高考数学二轮专题大题优练12 导数极值点偏移问题(教师版)

导数极值点偏移问题导数极值点偏移问题大题优练12优选例题优选例题例1．已知函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求a的取值范围；（2）求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0有两个相异实根．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有两个零点时，实数a的取值范围为SKIPIF1<0．（2）不妨设SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要证：SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0只需证：SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立．综上所述，SKIPIF1<0成立．例2．已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个不同实根，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．（2）证明：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增．由题意不妨设SKIPIF1<0，欲证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．故只需证SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以只需证SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立即可，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立．

模拟优练模拟优练1．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数．（1）若函数SKIPIF1<0在定义域内有且只有一个极值点，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个不同的零点，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在定义域有且仅有一个极值点，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有且仅有一个变号零点，由二次函数的图象和性质知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，函数SKIPIF1<0至多有一个零点，不符合题意；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，故当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0无零点，不合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0仅有一个零点，不合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一个零点，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一个零点，所以SKIPIF1<0满足题意；不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0得证．2．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递减，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）若函数SKIPIF1<0有两个极值点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（I）由题可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递减，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内为增函数；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内为减函数，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）若函数SKIPIF1<0有两个极值点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有两根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减，得SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立；当SKIPIF1<0时，要证明SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0．3．已知函数SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0的极值；（2）若直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个不同交点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）极小值为SKIPIF1<0，无极大值；（2）证明见解析．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0变化情况如下SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0－0+SKIPIF1<0单调递减极小值单调递增∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有极小值为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0极小值为SKIPIF1<0，无极大值．（2）由SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，欲证：SKIPIF1<0，需证：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是单调递减函数，即证：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0单调递增，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0时，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得证．4．设函数SKIPIF1<0．（1）讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（2）当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个零点，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0