导数及其应用所在院系数学科学学院

导数的提出解决了数学中很多问题，同时为近代数学的研究和发展提供了，（小边际和弹性就是利用导数来研究经济的两个重要概念。在入学考试的过利用导数有关知识比如中值定理等进行证明已经成为了一个必考题。我就以上导数的应用进行探讨研究。，:导数，函数，数列，边际，弹DERIVATIVEANDITSThederivationofthederivativesolvedmanyproblemsinmathematics,andprovidedthenecessarypreparationfortheresearchanddevelopmentofmodernmathematics.Usingthederivativecanexplorethefunctionofthestate,forexample,todeterminethefunctionofthemonotoneandconcaveandconvex,thefunctionofthelimit,extremevalueandtheresearchfunctionmap.Canalsobeusedtosolvetheproblemsofthederivativeseries,suchas:thenumberofthelargest(small),thenumberofchangesinthenumberofseriesandproofofinequality.Derivativeshaveawiderangeofusesintheeconomy,themarginalandelasticistheuseofderivativestostudythetwoimportantconceptsoftheeconomy.:derivativefunctionsequencemarginal绪 导数的概 导数的定 导函 导数在函数的应 函数的凹凸 利用导数求极值和函数作 用导法则求函数极 和中值定 导数在解决数列问题中的应 导数在经济学中的应 经济学中常见的边际函 经济学中常见的弹性函 导数在入学考试中的应 结 参考文 致 绪重要的意义。在入学考试当中，导数的应用也很广泛。入学考试导数的导数的定定义:设函数yf(xx0xx0处取得增量x(点xx0y取得增量yf(x0xf(x;0如果y与x之比当x0f(xx处的导数[1]0f(xf(xlimy

f(x0x)f(x0df x0 df

xx0

xf(xx0f(xx0处可导。f(x)limf(x0hf(x0)和f(x0)x

f(x)f(x0x

xf(x在开区间(a,bf(x在整个f(x)y（y）[1]。x导数在函数的应函数的凹凸f(x在[ab上连续，若对x1x2(ab)f(x1x2)

f(x1f(x2fx1x2

f(x1)f(x2 f(x在[abf(x在[ab在(a,bf(xf(x在(a,bf(xf(x在[ab上是凹的[1]。证明：下面证(1从(a,bx1x2x1x2由lagrangef

)f(x1x2)

f()(x2x1

(x1x2

x f(x1x2)f(x)

f

)(x2x1

(x

x1x2 所以f(x1f(x2fx1x21f

)f(x1x2)]1[f(x1x2)f(x21[f()f

)]x2x1

2f(

)x2 其中21,又因为f(x) f(0）f(x1)f(x2)f(x1x2)2f(x1x2)

f(x1)f(x2 由定义，既得证。(2同理可证。1（形状特征图（1）（凸函数）图（2）（凹函数

fx为凸函数，则曲线上任意两点的连线所构成的弦y2（切线斜率特征

fx为凹函数，则曲线上任意两点的连线所构凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率随x增大而增大；凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率随x增大而减小；3（增量特征1y2x23x1y4x3，y40y2x23x1在其定义域2

x

2

xp(1x)2p1x

xp(1x)px(1x)

xp1xp，即证12

xp(1x)2f(xxpf(xpxp1f(xpp1)xp2f(x)xpx[0,1]上是的

)p

xp(1x)即2

1xp(1x)2p 3yarctanx解:y

1

1x2

x0y0x0y0yarctanx在(0是凸的yarctanx在(0yarctanxx0，我们称拐点处的二阶导数要么异号（由正变负或由负变正）f(x在(a,bx0f(x0)0x0左右两边，f(x)异号，由此不难求拐点的步骤：f(x)0，在(a,bxx0对(1x0f(x)x0x0为拐点，若同号，则x0不是拐点4f(x)2x5)3x2解：定义域为（,），f'(x)

x2(2x5)2333

10x3332 32

1)x

102xf''(x)

3xx33xx3x=0f(xf(xx1f(x)2x(,122(1201f+++-0+f-0++++f利用导数求极值和函数作函数可能会有多个极值但是如果存在最值一定只有一个最值。但是当5：作函数f(x)ex2的图形x可以取的数，f(x)f(x

f(x)(0f(x)2ex22f(x)0x0f(x)0x12

2，x22limf(x0f(xy0x0 2222(2,2f0__f-_0+f1凸凹用 法则求函数极 0以及 我们把这种情况称作以及型未定式。00 0 取0 00 0 取0 06：limx(arctanx

arctan 1 解原式lim lim1x2

1.

