2023学年人教版高一数学下学期期中期末必考题精准练06 简单几何体的表面积与体积(含详解)

必考点06简单几何体的表面积与体积

经典必考题

题型一空间几何体的结构特征

例题1给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥：

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.I

C.2D.3

例题2下列命题正确的是（）$

A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台/T

B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面

S'

所围成的旋转体是圆台

D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

【解题技巧提炼】

辨别空间几何体的2种方法

紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系

定义法

或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定

通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即

反例法

可

题型二空间几何体的表面积

例题1在梯形ABCC中，ZABC=^,AD//BC,8c=2AO=2AB=2.将梯形ABC。绕AO所

在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）

A.（5+也）兀B.（4+啦）兀

C.（5+2吸）兀D.（3+啦）兀

例题2如图，在三棱柱ABC-A\B\C\中，底面ABC,ABA.BC,44产

AC=2,直线4c与侧面所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为

（）A.4+46B.4+4小

C.12D.8+4也

【解题技巧提炼】

求解几何体表面积的类型及求法

求多面体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面

的表面积体的表面积

求旋转体可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清

的表面积它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系

求不规则

通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、

几何体的

锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积

表面积时

题型三空间几何体的体积

例题1已知正三棱柱ABC-A\B\C\的各棱长均为2,点D在棱上，则三棱锥。-的

体积为________

例题2(1)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模

型为长方体挖去四棱锥0-EFG/7后所得的几何体.其中。为

长方体的中心，E,F,G,，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A4=4

cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cn?,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料

的质量为________g.

(2)如图，在多面体ABCQEF中，已知四边形ABC。是边长为1的正方

形，且△ADE,ABCF均为正三角形，EF//AB,EF=2,则该多面体

例题3如图所示，已知三棱柱ABC-A\BxC\的所有棱长均为1,且A4

，底面ABC,则三棱锥B\-ABC｛的体积为()

【解题技巧提炼】

求空间几何体的体积的常用方法

公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解

把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体

割补法

补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积

一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高

等体积较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变

法形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体

的体积，特别是三棱锥的体积

题型四空间几何体的体积

例题1已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为2

的正三角形，E,尸分别是以，AB的中点，NCE尸=90。，则球。的体积为（）

A.8&兀B.4#n

C.2#nD.y［f>Tt

例题2（1）如图，在圆柱0。2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底

面及母线均相切.记圆柱0。2的体积为V1,球。的体积为丫2,则称

的值是.

（2）已知正三棱锥的高为1,底面边长为2小，内有一个球与四个面都

相切，则棱锥的内切球的半径为.

【解题技巧提炼】

［规律探求］

考向（一）是几何体的外接球

一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住

外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

看个性考向（二）是几何体的内切球

求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面

体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内

切球的半径

解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何可题转化为平面几

何问题求解，其解题的思维流程是：

百如果是内切球'球心到切点的距离相等且为半役；

三空尸如不生”接的岁:心河巷走旧距离相等巴或土色一

找共性,'1］选准最隹角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包含

作截面上T球,几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），

।:遴2匆曰比丝学中竺如艮”

求半径、」根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方

下结论口程，并求解

对点变式练

题型一平面向量的有关概念

1.（多选）给出下列命题，其中真命题是（）

A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

B.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直

C.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

D.存在每个面都是直角三角形的四面体

2.（一题两空）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印/B,

信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的I\/\\

印信形状是“半正多面体”（图①）.半正多面体是由两种或两种以上的正［速二二以

多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱.B

数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.

则该半正多面体共有个面，其棱长为.

①②题型二向量的线性运算

1.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm,母线长最短50cm,最长80

cm,则斜截圆柱的侧面面积5=cm”.

7

已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为《，SA与圆

O

锥底面所成角为45。，若aSAB的面积为5行，则该圆锥的侧面积为

题型三向量共线定理及应用

B

1.如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长为2小cm,侧面积为8^3cm2,则它的体积为

cm3.

