2023届高考数学一轮讲义- 立体几何与空间向量第4节 空间直线、平面的垂直

第4节空间直线、平面的垂直

考试要求从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中

直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.

知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相垂

直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一条直线与一个l±a、

ILb

判定定平面内的两条相交直

aC\b=O>=/_La

理线垂直，那么该直线

7aua

与此平面垂直bua,

1,

性质定垂直于同一个平面的6z_La

(=>a//b

理两条直线平行♦

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平

面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是鹭；一条直线和平面平

行或在平面内，则它们所成的角是0。.

⑵范围：0,

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①OW/；②OAua,OBuB；③OA，/,OBM,则二面

角a-l-[i的平面角是NAQB.

(3)二面角的平面角a的范围：0°<a<180°.

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面过另一个

l-La

判定定理平面的垂线,那么这两个战…£

平面垂直£1b

两个平面垂直，如果一个

a邛

平面内有一直线垂直于、

aC\B=a

性质定理这两个平面的交线,那么,f=5>/±a

/_La

这条直线与另一个平面4L//u£,

垂直

|常用结论

1.三个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线

线垂直的一个重要方法).

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

2.三种垂直关系的转化

线线垂直七钎线面垂直FT面面垂直

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

⑴直线/与平面a内的无数条直线都垂直，则)

⑵垂直于同一个平面的两平面平行.()

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()

(4)若平面a内的一条直线垂直于平面厂内的无数条直线，则)

答案(1)X(2)X(3)义(4)X

解析(1)直线/与平面a内的无数条直线都垂直，则有/J_a或/与a斜交或仁

。或/〃a,故(1)错误.

(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.

⑶若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与

另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.

(4)若平面a内的一条直线垂直于平面£内的所有直线，则故(4)错误.

2.(2022・百校大联考)若机，n,/为空间三条不同的直线，a,夕，了为空间三个不

同的平面，则下列为真命题的是()

A.若〃z_L/,〃_!_/,则加〃〃

B.若机_1_夕，"?〃a,则a_Lg

C.若a_Ly,尸Ly,则a〃夕

D.若aCy="2,pC\y=n,m//n,则a〃4

答案B

解析A中，加，〃可能平行，相交或异面；

C中，a与4可能平行或相交；

D中，a与夕可能平行或相交.故选B.

3.(多选)已知两条不同的直线I,m和不重合的两个平面a,%且I邛,下面四

个命题正确的是()

A.若〃z_L尸，则/〃加B.若a〃4，则/_La

C.若a_L/,则/〃aD.若则机〃尸

答案AB

解析对于A,由/_1_4，m邛,可得/〃机，故A正确；

对于B,若/_LQ,a〃“，可得/La,故B正确；

对于C,若/_LQ,a,夕，贝i]/〃a或/ua,故C错误；

对于D,若/_!_尸，IVm,则m〃4或故D错误.

4.(2021•浙江卷)如图，已知正方体ABCO-AiBiCOi,M,N~7f

分别是4。，的中点，则()A'l\\'\^r

A.直线AQ与直线OiB垂直，直线MN〃平面ABC。

B.直线4。与直线OiB平行，直线MALL平面80D131

C.直线4。与直线相交，直线MN〃平面ABC。

D.直线A\D与直线D\B异面，直线MNJ_平面BDDiBi

答案A

解析连接ADi（图略），则易得点M在ADi上，且M为ADi的中点，ADilAiD.

因为AB_L平面A4i。。，AiDu平面AAIQI。，所以A8L4Q,

又A3nAOi=A,AB,AOiu平面ABOi,

所以AiDl.平面ABDi,又BDiU平面48》，显然4。与BDi异面，所以4。与

BD\异面且垂直.

在中，由中位线定理可得MN〃AB,

又MNQ平面ABCD,ABu平面A8CD,

所以MN〃平面A8CD

易知直线A3与平面BBQiO成45。角,

所以MN与平面380。不垂直.

所以选项A正确.