1 ”型：7：

limsecxtanx

sin

1sin 故原式lim

cos

cos

cos

cos. 00”型：8：求limxxx 原式limelnx“1

limexlnlimexlnx

1.x9：求x

exx 原式lim1e

eex x 的时候不妨通过求导来解决和中值定理f(x在含有n的某个开区间(ab内具有直到(n1阶xxxf(x)+f(x)(x-x)+(x-x)2+……+f(x)(x-x)n+R(x f(n1)

0Rn(x0

n

，这里xx[1]点的导数值为0。定理反映了函数在区间是否有稳定点这一性质。利用求导，在Matlab中，求函数导数的格式diffffxdifffxnfxnfxx3sinxex导数在解决数列问题中的应10：已知a的通项a8n2n3nN,求a f(x)8x2x3(x0)fx16x3x20x16时，f3

x16时，f(x)03

f(x在(016)3在(16x16f(x nnNf(n8n2n3f(575f(6)72f(n)max75，即an为a575例11：f(xRana1af(x)x的实数根是aan1

fanf(xf(x0,1ana,并判定an与an1因为ana,则当n1ana成立.(ii)当nk时ana。a因为fa

f(x是增的，所以ak1f(akf(af(a)aak1a

k则当nk1由（i）（ii）知当nNana

anan1的大小，即比较anf(ang(x)xf(x)g(x)1f(xg(x是增函数，所以当anag(an)g(ag(an)anf(an,所以anfan>0，故anakak1

fan1 1

2例12：若a tn t[,2],T是{a}前n项和证明

2n 2

tn

2,t证明构造函数f(t)=1tn1 [1,t

ntn1 12 tn

2 tn1 （i）1t1f(x2当1t2f(xf(t在1,1f(t在[122所以ft

f(2

f(2)12n2

12n

即an

12n2

12n n n1

1

1 1 22 22

...

...2n

2212n

2nn

n

1 1

2 21

2n2 n 1

n n1n122n1n1

2n1

n1 1

2n212nn

n2

2

T2n n2n

x

12x3x2...1

... （1）由(xk

...则f(x1x

1因为1x

...xn

1

(x

上式两端对x

1(n

12x

...nxn1

比较(1),(2)式中的通项可知道，只需对[1]x，再对x1

...

1x(n

2n

1

232x43x2

2

c2c2xc2x2...

2

.

导数在经济学中的y

处可导的前提下，我们称yy

f(x)在(x0

f(x0x)f(x0)

f(x0y

f(xx

f(xxx0设在xx0处x从x0改变一个单位时y的增量y的准确值为 0当改变量x1x0yyxx0dyf

x

f(x 这说明为在xx0x改变一个单位时y近似改变f(x0)个单位在具体yf(xxf(xf(x的边际函数。fx0f(x0xx0x改变一个单位，yf(x0个14：y2xyx2y2xln2x2y4ln2x2时，x改变一个单位（增加或者减少一个单位）y相应地改变4ln2个单位。经济学中常见的边际函假设某产品的产量为x（假设只取整数单位的产品），对总成本函数求导得到c(xx个单位时的总成本的变化率。它近似表示为每增加一个单位产品时所增加的成本量。平均成本c(x)的导数c(x) x

xx（假设只取整数单位的产品），R(xR(x的边际收益，它表示已经x个单位的产品，再增加一单位产品所获得的收益PPxPP(x)R(x)PxxP(xR(x)P(x)xP(x。L(XLX)

L

LXXLX)X0 X 润。它表示已经X个单位产品，每增加一个单位产品所获得的总利润的增L(XR(X与总成本C(XL(X)R(X)C(XLX)RXCXC(X RXCXLXC(X

RX)CX)LX)0其经济意义是如果已经达到生产的目多生产一个就会使得总的利润增加，相反当RX)CX)LX)0，其经济意15:X12

PX438X

，P412总收入RXPX12

RR

RX3

X318

X3

R(XR(XX

6

RX

2412 2412 38RR(8)R(3) 8经济学中常见的弹性函y

f(xxx0yf(x0xf(x0除以自变量的相对变化量x得y/y0f(x f(x0

x/xx0xx0x两点之间的平均变化率。我们常常称之为弹性。当x时，limy/y0称为f(x)在xx处的相对变化率，记 0x0x/0

xxf(xlimy/y0limyxyx

x0x/

x0x xf(xf(xxxf(x)的变化幅度的大小的影响换句话说就是f(x)x变化反应强烈程度或者灵敏度两点间的弹性是有性。用ElimX

dXP

P dPX

f(P)EP

dP

EPERdRP,ERdRQ dPR EREPEREX导数在入学考试中的应)f(00，证明在开区间-1,1内至少存在一点f(3证明：由于f(x)三阶可导，可考虑；又f(0)0，应在x0处f(x)

f(0)f(0)x

f(0)x2

f()x3（0x之间）x1x

f(0)

f(0)

f(1)其中

0f(1)

f(0)

f(0)

f(2)，

f

)f(

6

f(1)f(2)2f(xf(x在闭区间[1,2M和最小值mmf(1)f(2)2f

f(1)f2

)如果在中将x1和x1代入后，把1和2不加区分都写成，F(x)

f(x)1x2，试图连续使 2gxg(1)

定理可以证明本题。x2x

2g 2

f显然gx符合以上要求FxfxgxF1F1F01F00在区间1,0和0,1上分别对Fx使 定理则存在12(0,1)2F2

在区间[1,0],[02]上分别对F

定理，则存1[,0]，1

[0,2]使得F1 在[

上对

定理，则存在[1,2]，使得F又因为Fx

f()例16：设f(x)在a,b上具有连续的二阶导数，证明：在(a,b)内存在，使af(x)dxbafab1(ba)3f(

ba

ba2其中ab2 2 2 2 之间从a到b积分af(x)dxfab(ba)faba(xab)dx1af()(xab)22 2

2 a(xab)dx1(x