2.如图，已知体积为V的三棱柱ABC-481G，P是棱B由上除以，B以

外的任意一点，则四棱锥P-A4GC的体积为."冒%

题型四与球有关的切、接问题

1.如图，在矩形ABCD中，EF//AD,GH//BC,BC=2,AF=FG=BG

=1.现分别沿EF,G”将矩形折叠使得AZT与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面

积为（）

A.24兀B.6兀

「16

D/J兀

2.在四棱锥P-A8CQ中，底面ABCD是边长为2。的正方形，POJ_底面A8CD,且PO=

2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为.

变式综合练

1.已知圆锥的表面积为。，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥2af--/Y

的底面直径是（）D（C）2aA（B）

a

A.B.

2

D.

2.己知四棱锥尸-A3CO中，底面ABC。为边长为4的正方形，侧面R43_L底面ABCD,

且△P45为等边三角形，则该四棱锥尸-ABCD外接球的表面积为（）

3.五脊殿是宋代传统建筑中的一种屋顶形式，如图所示.其屋顶上有一条正脊和四条垂脊,

可近似看作一个底面为矩形的五面体.若某一五脊殿屋顶的正脊长4米，底面矩形的长为6

米，宽为4米，正脊到底面矩形的距离为2米，则该五脊殿屋顶的体积的估计值为

正脊

垂脊

3264

B.—C.32

T3

D.64

4.已知如左图棱长为。的正方体,沿阴影面将它切割成两块，拼成如右图所示的几何体,

那么拼成的几何体的全面积为（)

2+2正”

C.(8+2旬/

D.(9+2a)/

5.在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四

棱锥为阳马，底面ABC。是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3,则该阳马的

表面积为（）

A.10+2713B.10+2退

C.6+2屈D.6+2后

6.在三棱锥P-ABC中，AABC是等腰直角三角形，A3=BC=2,PC=AC,且P。_1_平

面A8C,则三棱锥的外接球的表面积为（）

..,c432

A.164B.8"C.—D.—7C

33

7.如图，在四棱锥Q-EFGH中，底面是边长为2夜的正方形，QE=QF=QG=QH=4,

M为GG的中点.过EM作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为

匕，匕，则苓•的最小值为（）

V2

o

C.一D.

345

8.如图，在直角梯形ABC。中，AB\\DC,AD1DC,且AB=A。=gc。=1.以A£）所

在直线为旋转轴，将梯形ABCD旋转一周围成的几何体体积为（）

二、多选题

9.六氟化硫，化学式为SR,在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良

好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体

每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何

体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体E-ABCD-F

的6个顶点.若相邻两个氨原子间的距离为a（不计氟原子的大小），则（）

A.直线AE与AC为异面直线B.平面ADE//平面

BCF

C.平面4）E_L平面3CED.八面体外接球表面积为2乃M

10.在三棱锥P—A3C中，AB=AC=BC=3y/3,PA=PB=PC=5,D,E,F分别为

AB,AC,2C的中点，则以下结论正确的是（）

p

A.平面PCfEl平面ABCB.平面网南平面ABC

A

c

C.AB〃平面PFED.三棱锥P-4BC的外接球表面积为2兀

三、填空题

11.在地球北纬60圈上有A、B两点，它们的经度相差180，A、8两地沿纬线圈的弧长

与A、8两点的球面距离之比为

7T

12.如图，在三棱锥P-ABC中，平面A8C,ZABC=-,AP=AB=3,BC=6,

则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.

13.已知正四棱锥O-4BCD的体积为土2,底面边长为g,则以。为球心，04为半径

2

的球的体积为.

四、解答题

14.如图所示，正方体A8C3-ABGR的棱长为。，过顶点8、。、A截下一个三棱锥.

⑴求剩余部分的体积;

(2)求三棱锥A-AB。的高.