5.（多选）如图，PA垂直于以为直径的圆所在平面，C为圆

上异于A,B的任意一点，AE1PC,垂足为E,点尸是PB上

一点，则下列判断中正确的是（）

A.8UL平面PAC

B.AE±EF

CACLPB

D.平面AE/L平面PBC

答案ABD

解析对于A,PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BCu底面圆面，则

PA1BC,

又由圆的性质可知ACL8C,且PAAAC=A,PA,ACu平面PAC,

则8C_L平面PAC,所以A正确；

对于B,由A项可知BCLAE,

由题意可知AELPC,JLBCQPC=C,BC,PG=平面PC3,

所以AE_L平面PCB.而Ebu平面PCB,

所以AE_LEE,所以B正确；

对于C,由B项可知AE_L平面PCB,因而AC与平面PCB不垂直，

所以AC_LPB不成立，所以C错误；

对于D,由B项可知，AE_L平面PCB,AEu平面AEF,

由面面垂直的判定定理可得平面AE「_L平面PBC,所以D正确.

6.在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点0.

(1)若PA=PB=PC,则点0是△A3C的心.

(2)若PA_LPB,PBVPC,PC±PA,则点。是△ABC的心.

答案⑴外⑵垂

解析(1)如图1,连接OA,OB,OC,0P,

图1

在RtZ\POA,RtaPOB和RtaPOC中，PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,即

0为△ABC的外心.

(2)如图2,延长AO,BO,C。分别交BC,AC,AB于"，D,G.因为PCLPA,

PBLPC,PAQPB=P,所以PC,平面PA8.又ABu平面PA3,

图2

所以PCLAA因为PO±AB,POCPC=P,所以A3,平面PGC,又CGu平面

PGC,所以ABLCG,即CG为△ABC边AB上的高洞理可证8。，AH分别为

△ABC边AC,8C上的高，即。为△ABC的垂心.

口考点突破•题型剖析

考点一直线、平面垂直的判定与性质

例1如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD,

ABLAD,ACLCD,ZABC=6Q°,PA=AB=BC,E是PC的

中点.证明：

(1)CD±A£；

(2)P。，平面ABE.

证明(1)在四棱锥「一ABC。中，

「PA，底面ABC。，COu平面ABC。,

APAICD.

VAC±CD,PAQAC=A,

.•.CDJ_平面PAC.

而AEu平面PAC,.\CD1AE.

(2)由PA=4?=BC,ZABC=60°,

可得AC=PA.

•.•E是PC的中点，：.AE1PC.

由(1)知AELCO,且PCQCO=C,

平面PCD.

而PDu平面PCD,：.AE±PD.

•.•PA,底面ABC。，：.PALAB.

又•.,ABLA。且PACAO=A,

...A3,平面PAO,而POu平面PA。,

C.ABA.PD.

又YABnAEMA,.•.「£)!.平面ABE.

感悟提升(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递

性；③面面垂直的性质.

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的

性质.

训练1如图，在四棱锥P—ABC。中，四边形ABCD是矩形,

AMB

48,平面PAD,AD=AP,E是P。的中点，M,N分别在AB,PC上，且

MNLAB,MNLPC.证明：AE//MN.

证明平面PAD,AEu平面PAD,：.AELAB.

入ABHCD、J.AELCD.

'：AD=AP,E是PO的中点，：.AE±PD.

又CDCPD=D,CD,POu平面PC。，

.•.AE,平面PCD.

"：MN±AB,AB//CD,:.MN工CD.

又,：MNLPC,PCHCD=C,PC,COu平面PC。，

平面PC。，J.AE//MN.

考点二平面与平面垂直的判定与性质

例2(2021.全国乙卷)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形,

底面ABC。，M为3C的中点，且P8LAM.

(1)证明：平面PAM_L平面P8D；

(2)若PD=DC=\,求四棱锥P-ABCD的体积.

⑴证明•.•/＞。，平面48。。，AMu平面A8CO,

：.PD±AM.

,：PBLAM,且PBCPD=P,PB,PDu平面PBD,

...AM，平面PBD.

又AMu平面PAM,

二平面PAM,平面PBD.

(2)解：M为BC的中点，，BM^AD.

由题意可知A8=OC=1.

