交集原创0.85

选择题25V复数的运算和概念原创0.85

选择题35导数的几何意义原创0.8

选择题45V统计原创0.8

选择题55V平面向量的数量积原创0.8

选择题65充分条件与必要条件原创0.75

选择题75古代文化、三角形面积原创0.7

选择题85V古典概型的概率原创0.55

选择题95、/函数图象和性质原创0.8

选择题1057双曲线性质、定义原创0.8

选择题115等差数列的通项公式，性质原创0.7

选择题125V正方体线面、面面位置关系的证明与判定原创0.55

填空题135x/抛物线和圆的方程原创0.8

填空题145二项式定理原创0.7

填空题155V四棱台体积的求解原创0.7

填空题165V三角恒等变换及函数极值点原创0.5

解答题1710V正、余弦定理及三角形面积公式原创0.8

解答题1812V等比数列性质及错位相减法求和原创0.75

独立性检验、二项分布的概率计算及其随机

解答题1912V原创0.7

变量的分布列和数学期望

解答题2012V棱锥中的线面位置关系、二面角原创0.7

椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系，根与系

解答题2112V原创0.65

数的关系的应用以及直线与圆恒有交点问题

解答题2212V利用导数求函数单调性、零点原创0.55

1.【命题说明】本题依托集合的概念和不等式的基本性质，考查图示法表示集合的关系、交集的定义、解不

等式，考查运算能力和数形结合思想.

【学科素养】本题重在运算与推理,重点考查数学运算和直观想象的核心素养.

C由题可得A=(z|0Vz<2},8={川由题图可得阴影部分为An/3={z|lW才V2}.

2.【命题说明】本题依托复数的概念.考查复数的运算和共舸复数的概念,考查运算能力.

【学科素养】本题重在运算,重点考查数学运算的核心素养.

D因为-告=十+先

所以工=；一；i,£在复平面内对应的点(J,-位于第四象限.

3.【命题说明】本题依托导数的概念，考查求导法则和导数的几何意义,考查运算能力和数形结合思想.

【学科素养】本题重点考查数学运算和直观想象的核心素养.

0函数八#的图象在点P(3,/(3))处的切线的斜率就是在该点处的导数.即/(3)就是切线y=-2才

+7的斜率，所以/'(3)=-2,又/(3)=-2><3+7=1,所以/(3)-/(3)=1-(-2)=3.

4.【命题说明】本题依托扇形统计图数据，考查了对扇形统计图的理解与应用，考查灵活应用所学知识解答

实际问题的能力，考查运算能力和数形结合思想.

【学科素养】本题重点考查数据分析的核心素养.

C不妨设2021年的高考人数为100,则2022年的高考人数为150.2021年本科达线人数为50,2022年

本科达线人数为90,得2022年与2021年的本科达线人数比为9：5,本科达线人数增加了80%,故选项

A不正确,选项C正确；2021年专科达线人数为35,2022年专科达线人数为45,所以2022年与2021年

的专科达线人数比为9:7,选项B错误；2021年不上线人数为15,2022年不上线人数也是15,不上线的

人数无变化.选项D错误.

5.【命题说明】本题依托平面向量的概念，考查平面向量数量积的理解与应用,考查运算能力.

【学科素养】本题重点考查数学运算的核心素养.

A由已知|a|=，(一4>+(-3)2=5,IM=+♦b=-4”?一3,

所以cos<fl./>>=T^-|rrr=—=一~|-<o,解得"?=o或一常(舍去).

aim5X57

【名师点拨】求得=^^=一!■之后，不用解方程，可用试值法.将m=0,一1,一药弋入，易得/«=0

5XMT+157

符合题意.

6.【命题说明】本题依托不等式，考查充分条件和必要条件的判断，考查灵活应用充分条件和必要条件的定

义解答问题的能力，考查运算能力.

【学科素养】本题重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.

11丁2

A因为]+士>101-1+4T—1且NW0,充分性成立，所以是“/

X-T11十1]十1

+』>1”的充分不必要条件.

x-v1

7.【命题说明】本题依托古代三角形问题，考查正弦定理在解三角形中的应用，考查二次函数求最值问题.

考查转化思想.

【学科素养】本题重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.

C由正弦定理得—4=•=产7•，得c=2a,因为Z>=72,AABC的面积S=

sinAsinA十sin[H=十si.n0。ZsinA

出付"("J<)]=[——9a'+20后一4,所以当a?=[，即==冬时,AABC的面积S有最大值为

8.【命题说明】本题依托正方体的点、线、面位置关系.考查古典概型的概率求解.考查运算能力和空间想象能力.

【学科素养】本题重点考查数学运算和直观想象的核心素养.

I)从正方体的8个顶点和中心中任取4个，有n=C：=126个结果,4个点恰好构成三棱锥分两种情况：

-2-

①从正方体的8个顶点中取4个点，共有C；=70个结果，在同一个平面的有〃?=6+6=12个，构成三棱

锥有70-12=58个;②从正方体的8个顶点中取3个与中心构成三棱锥有6C；+8=32个,故从正方体的8个

顶点和中心中任选4个,则这4个点恰好构成三棱锥的个数为58+32=90,故所求概率P=^=-y.