必考点06简单几何体的表面积与体积

经典必考题

题型一空间几何体的结构特征

例题1给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥：

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.I

C.2D.3

【答案】As

【解析】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，/|\

当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不

是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的\］/

S'

上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是

侧棱长不一定相等.

例题2下列命题正确的是（）

A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

是圆台

D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形N——、

［答案］cU,

【解析】如图所示，可排除A、B选项.对于D选项只有截面与圆柱的41W

母线平行或垂直，截得的截面才为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的7——A

一部分，故选c.

【解题技巧提炼】

辨别空间几何体的2种方法

一"紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系

定义法

'或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定

反例法通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即

可

题型二空间几何体的表面积

TT

例题1在梯形A8CD中，NABC=E，AD//BC,2c=2AO=2A8=2.将梯形A8CD绕AO所

在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）C

A.（5+6）兀B.（4+/）兀

2

C.（5+2啦加D.（3+也）兀

【答案】AB

【解析】：在梯形488中，NABC岩，AD//BC,BC=2AD=2AB=2,二将梯形4BCO

绕AO所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB=I,高为

3C=2的圆柱挖去一个底面半径为45=1,高为5C-A£>=2—1=1的圆锥，...该几何体的

表面积5=nXl2+2nX1X2+nX1兀故选A.

例题2如图，在三棱柱ABC-A\B\C\中，44」底面ABC,ABLBC,AA^AC=2,直线

4c与侧面AABjB所成的角为30。，则该三棱柱的侧面积为（）为其〒7

A.4+4^2B.4+4小'*、

C.12D.8+4淄4&――二

【答案】AB

【解析】连接48.因为AA|J_底面ABC,则AAi±BC,又ABLBC,AA,C\AB=A,所以

8cl•平面AA^BiB,所以直线AC与侧面A488所成的角为NCA|8=30°.又A4,=AC=2,

所以AC=2姬，BC=@.又ABLBC,MAB=y[2,则该三棱柱的侧面积为2啦X2+2X2

=4+4近.

【解题技巧提炼】

求解几何体表面积的类型及求法

求多面体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面

的表面积体的表面积

求旋转体可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清

的表面积它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系

求不规则

通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、

几何体的

锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积

表面积时

题型三空间几何体的体积

例题1已知正三棱柱ABC-AyB\C\的各楼长均为2,点。在棱A4上，则三棱锥D-BBC的

体积为

［【答案】平

［【解析】如图，取BC中点0,连接40」.•正三棱柱ABC-A\B\C\的各棱长均

为2,：.AC=2,0C=\,则A0=小.4|/1\

；A4i〃平面BCGBi,...点。到平面BCGBi的距离为小.D［/''

11「0小

又X2X2=2X2X=

SA«B1CI=2>•*-VD-BB,CI=3-\P3'

例题2(1)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体

ABC£>-48iGG挖去四棱锥0-EFGH后所得的几何体.其中。为长方体的中心，E,F,G,

3

H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA}=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm,

不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_______g.

(2)如图，在多面体ABCDE尸中，已知四边形A8CD是边长为1的正方=.

形，且△AQE,△BCP均为正三角形，EF//AB,EF=2,则该多面体\\7

J2\方…力。

【答案】(1)118.8(2)华的体积为________.I/Z

【解析】(1)由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对南线长分别为6cm和4cm,

故XrX4X6X3=12(cm3).

D乙EGHF

又入方体=6X6X4=144(cn?),\'7-\%

所以模型的体积为/,

,AB

V长方体—V花去的四棱钵=144—12=132(cnr),

所以制作该模型所需原料的质量为132X0.9=118.8(g).

(2)如图，分别过点4,8作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,BF,易求得

1\/21

EG=HF=1AG=GD=BH=HC=\,则△B/ZC中BC边的高/?="V".SAAGO=SABHC=5

X乎XI=(,VVE.ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGO-BHC=；X(X3X2+

例题3如图所示，已知三棱柱ABC-ABCi的所有棱长均为1,且44

，底面ABC,则三棱锥B\-ABC\的体积为(

阴

【答案】A

【解析】知三棱锥B\-ABC\的体积等于三棱锥A-B\BC\的体积，又三棱锥A-818cl的高为

坐，底面积为故其体积为:、:又当=鑫.