•.工加工平面;^。，BDu平面PBD,

：.AM±BD,

由ZBAM+ZMAD=90°,

ZMAD+ZADB=90°,

得NBAM=NADB,易得

匕j-IBMAB2__]f-

“^'~AB=AD,a即n-/仔0AD=y)2,

所以Sm彩ABCD=ADDC=PX1=也，

则四棱锥P-ABCD的体积VP4BCD=1S短彩ABC»PQ=；X啦X1=芈.

感悟提升(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化

①两种方法：

⑴面面垂直的定义：

(ii)面面垂直的判定定理(a_L夕，aua=a_L£).

②一个转化：

在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂

线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

(2)面面垂直性质的应用

①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意

“平面内的直线”.

②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.

训练2如图，在三棱柱ABC—中，ZACB=ZA4iC=

90°,平面A4cle_L平面ABC.

⑴求证：A4i±AiB；B

(2)若AAi=2,BC=3,ZAiAC=60°,求点。到平面AiABBi的距离.

⑴证明因为平面A4CC，平面ABC,平面AACiCn平面ABC=AC,

BCLAC,

所以BC_L平面44iGC.

又A4iu平面A41C1C,

所以BC±A4i.

因为N44C=90。，所以A4」4C.

又因为BCHAiC=C,

所以A4i_L平面4BC.又ABu平面AiBC,

所以A41L41B.

(2)解由(1)可知4Al.平面4BC,4Au平面A1AB81,

所以平面平面AiABB,且交线为43,

所以点C到平面的距离等于△C4B的48边上的高，设其为h.

在Rt^A4C中，A\A=2,ZAiAC=60°,则AiC=2小.

由(1)得8CL4C,

所以在Rt^ACB中，BC=3,AiB=p,

BCA\C6-J36^7

48一5-7-

故点C到平面4A881的距离为耳］

考点三平行、垂直关系的综合应用

例3如图，在四棱锥P—A8CO中，底面ABC。为矩形，

平面PAO_L平面ABC。，PA±PD,PA=PD,E,F分别

为AO,PB的中点.求证：

(I)PEIBC；

(2)平面平面PCD；

(3)£下〃平面PCD.

证明(1)因为PA=PO,E为的中点，

所以PELAD.

因为底面A3CQ为矩形，所以3C〃A。，

所以PEA.BC.

(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABLAD

又因为平面PADJ.平面ABCD,平面PAOC平面ABCD=AD,ABu平面

ABCD,

所以AB_L平面PAD.

又PDu平面PAD,所以AB_LPD

又因为PA_LPO,且PACAB=A,

所以平面PAB.又POu平面PCD,

所以平面PAB_L平面PCD.

(3)如图，取PC中点G,连接EG,DG.

因为RG分别为PB,PC的中点，

所以EG〃BC,FG=±BC.

因为ABC。为矩形，且E为A。的中点，

所以。石〃BC,DE=^BC,

所以DE〃FG,DE=FG,

所以四边形OEFG为平行四边形，

所以EF//DG.

又因为ERI平面PCD,OGu平面PC。，

所以EF〃平面PCD.

感悟提升三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂

直间的转化.求解时应注意垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一

般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进

一步转化为线线垂直.

训练3如图，在四棱锥产一A8C。中，底面A8C。是矩形，木、

点E在棱PC上(异于点P,O，平面ABE与棱交于点连、「

F.

AB

⑴求证：AB//EF-,

(2)若AFJ_EF,求证：平面PA。，平面A8CD

证明(1)因为四边形ABC。是矩形，所以AB〃CD

又ABC平面PDC,COu平面尸DC,

所以4?〃平面PDC.

又因为ABu平面ABE,平面A8EA平面「所，

所以

(2)因为四边形A3CO是矩形，所以ABLAD

因为(1)中已证AB〃EF,

所以ABLAF.XABLAD,

由点E在棱PC上(异于点。，所以点尸异于点。，

所以AF,AOu平面PAO,

所以AB_L平面PAD.

又ABu平面ABCD,

所以平面平面ABCD.

微点突破/几何法求空间角

一、几何法求线面角

求线面角的三个步骤：

一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射

影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求

解.K

例1如图，A3是。。的直径，PA垂直于。。所在的平面，C\一\^

是圆周上不同于A,8的一动点.