IZbI

9.【命题说明】本题依托函数图象,考查函数性质.函数单调性、奇偶性、极值等问题，考查数形结合思想.

【学科素养】本题重点考查逻辑推理和数学抽象的核心素养.

AC对于A,/（一N）=六（一N）2=六合=/（8为偶函数，图象为开口向上的抛物线=与题

干图象相符；对于BJ（z）=z'为偶函数，但/（D=l,与题干图象不相符;对于C"（-z）=（一才）sin（-z）

=isin.r=/（z）为偶函数.由/'（才）=sin才+icos才，当0<了<£时.（1）>0,/（才）单调递增.且/（1）=

sin1<1,与题干图象相符；对于D,/（一了）=二~^^=一/（了）为奇函数,与题干图象不相符.

（一工）"十1

10.【命题说明】本题依托双曲线方程,考查双曲线性质、定义*考查数形结合思想.

【学科素养】本题重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.

ABI）由双曲线方程知：离心率为e=£=巫王'=2.解得a=l.故C：f-《=1*实半轴长为1,实轴

长为2a=2,A正确；因为可求得双曲线渐近线方程为？=士届、故一条渐近线方程为y=卮，B正确；

由于P可能在C的不同分支上,则有|IPFJ-IPFJ|=2,C错误；焦距为2c=2"^=4,0正确.

11.【命题说明】本题依托等差数列概念.考查等差数列的通项公式、前”项和的性质.考查基本不等式综合

应用，考查转化思想.

【学科素养】本题重点考查数学运算和数学抽象的核心素养.

ACD设等差数列的公差为“，因为%=%,所以m=右+44,所以4=0,则©=*=-••=&“，故A正确；

因为小〉生，所以m+4（/>m+2",所以为递增数列，但5.<52<-<5„不一定成立，如a,

=一2,牝=一1,%=0,51=-2,&=-3,53=—3,故8不正确；因为就+诵>2（红沪）=2雇=8,当

（a,=a,4-3cZ=8,（d=­1,

且仅当©=&=2时取等号•故C正确；因为解得则须=卬+84=8—8=0,

[&=ai+7d=4,=11♦

得S"="'；"'2><12=66,故D正确.

【知识总结】结论：（1）等差、等比数列的性质：若加+*=立+°=2“比，”，/>，9，小V）,

①若｛%｝为等差数列，则有a“+a,=a,+%=2a"

②若｛a,J为等比数列.则有,a„=af•a,=a,.

（2）设等差数列｛七｝的公差为d,当d=0时.为常数列；当”>0时.递增；当d<0时.递减.

12.【命题说明】本题依托正方体.考查线面、面面位置关系的证明与判定,异面直线所成角的定义等问题，

考查数形结合与转化思想.

【学科素养】本题重点考查数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养.

BC因为AC〃AC，所以直线AC与8C所成的角为45°,故A错误；

因为BDJ_平面ACGA，故BD_L平面ACE.故B正确；D,C,

当点E在A,处时，平面ABE〃平面CGRD.

所以存在点E,使得平面ABE〃平面CCRD*故C正确.'l/'J/'\1/\

如图，过点E作MN〃Ai3，则MN为平面ABE与平面CDE的交线，；IM

在正方体中，A15_L平面BCGB,所以MN_L平面BCC,B,，所以BN±MN,

CNLMN,所以NBNC即为平面ABE与平面CDE所成的夹角，AB

-3-

因为点N一定在以BC为直径的圆外，

所以NBNCV90。,所以不存在点E,使得平面ABEJ_平面CDE.故D错误.（设正方体的棱长为1,B,N

=z.则tanNBiBN=了,tanNCCN=1—x,

T-j-（1—丁）11

所以tanZBNC=tan（ZB,BN+ZC,CN）=1”；=.八=——--•

l-x（l-x）z+17（1Y.3

kF+了

当时,tan/BNC取得最大值•为告.此时N8NC为锐角.故D错误.）

13.【命题说明】本题依托抛物线和圆的方程,突出考查了抛物线性质和圆的切线，试题设计灵活，强调综合

运用所学知识来解决问题的能力.

【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算和宜观想象的核心素养.

【解析】抛物线丁=4彳的准线为Z=-1,圆C：（a-a）z+y2=i的圆心为（。，°）,半径,-=1,与准线工=

—1相切，得a=—2或0.

答案：一2或0

14.【命题说明】本题依托二项式定理,突出考查利用二项式展开式的通项求系数，考查学生对这些知识的

理解掌握水平，试题设计灵活,强调综合运用所学知识来解决问题的能力.

【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算的核心素养.

【解析】令H=0n4=-1,由题得（工一1尸的展开式的通项为T,+i=G/

令5—r=2.得r=3.令5—厂=3,得r=2,

所以出=屐（一1尸+（3其-1）2=0,

所以a（l+as=-1.

答案：一1

15.【命题说明】本题依托四棱台和四棱锥,突出考查四棱台体积的求解，考查学生对四棱台知识的理解掌

握水平，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.