乙LJL1A

【解题技巧提炼】

求空间几何体的体积的常用方法

公式法I对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解

一把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体

割补法

补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积

一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高

等体积较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变

法形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体

的体积，特别是三棱锥的体积

题型四空间几何体的体积

例题1已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为2

的正三角形，E,尸分别是孙，AB的中点，NCEF=90°,则球。的体积为()

A.8#nB.4y[6n

C.2观兀D.y/6n

【答案】Dp

【解析】法一：;E,F分别是以，A3的中点，.PB.

VZCEF=90°,：.EF±EC,：.PB±EC,/於名\\

又...三棱锥P-ABC为正三棱锥，：.PB±AC,从而PBJ•平面B4C,

三条侧棱胆，PB,PC两两垂直.

•:△ABC是边长为2的正三角形，：.PA^PB=PC=y[2,

则球。是棱长为表的正方体的外接球，设球。的半径为R,

则2/?=小义隹R=坐，.•.球0的体积丫=飙3=晒故选D.法二：令PA=PB=PC=

._+A,x^—4

2x(x>0),则EF=x,连接FC,由题意可得尸在△%C中，cosNAPC=2x4)

2X2-1

•I

在△PEC中，EC2=PC2+PE2-2PC-PEcosZEPC=4jr4-x2-2X2xx-2/=f+2,独X

PEC中，,.•NCEF=90°,：.FC2=EF2+EC2,即『+2+/=3,；.x=拳，,\PA=PB^PC

=2x=y/2.

'：AB=BC=CA=2,；.三棱锥P-A8C的三个侧面为等腰直角三角形，：.PA,PB,尸C两两

垂直，故球。是棱长为正的正方体的外接球，设球。的半径为R,则2R=小X嫄，R=

坐，，球0的体积丫=］兀兀故选D.

例题2(1)如图，在圆柱0］。2内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆

柱0|。2的体积为％,球。的体积为L，则空的值是________.

V2

(2)已知正三棱锥的高为1,底面边长为2小，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切

球的半径为.

【答案】(1)|(2h/2-l

【解析】(1)设圆柱内切球的半径为R,

则由题设可得圆柱。|。2的底面圆的半径为R,高为2R,

Vi7t/?22/?3

故.

(2)如图，过点P作POd•平面ABC于点。，连接A£)并延长交BC于R

点区连接明

•..△ABC是正三角形，

；.AE是8c边上的高和中线，。为△ABC的中心.B

;AB=2事,；.SAABC=34，DE=\,PE=@

；.S*=3X；X2小义表+3小=3#+3小.

"：PD=\,二三棱锥的体积V=|X3V3X1=A/3.

设球的半径为r,以球心。为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥,

则一云焉

【解题技巧提炼】［规律探求］

考向（一）是几何体的外接球

一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住

外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

看个性考向（二）是几何体的内切球

求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面

体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内

切球的半径

解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几

何问题求解，其解题的思维流程是：

如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半往；：

三丝L如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半役：

找共性A__________....…..—………、

（7，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包含，

作截面球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），：

1JH

n;达到空间问题平面化的目的

,

求半径、」根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方;

下结论：程，并求解：

对点变式练I题型一平面向量的有关概念

1.（多选）给出下列命题，其中真命题是（）

A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

B.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直

C.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

D.存在每个面都是直角三角形的四面体

【答案】BCD

【解析】A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形,

但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构

成的三个二面角都是直二面角：C正确，因为两个过相对侧棱的极面的

交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCD-AyB\CyD\中的三棱锥

Q-ABC,四个面都是直角三角形.

2.（一题两空）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方

体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图

①）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的

对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，

且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.