(1)证明：△P8C是直角三角形；

(2)若PA=A8=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为啦时，求直线

AB与平面PBC所成角的正弦值.

(1)证明••.AB是的直径，C是圆周上不同于A,8的一动点.

：.BC±AC.

•.•PA,平面ABC,：.PALBC.

XPAHAC=A,PA,ACu平面PAC,

.•.8C_L平面PAC,:UPC,

...△BPC是直角三角形.

(2)解如图，过A作A”,PC于H,

连接BH,\\

•.•8C_L平面PAC,

J.BCLAH.

又PCCBC=C,PC,BCu平面PBC,

.•.A”_L平面PBC,

：.NA3H是直线AB与平面PBC所成的角.

平面ABC,

：.ZPCA是直线PC与平面ABC所成的角,

PA

・「=

•tanNPCA=A.Cy/2,

又PA=2,：.AC=小,

PA-AC2^3

...在RtZXPAC中，AH=

y/PA2+AC23，

2s

二在R^ABH中,sinNA8"=翳=4"=坐

故直线AB与平面PBC所成角的正弦值为坐

二'几何法求二面角

作二面角的平面角的方法:

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点

作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面

和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

例2如图，在四棱锥「一ABC。中，四边形A8CD是边长为

2的正方形，△PBC为正三角形，M,N分别为PD,8c的

中点，PNLAB.

(1)求三棱锥P-AMN的体积;

(2)求二面角M-AN-D的正切值.

解(iy；PB=PC,：.PN1BC,

又,：PNLAB,ABQBC=B,

AB,BCu平面ABC。,

.'.PALL平面ABCD.

•:AB=BC=PB=PC=2,M为PO的中点，：.PN=yj3,

Vp—AMN=VD-AMN=VM-ADN,

/.VP-AMN=^VP-ADN=^VP-ABCD=^X^X4X布=孝.

(2)如图，取ON的中点区连接ME,

E分别为P。，ON的中点,

J.ME//PN.

PN1.平面ABCD,：.MEY平面ABCD.

过E作EQLAN,连接MQ,

又MELAN,EQCME=E,

.•.AN_L平面ME。，：.AN±MQ,

NMQE即为二面角M-AN-D的平面角,

・・tan/MQE=冕后

,:PN=小,：.ME=^-.

,:AN=DN=木,AD=2,

QE=^X2X22小

VT=5

tanZMQE=

即该二面角的正切值为中5

I分层训练•巩固提升

|A级基础巩固

1.（2021•北京丰台区二模）已知a,尸，y是三个不同的平面，a,Z?是两条不同的直

线，下列命题中正确的是（）

A.若a_Ly,£_!_/则a〃0

8.若〃_1仪，b.La9贝lja〃h

C.若a〃a,b//a,则a〃b

D.若a〃a,a〃B，则a〃4

答案B

解析A中，若aJ_y,4~Ly，a,夕可能相交也可能平行，错误；

B中，6?±a,h.La9根据线面垂直的性质可判断。〃儿正确；

C中，若〃〃%b//a,a,人的位置不定，错误；

D中，若。〃a,a〃B、a，£可能相交也可能平行，错误.

2.（2022・广州一模）已知a,夕是两个不同的平面，I,m,九是三条不同的直线，下

列条件中，可以得到/，a的是（）

A./±m,/JL〃,maa,〃ua

B./_L机,m//a

C.a±j3,/〃£

D.l//m,ml.a

答案D

解析对于A,/±m,IL?,mua,nua,贝!]/与a相交、平行或/ua,故A

错误；

对于B,l-Lm,m//a,则/与a相交、平行或/ua,故B错误；

对于C,a邛,l///i,则/与a相交、平行或/ua,故C错误；

对于D,I//m,mLa,贝！I/_La,故D正确.

3.在正方体ABC。一AIBGQI中，E,尸分别为AB,BC的中点，则EF与平面

A8CO所成角的正切值为（）

A.2B.啦C.1D.乎

答案D

解析如图，取8c的中点。，连接OE,OF,

OF是3c的中点,

OF//B\B,

.•.尸01.平面ABCD,

：.ZFEO是EF与平面A3CD所成的角.