【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算和直观想象的核心素养.

【解析】方法一：由题意•设点E到平面ABCD的距离为人由四边形ABCD面积为S=（4有¥=48.得

四棱锥E-AHCD的体积为48=}〃S=}X48〃，得A=3.

所以棱台体积为V=4-/i（Sr+ySjLST+ST）=^-X3X（48+748X243+243）=399.

oJ

方法二：由题意，设点E到平面ABCD的距离为八，由四边形ABCD面积为S=（4百）'=48,得四棱锥

E-ABCD的体积为48=；AS=4X48/i,得h=3.由棱台定义知.延长EA,FB,GC,HD交于一点（图

略），设为P,设棱锥P-ABCD的高为了，

则棱锥P-EFGH的高为H+3,由三角形相似可得$=能=]■，得了=羟，于是棱台体积V=4（Z+

JCIJ22*y0J

1I9711?

3）S-■^J-SI=?X?X243-gx?X48=399.

F3^3535

答案：399

16.【命题说明】本题依托三角函数解析式,突出考查利用正弦型函数在区间上的极值点个数判断正弦型函

数的基本性质，考查三角变换公式，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.

【学科素养】本题重在运算,重点考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养.

3..73

【解析】/(>r)=sinaw+sinf=攵-sin“ri2cos<ux冬in皿.cos皿

当xe[(),u]时，cvx+《e[!，37r+《]，

b[boJ

-4-

令r=x+3，则*［f^+f］.

作出函数y=JWsin/（专《5：+看,二>0）的图象如图所示:

由于函数/（］）在［0,村上有且仅有3个极值点，

则「X砺+F解得朵迪M挈

答案:后，学）

【名师指点】解本题的关键在于换元，=3/+嬴将问题转化为函数y=6sin，在区间片,即+专］上的

极值点个数问题，数形结合来求解.

17.【命题说明】本题考查利用正、余弦定理解三角形的方法，考查三角变换公式及对三角形面积公式的理

解与应用能力.强调综合运用所学知识来解决问题的能力.

【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.

【分析】（1）选择①：利用正弦定理边角互化.结合余弦定理可求得tanA的值.结合角A的取值范围可求

得角A的值；

选择②：由正弦定理、余弦定理可求得cosA的值,结合角A的取值范围可求得角八的值；

（2）利用余弦定理可求得A的值，结合三角形面积公式可得出△A/3C的面积.

【解析】（D选择①：因为〃+--1=2"acsinB,

由余弦定理可得2Z>ccosA=2V3acsinB,

所以结合正弦定理可得sinBcosA=VIsinAsinB.............................................3分

因为86（0.n）.则sinB>0,

所以cosA="sinA,即tanA=日，

因为Ae（0,K）,所以A=r；...................................................................5分

0

选择②：因为sin?B+sin?C-sin"A=V^sinBsinC.

由正弦定理得〃十百一£=岛一...........................................................3分

由余弦定理得cosA=~~—=2y.

〃二L;UCL

因为Ae（0,n）,所以A=《；...............................................................5分

o

（2）由（1）知A=1■.又已知a=8,4+c=10,

6

由余弦定理得,。2=〃+,2—26《»4=（。+,）2—（2+点）儿，................................7分

即64=100—（2+点）"<、所以bc=—

2+73

所以△ABC的面积为5%sinA=5〃csint=9（2—痣）...................................10分

226

-5-

18.【命题说明】本题依托等比数列概念，突出考查数列的求和方法.考查学生对错位相减法的理解与应用

能力,强调综合运用所学知识来解决问题的能力.

【学科素养】本题重在运算，重点考查数学运算和逻辑推理的核心素养.

【分析】(1)根据&=14,$=126,得到处,g的值.得到｛明｝的通项公式.

(2)首先根据(1)得到Da“，再利用错位相减法求T,,即可.

【解析】(1)设等比数列｛4｝的公比为g,显然qWl,由S3=14,S6=126,

得&二气:二=14，&二勺1—1)=126,............................................................................................3分

1~(/1-q

相除得1+/=9,得g=2,所以4=2,

所以数列｛%｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，即a,,=2"；..........................................................6分

(2)由(1)可得瓦,=(，?一l)a“=("-1)2",

所以T„=1X22+2X2;,H------H〃-2)X2—+5-DX2"........①，

-yT„=lX2+2X22H------H"-2)X2"T+(”-I)X2"T...②，...............................9分

②一①，得一十T“=2+2?T----H2"2+2”“一("—1)义2",

19(1—)

得一,「尸」得一DX2",

所以T,,=4+(”-2)X2""...........................................................................................................................12分

【方法指导】本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：

1.公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可；

2,分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；

3.裂项相消法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；

4.错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和.

19.【命题说明】本题依托数据统计、频率分布，突出考查列联表的填写、片的计算、二项分布的概率计算公

式及其随机变量的分布列和数学期望.强调综合运用所学知识来解决问题的能力.

【学科素养】本题重在运算,重点考查数学运算、数据分析的核心素养.

【解析】⑴

项目