①②【答案】26^2-1

【解析】先求面数有如下两种方法.

法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8

个面，下部分有9个面，共有2X9+8=26(个)面.

法二：一般地，对于凸多面体

顶点数(V)+面数(F)一棱数(幻=2.(欧拉公式)

由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.

故由V+F­E=2,得面数F=2+E-M=2+48—24=26.再求棱长.作中间部分的横截面,

由题意知该极面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCOEFG"，如图，设其边

长为x,则正八边形的边长即为棱长.

cD连接AF,过H,G分别作GN±AF,垂足分别为M,N,则AM

=MH=NG=NF=^x.又AM+MN+NF=1,当'x+x+乎x=1.

Ax=y/2-l,即半正多面体的棱长为表一I.

题型二向量的线性运算

1.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm,母线长最短50cm,最长80

【解析】将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形.由题

意得所求侧面展开图的面积S=TX(50+80)X(兀X40)=2600n(cm2).

7

2.已知圆锥的顶点为S,母线SA,加所成角的余弦值为(，SA与圆锥底面所成角为45。,

O

若aSAB的面积为5仃，则该圆锥的侧面积为.

【答案】406兀

［解析】如图，丁SA与底面成45°角，

△S4O为等腰直角三角形.

设。4=乙则SO=r,SA=SB=p『.

在△S4B中，cos/ASB=（,

o

；.sinNASB=耍，.•.SAM8=|sA68sinNA58=：X（啦zfx华=5仃，解得r=2®,

:.SA=g=44,即母线长/=4小，

；•S附"《尸”/=兀X2EX44=4即兀

题型三向量共线定理及应用

1.如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长为2小cm,侧面积为8小cn?,则它的体积为

cm3.

【答案】4

【解析】记正四棱锥尸-ABC。的底面中心为点。，棱A8的中点为4,连

接PO,HO,PH,则P0,平面ABCD,因为正四棱锥的侧面积为8小

cm2,所以8小=4X^X2小XP”，解得PH=2,在RtZ\P”O中，HO=/北京

AHB

y/3,所以PO—1,所以Vp-ABCD=ySiABCD-PO=4cm\

2.如图，已知体积为V的三棱柱ABC-AIBCI，P是棱3|B上除81,3以

外的任意一点，则四棱锥P-AACC的体积为.

【答案道

【解析】如图，把三棱柱ABC-AIBIG补成平行六面体B

AQiBCi-ADBC.设P到平面A4CC的距离为h,则Vp-AA।C\C=15/L41CiCh=|

题型四与球有关的切、接问题

1.如图，在矩形A8CD中，EF//AD,GH//BC,BC=2,4/=/6=86=1.现分别沿£：尸,

G”将矩形折叠使得4。与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（）

A.24兀B.6兀

噌〃1兀6

【答案】c

【解析】由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外

接圆的半径为|><Y12一@）2=坐因为三棱柱的高为BC=2,所以其外接球的球心与底面

外接圆圆心的距离为1,则三棱柱外接球的半径为伴++12=¥，所以三棱柱外

接球的表面积5=4兀/?2=学.故选C.

2.在四棱锥尸-ABC。中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PDJ_底面ABCD,且PD=

2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为.

【答案】（2一啦）“

【解析】由题意知，当球与四棱锥各面均相切，即内切于四棱锥时球的

半径最大.作出其侧视图，如图所示.易知球的半径r=（2—m）a.

变式综合练

1.已知圆锥的表面积为。，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是

（）

A.qB.酗

234

r21371a2>[3a

3434

【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为人母线长为/,

由题意知2口=兀/,0/=2r,

则圆锥的表面积5衣=万/+J乃（2r『=a,

团/=q_,回2r=冬叵&,故选：C.