设正方体的棱长为2,则/。=1,EO=巾,

...EF与平面A8CO所成的角的正切值为为

4.如图，在斜三棱柱ABC-A\B\C\中，ZBAC=90°,

BC\LAC,则Ci在底面ABC上的射影“必在（）

A.直线AB上B.直线8C上

C.直线AC上D.4ABC内部

答案A

解析由AC_LA8,AC±BC\,

得AC，平面ABC\.

因为ACu平面ABC,

所以平面ABCi_L平面ABC,

所以Ci在平面ABC上的射影“必在两平面的交线AB上.

5.（多选）（2021•南京二模）在正方体ABCD—4向CDi中,设M为BC的中点，则

下列说法不正确的是（）

\A\MLBD

B.A1M〃平面CC\D\D

CA\MA_AB\

D.4M_L平面ABC1O1

答案ABD

解析如图，在正方体ABCO—AiBiG"中，口______c,

对于A,假设AxMLBD,因为AiA,平面ABCD,所以人律'、％

A\AA.BD,又AiAA4M=4,所以8。_1_平面A\AM,所以，微

而8DLAC,所以AM〃AC,显然不正确，故A不正忆］

AB

确；

对于B,假设4M〃平面CCIDID,因为平面AiMCDiC平面CC\D\D=CD\,

4MQ平面CGOi。，所以4M〃COi.因为Ai3〃CDi,所以显然不正

确，故B不正确；

对于C,因为M3,平面所以M3_LAB.又

所以A3_L平面AiBM,所以A1ML431,故C正确；

对于D,假设平面ABC。，因为4DLAD1,AxDVAB,且A3nAOi=

A,所以40,平面ABGOi,所以4M〃AiO,显然不成立，故D不正确.

6.（多选）（2021・广州调研）如图，在长方体ABCO-AiBGOi中，

A4i=AB=4,BC=2,M,N分别为棱C\D\,CCi的中点，则D

（）

A.A,M,N,8四点共面

B.平面ADM,平面CO。。B

C.直线BN与B\M所成的角为60°

D.BN〃平面ADM

答案BC

解析如图所示，对于A中，直线AM,BN是异面直线，故A,夕_Di

M,N,B四点不共面，故A错误；B

对于B中，在长方体ABCD-A\B\C\D\中，可得AO_L平面：/'\

a一/D

CDD\C\,所以平面平面CDDCi,故B正确；//V

对于C中，取CO的中点。，连接30,ON,则所以B-C

直线BN与所成的角为NN30.易知三角形30N为等边三角形，所以NNB0

=60°,故C正确；

对于D中，因为BN〃平面M㈤㈤，显然BN与平面AOM不平行，故D错误.

7.已知平面a,B和直线m,给出以下条件：(1)旭〃a；(2)/w_La；(3)〃?ua；

(4)a_L4；(5)a〃4，当条件成立时，有m〃卜,当条件成立

时，有〃2,以填所选条件的序号)

答案(3)(5)(2)(5)

解析根据面面平行的特征可得，若"?ua,a〃£,贝!!"2〃夕；

根据线面垂直以及面面平行的特征可得，

若"z_La,a〃夕，则〃?_1_夕.

8.如图，三棱柱ABC-AiBiCi的底面是边长为2小的正三角形，A4i=3,

AAilAC,D为AiCi的中点，BD=34,则二面角Ai-AC-B的正切值为

答案一小

解析取AC的中点E,连接ED,EB.

•.•。为4G的中点,

△ABC是边长为2小的正三角形,

：.DE=AAi=3,BE=3,DELAC,BE1AC,

:./BED为二面角A\-AC-B的平面角.

在△BED中，DE=3,BE=3,BD=3小,

・・・由余弦定理得

32+32-（3小）21

cosNBED

2X3X32'

：.ZBED=120°,：.tanZBED=-y[3.

9.如图，在直三棱柱ABC—4BCi中，侧棱长为2,AC=BC=l,

ZACB=90°,。是的中点，尸是38上的动点，ABltDF交

于点E，要使AB，平面GOF,则线段8F的长为.

答案|

解析设B\F=x,

因为ABJ_平面C\DF,OFu平面C\DF,

所以ABLOF.

