中考压轴题模型路径之“瓜豆原理”

笫笫2页共26页第第1至共26页十四、路径之〃瓜豆原理”一、圆弧型“瓜豆”题L1201g年序山）如图14—1—],抛物线了二；./一4与工轴交于4、B两点，户是以点C（0,3）为圆心，2为半径的网上的动点，Q是线段月的中点，连接OR则线段OQ的最大值是（）简析】（中位线模型〕；如图14-1-2,连接BP.BJCP,易得OQ=\bPx又HP的最大值为BC+CP=5+2=7,故0。的最大值为1选C：图14^1—2图14—1-3简析2c瓜豆原理）：点Q可看作点尸以定点同为位似中心，以;为位似比缩小而来,£r根相“瓜豆原理”，点Q的轨迹可看作点P的轨迹以定点A为位似中心，以）为位似比缩-W小而来；因为点尸的轨迹是0C,所以点。的轨迹也是i个圆，其圆心相当于点C以定点4为位似中心，以J为您似比缩小而来，其半径为0c半径的3常规证明如下；如图L4-1-3,连接AC并取其中点M,连接QM、PC、OM,易得31点,且故点Q在以点M为圆心，以[为半径的。M上运动，从而0Q的最大值为OM+QM=*+1=*选C.反思：方法一利用中位线模型进行线段的松化，属中点常见的处理就喀；方法二基于“瓜豆原理”判断目标点。所在的轨迹圆,属于“瓜豆原理”中的“中点结构—它是“位似佛构”的特例，“欣豆原理”在中考里不迂合书写过丑，可采取上述方法耒证明，相当于把目标点。所在的轨迹园加以常规证明.对本港而言，方法一最为简使，但方法二更为本质.更加通用.题2,（2019年桂体）如图H-2-h在矩形ABCD中，AB=y[i1AO=3,点尸是内。边上的一个动点，连接HP，作点A关于直线EP的对标点A,连接4仁设AC的中点为Q,当点P从点月出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为^.简析：点。可看作点儿以定点C为位似中心，以J为位似比缩小而来，根据“瓜豆原理”.点。的轨迹可看作点4的轨迹以定点C为位似中心，以T为位似比缩小而来，故点Q的路径长等于点4的路径长的右如图14一2—2,连接4从显然八/=止=小，故点4在以占为囤心，以镉为半径的上运动：当点P与点儿重合时,点4与点4重合；当点P9点D重合时.作点4关于HD的对称点”即为此时的点儿故点产的路径改为弧,一，……12。即第2镜it用一4r的长度,易得/$3。二的%则/胃BA=12O。，故弧44,的长度为I疗'=肃一'即点P的路径长为当g，因此点Q的路径长为空，国14-2-2图14-2—3图14—2—4]1常规证明如下：如图14-2-3,取水7的中点E,连接班L、EQ,易证EQ=^=~BA第第页共26页-^ABC,从而有C£〃AS：（3）方法一（瓜豆原理）：点E可山点P先绕定点B顺时针旋转50%再以定点BRT为位似中心，以^为位似比放大得到，基于“瓜豆原理”分析，点七的轨迹可由点.P的轨rJfRF迹（印线段AD）先绕定点9顺时针旋转50、再以定点占为位似中心,以品为位限比放大得到；如图14—19—6,将线段AD先绕定点B顺时针旋转50,再以定点B为位似中心,HE以能为位似比放大得到级段MV（即分别作等腰△8AM、等腰△/?/>"使其顶角/RDN=80n,线段M/V即为点E的运动轨迹：由（2）可知，直线MN经过点C,易得ZAMV=100°>90°（所以AM的长即为乂£的最小值,印力E的最小值为3;方法二（相对运动）：如图14—19一7,点E可由点尸先绕定点日顺时针旋转50。,再以定点后为位似中心，以普为位似比放大得到：反过来，将线段启七先绕定点3逆时针£1产BP旋转5F,再以定点日为位似中心，以器为位似比缩小得到Q人常规证明如下：以为底动作等腰△A8。，其中NAQ8=80。，易证△45斤"/\。3巴则煞=黑：设黑=上则月X=EQP,要使AE最小，只需使QP量小；显然/QA尸=10。°AR>90u,故QP的最小值即为QA的长，从而AE的最小但为HQA=^04=48=3.反思：本趣是,直线型人豆”中的“靛转相似结构”,（2）中方法一巧借对称性，引递辅助圆来导笛：方法二构造W淀转相似”绐构来导的，它还可以看作是相豺遇动流略联想的产物，印相当干将ZXECE经定点A反向放居并放缩至ABFP.（3）中方法一借助“瓜豆原理”寻我目株点石所在的轨逐线段：方法二利用相对■运动发喀进行构造转化.值得一提的是，无抡选择哪种方法，箍终都转化为点到线段上各点连线段的最小值问题,并且取不到垂线段状态，而是该点到轨迹鳗置装近端点的蹈离为最小值.总结铸话：通过以上各例可以看出.只有同时满足以下两点，方可使用“瓜豆原理'’来寻找轨迹：①存在一个定点先当旋转中心或住似中心等；②主动悬可以由从动点关于上述定点、经过一个确定的变换籽到，如位似变换,被转变接盛霰转位以变族等.以上两个条件缺一不可，所谓“无定点.嘉小豆”,一切都可围统“确脏性分析”去判断.从广义来看，还叮以涉及干档变换等,事集上，所谓“瓜豆原理”但仅用叟换视角来认正层的变换与轨迹（困用）变换之间的关浜性而已.一个图形如何运动，诚图形上的每个点必然也在作相同的运动：反过来，一个点如何运动，该点所在的轨迹（困抵）也，必然在作相同的运动.值得说明的花，"瓜立原理”不适合在解答题中直接使用（木得到公认），若是圆纸型轨迹,可逋过旋转相似等方法，括合圆的定义（即到定点的龙禹等于定箕的点的集合港圆）耒进行常娓说理；若是在统型轨迹，也可通过就转相似等方法，结备“央角定位法”来进行常规说理，所以，作为高手，既要一眼里穿结果，更要一口艮看透过程,也就是说，晚要理解“瓜豆取理”来到斯轨迹