3n3兀

2.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABQ）为边长为4的正方形，侧面PA6_L底面ABC。,

且△%口为等边三角形，则该四棱锥P-A38外接球的表面积为（）

112zr64%

B.------C.647rD.161

3

【答案】A

【解析】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，取侧面△PA8和底面正方形ABC。的外接圆

的圆心分别为《，。2，分别过。1,。2作两个平面的垂线交于点。，

则由外接球的性质知I,点。即为该球的球心,

取线段A3的中点E,连QE,02E,O2D,OD,则四边形。£00为矩形,

在等边△PAB中，可得PE=2百,则0或=3叵，即0。2=述.

1323

在正方形438中，因为AB=4,可得QO=20,

02

2222

在直角A。。?。中，0l^OD=OO；+O2D,upR=OO；+O2D=—,

所以四棱锥P-ABCD外接球的表面积为S=MR?=等.故选：A.

屋顶上有一条正脊和四条垂脊，可近似看作一个底面为矩形的五面体.若某一五脊殿屋顶的

正脊长4米，底面矩形的长为6米，宽为4米，正脊到底面矩形的距离为2米，则该五脊

【解析】如图所示，将屋顶分割为一个三棱柱和两个相同的四棱锥，

三棱柱的底面是底边长为4,高为2的等腰三角形，三棱柱的高为4.

V=—x4x2x4+2x—x4xlx2=—.

233

故选：B

4

已知如左图棱长为“的正方体，沿阴影面

将它切割成两块，拼成如右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为()

C.(8+2&W

D.(9+20.

【答案】B【解析】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方

形面，

回截面为矩形，长为04，宽为“，回面积为上“2,

回拼成的几何体表面积为442+2应/=(4+2&)苏，故选：B.

5.在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四

棱锥为阳马，底面A8CQ是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3,则该阳马的

表面积为()

A.10+2如B.10+2退

C.6+2^13D.6+2逐

【答案】B

【解析】如图,

由题意知P8=BD=3,Afi=8C=CO=AT>=2,

PAL平面ABC。，

因为PA=j32-22=/，

所以5=254从/)+254/1就+5。回曲=2'；乂2遥+2、；、2、3+22=10+2石，故选：B

6.在三棱锥P—ABC中，AABC是等腰直角三角形，AB=BC=2,PC=AC,且PCJ•平

面ABC,则三棱锥的外接球的表面积为()

4D.当

A.161B.8万C.一71

33

【答案】A

【解析】因为AABC是等腰直角三角形，AB=BC=2,所以

ZABC=90",AC=A/22+22=2夜.

因为PCJ_平面A8C,ACu平面ABC,所以ACLPC,所以AP为球的直径，且

AP=4AC。+PC。=J(2夜］+(2夜产=4，所以三棱锥P-ABC的外接球的半径为2,所

以三棱锥的外接球的表面积为16万.故选:A.

7.如图，在四棱锥。-EFG”中，底面是边长为2a的正方形，QE=QF=QG=QH=4,

M为好的中点.过EM作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为

匕，匕，则J的最小值为(

)

Q

过。作平面EFG”的垂线，垂足为。，连EG,EM,设EM,QO的交点为A,在4Q”F中

过A作宜线3c交于8,C两点，由相交宜线确定平面，则四边形ECM8为过EM的

截面.由计算可得EG=4,,得AQEG为正三角形,。0=2力，所以A为AQEG的重心，设

一2—►1___1__

QB^xQH,QC=yQF,由向量运算可得==+，又

QB=xQH,QC^yQF,可得丽」画诙.反，所以说=［杂+；无，由三点共

xyDXJy

线，得;+；=1，即L'=3,易得E到平面Q”尸的距离为QE=2,M到平面。”尸的

3x3yxy

距离为1,因为邑0Bc=gQB.QCsinq=4覆，所以

K=%-8c+%-oBc=gs,2Bc<+2）=gQB.QCsin?=4石xy,

%EFCT/=JX（2&）x2、=屿,，得匕=%EFCH-乂=与6-4®7,

X_4-fixy4....rr4

心畀F匚而，由丁丁3,3丁