由已知可得AiBi=也，

设Rt^AAiBi斜边上的高为/?,

则DE=^h.

所以。=*，DE=g

由ABm的面积相等得我/乂噂"(当=9冬,得尤毛

10.如图，平面A3C。，平面ABE,且四边形A3C0为正方形,

AE=2AB=2,ZBAE=60°,/为AC的中点.

(1)求证：AC_L平面8EB

(2)求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值.

⑴证明因为AE=2AB=2,ZBAE=60°,

由余弦定理得

BE=\IAB2+AE2~2AB-AE-COS60°=小,

所以AB2+BE1=AE1,所以BELAB.

由于平面ABC。_L平面ABE,且两个平面相交于AB,

所以BEA.平面ABCD,所以BELAC.

又因为AC_LBEBECBF=B,BE,BFu平面BEF,

所以AC_L平面BEF.

s

(2)解根据VD-ACE=VE-ACD,S^CD=\,AC=啦，EA=EC=2,

贝US“CE=21

因为VD-ACE=VE-ACD,设。到平面ACE的距离为人,

则1•SAACE-ZI=^S^ACDBE,

解得人=呼.

设直线AD与平面ACE所成的角为仇

贝Isin8=磊=^^.

ZljLx/

所以直线AO与平面ACE所成的角的正弦值为早.

11.如图，在四棱锥P—A8C。中，底面A8CD为四边形，△ABO

是边长为2的正三角形，BC±CD,BC=CD,PD±AB,平面

平面ABCD.

(1)求证：平面ABC。；

(2)若二面角C-PB-D的平面角的余弦值为平，求PD的长.

(1)证明如图所示，E为BO的中点，连接AE,/XAB。是正三

角形，则AE_LBD

•.•平面尸8。,平面ABCO,平面PBDA平面ABCD=BO,AEu

平面ABCD,

故AE_L平面PBD.

•.•。。(=平面;^。，故AELPO.

'：PDLAB,AEHAB=A,AE,ABu平面ABC。，

故P。，平面ABCD.

(2)解如图所示，过点E作EFLPB于点F,连接CE

'：BCLCD,BC=CD,E为8。的中点，故ECL3。，

故EC，平面PB。，：.CELPB.

又EF上PB，；.PB_L平面CEF,

：.CFLPB,

故NE/C为二面角C-PB-D的平面角.

•；cosNEFC=幸,

o

故tan/EFC=事,又EC=I,故坐,

EF、后1

sinZPB£>=7^=27-,tanZPBD=^,

zsoJ2

嚼0,则PD=L

|色级能力提升

12.（多选）（2021.新高考II卷）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的

中点，M,N为正方体的顶点，则满足MNLOP的是（）

CD

答案BC

解析设正方体的棱长为2.

对于A,如图（1）所示，连接AC,贝I」MN〃AC,故NPOC（或其补角）为异面直线

OP,MN所成的角.在直角三角形OPC中，。。=啦，CP=\,故tanZPOC=

J__啦

故MNL0p不成立，故A错误;

"2，

SN

M

J

AB

图(1)

对于B,如图(2)所示，取MT的中点为。，连接PQ,0Q,则0Q上MN,

PQ1MN,所以MN_L平面OPQ,又OPu平面OPQ,故MNLOP,故B正确;

图⑵

对于C,如图(3),连接BD,则BD//MN,由B的判断可得故

OP1MN,故C正确;

图⑶

对于D,如图(4),取AO的中点。，的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,

OK,则AC〃MN.因为。P=PC,故尸。〃AC,故PQ〃MN,所以NQPO(或其补

角)为异面直线PO,MN所成的角.

图⑷

因为正方体的棱长为2,故PQ=^AC=y/2,OQ=yjAO2+AQ2=-\/l+2=V3,

/0=、/烂+0心=、4+1=小,QO^PQ1+OP2,故NQPO不是直角，故

PO,MN不垂直，故D错误.

13.（多选）（2022•海南模拟）棱长为1的正方体ABC。-451Goi中，E,F,G分别

是AB,BC,BICI的中点.下列说法正确的是（）

A.P点在直线3G上运动时，三棱锥A—U