【高三专题】高三高考数学复习学案：离心率（三）

高三数学微专离心率（三）与向量相关的离心率问题例1.已知椭圆，点，右焦点，椭圆上存在一点M，使得，且，则该椭圆的离心率为解：设，∵，.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的∴，即，∴，∴①.∵，又，∴与共线，∴②.由①②得③，把③代入椭圆得，∴，∴，∴，故，∴，∴椭圆的离心率.练习1.设是椭圆上一点,是其左,右顶点,,则离心率解:由题意知,∴,∵,∴,∴,又,∴,∴,∴,∴,∴.例2.已知、分别为双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上一点满足且,则双曲线的离心率为解析：

设,则,∴,∴,由余弦定理可得,练习2.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上一点，满足，点在线段上，且，若，则。解：由题意可知，在中，，所以，又，所以有，即，进而得出，又由椭圆定义可知，,解得所以.∵,∴,∴,∴.例3.双曲线的左、右焦点分别为,,过作一条直线与两条渐近线分别相交于,两点,若,,则双曲线的离心率为解:

如图所示,连接,又由,且为的中点,所以,因为,即,所以为线段的中点,又由于为的中点,所以,所以,所以,又由直线与是双曲线的两条渐近线,则,所以,则,所以双曲线的离心率为练习3.设是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点p，使（o为坐标原点）,且,则双曲线的离心率为解:取的中点，则由得，.在中，为的中位线，所以，所以.又由双曲线定义知，且，所以，解得，故应选D．例4.设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为。解：因为，，所以，，）所以,又，由双曲线的定义得，所以，在中，

，即，所以

，所以．练习4.已知椭圆的左、右焦点分别为,,过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点,直线与椭圆的另一个交点为,若,则椭圆的离心率为。解:如图,由题意,,,,∵,,∴,.∴,代入椭圆,,由,整理得:,解得,椭圆的离心率.例5.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在该曲线的右支上，且，，则双曲线的离心率为解：由已知及双曲线的定义可得，即，则，设双曲线的焦距为，由余弦定理可得，即，所以，故双曲线的离心率为.练习5.椭圆为椭圆的左、右焦点,为坐标原点,点为椭圆上一点,,且成等比数列,则椭圆的离心率为解析：

设,则.由椭圆的定义得,即.又∵成等比数列,∴,∴,∴,整理得,即.五.典型例题（教师讲解）1.一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为解：

由已知可得，根据椭圆定义可知

，双曲线定义知，即，即，那么

，所以

的最小值是.2.设,分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点,使,且,则双曲线的离心率为解:

由题可设,,,则由双曲线的定义得,又,∴在中,,∴.4.已知椭圆：的焦距为，左焦点为，若直线与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是解析：

，得，∴，设，∵，∴，∴,，∴，∴，∴，∴．5.已知双曲线的焦点为，点是双曲线上的一点，，，则该双曲线的离心率为解:由正弦定理可得：不妨设，，,结合双曲线的定义有：，，双曲线的离心率为：.6.设是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,若且,则双曲线的离心率为。解:由题意得,是直角三角形,由勾股定理得,即,∴,,且,解方程得.8.过双曲线的左焦点作斜率为1的直线交双曲线的渐近线于两点，若，则双曲线的离心率为解析：设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为，将直线的方程与渐近线方程联立可得交点坐标为，因为，所以有，即，所以离心率。9.已知双曲线的两个焦点分别为,,若为双曲线上一点,且,则双曲线的离心率的取值范围是解析：

由已知得,即,,因为,即,所以,又双曲线的离心率为,所以双曲线的离心率的取值范围是,选B.10.已知双曲线的左、右焦点分别是.过作直线交双曲线的右支于两点.若，且，则双曲线的离心率是解：连接，因为，，设，则，，，.由，得，则，即，即，解得.所以，.在中，，得，所以双曲线的离心率.10.设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为解：因为即，设，则，取中点，可知，，设在第一象限，则，所以，所以.11.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过右焦点作其渐近线的垂线,垂足为,交双曲线右支于点,若,且,则双曲线的离心率为解：依题可知,不妨设渐近线方程为,代入点到直线的距离公式得,从而,又由双曲线的定义可知,所以在中,由余弦定理得,化简得,即,所以离心率为.故选A.12.设,是双曲线:(,)的左,右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为解析：

双曲线:(,)的一条渐近线方程为,∴点到渐近线的距离,即,∴,,∵,∴,在三角形中,由余弦定理可得,∴,即,即,∴,故选:C.13.设双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于,两点,若,则的离心率为.解：∵直线过且斜率为,∴直线的方程为,与双曲线联立,消去,可得,设,,∴,,由,∴∴代入上式得,,消去并化简整理得,将代入化简,得。解得.14.如图,椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,;两点,且.若,且,则椭圆的离心率的取值范围为.解：

如图,连接,由,,得.由椭圆的定义,得,,进而,于是,解得,故.由勾股定理得,从而,两边除以,得若记,则上式变成.由,得,即,所以,即.14.已知为坐标原点,,分别是椭圆的左、右顶点,点在椭圆上且位于第一象限,点在轴上的投影为,且有(其中),的连线与轴交于点,与的交点恰为线段的中点,则椭圆的离心率为解析：

设,则,,由题意得的横坐标为,由,得,∴,∵,,∴直线的方程为,令,则,∴,∴直线的方程为,∵直线的方程为,∴点,∵恰为线段的中点,∴,整理可得,则.13.已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线分别交双曲线的左、右支于另一点，若，且，则双曲线的离心率为解：

因为，由双曲线的定义得，，解得，，又，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，可得，在中，由余弦定理得即，所以双曲线的离心率.14.已知双曲线的右焦点为,过的直线交双曲线的渐近线于两点,且与其中一条渐近线垂直,若,则该双曲线的离心率是()解析：

如图所示,设经过点的直线方程为,由于双曲线渐近线方程为,则,分别将直线方程与渐近线方程联立得,,,则有,化简得到,则双曲线离心率.15.设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则该双曲线的离心率为解析：曲线的渐近线为，焦点，则，因为，所以，所以，解得，又由，得，解得，所以.16.已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，点是双曲线在第一象限内的点，直线分别交双曲线的左、右支于另一点,若，且，则双曲线的离心率为解析：

由题意，，由双曲线的定义可得，，可得，，又，，得四边形为平行四边形，所以，又，可得，在中，由余弦定理得，则，即，得，所以双曲线的离心率.故选B.17.

如图，已知双曲线的左、右顶点分别为，，过点作圆的切线，切线为，切线与双曲线的左支交于点，直线的斜率为，直线的斜率为（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为解析：

设，由题意得，，，又和垂直，所以，即，所以，又，所以，所以离心率为.已知双曲线的右支