高三数学二轮复习-第五讲 主干考点 三角函数

第五讲第18页─共18页第五讲主干考点三角函数高考对三角函数的考查主要围绕三个方面：一是三角恒等变换，如切化弦、角的变换及边角转换等；二是三角函数的图象和性质，如两域（定义域、值域），四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性），三角函数的图象变换（平移、伸缩）等；三是利用正、余弦定理解三角形问题．其中的难点是：如何利用三角函数的图象及其性质解决求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题；如何利用三角恒等变换的技巧，解决角变换、函数名称转换等问题；利用正、余弦定理及其变形技巧进行优化选择，解决边角关系、面积、测量、航海、几何、物理以及与其他知识的交汇综合应用等问题．【考点思维脑图】【重要考点串讲】一、三角函数1．(1)三角函数的定义设是一个任意角，它的终边与单位同交于点，则，，．一般地，设角终边上任一点的坐标为，它与原点的距离为，则，，．三角函数值在各象限内的符号，即一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角三角函数的基本关系式平方关系：；商数关系：．(3)诱导公式公式一二三四五六角正弦余弦正切【记忆口诀】“奇变偶不变，符号看象限”．(即公式中的角可以表示为的形式，“奇、偶”是指的奇偶性；“符号”是指把角看作是锐角时原函数值的符号）2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(l)．(2)．(3)．（）3．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)．(2)，(3)．（且，）4．三角函数的几种常用化简途径(1)常值代换．常值可作特殊角的三角函数值来代换．特别是“1”的代换，如等．(2)项的分拆与角的配凑．如分拆项：；配凑角：，，，，等．特殊的角也看成已知角，如．(3)将次与升次，如，(4)化弦（切）法．利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数．经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”．(5)引入辅助角．．这里辅助角所在的象限由、的符号确定，值由确定，二、三角函数的图象和性质1．三角函数的图象和性质函数图象定义域且，值域单调性上递增，；上递减，上递增，；上递减，上递增，；最值（）时；（）时，（）时；（）时，无最值奇偶性奇偶奇对称性对称中心对称轴无对称轴最小正周期2．三角函数的两种常见变换(1)先平移后伸缩：(2)先伸缩后平移：．三、正弦定理和余弦定理1．正弦定理．(为△外接圆半径)【变式】①，，；②；③，，．④2．余弦定理；；．3．面积公式☆基本公式：（，，分别为BC，AC，AB边上的高）◆导出公式：（为△ABC外接圆的半径）．（为△ABC内切圆的半径）．（其中）．4．解三角形的四种类型及求解方法在△ABC中，(1)已知、和，由求，由正弦定理求、．(2)已知、和，由余弦定理求，由正弦定理求较短边所对的角，由求另一角．(3)已知、、，由余弦定理求、、．(4)已知、和，由正弦定理求，由求，由正弦或余弦定理求．【提醒】求时，要注意对解的情况进行讨论，讨论的根据：一是所求的正弦值是否小于等于l，当正弦值小于1时，还应判断各角之和与的关系；二是两边的大小关系．在解题中，注意三角形中其他条件的应用，①三角形内角和定理：，②任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．③在三角形中大边对大角，大角对大边．5．利用正、余弦定理解三角形应用题的基本思路及一般步骤（1）基本思路(2)一般步骤①分析：分清已知与未知，画出示意图．②建模：把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．③求解：利用正弦或余弦定理解出三角形，求得数学模型的解．④检验：检验所求的结果是否具有实际意义，从而得解．【方法技巧突破】必考点1三角函数式的化简求值【典例1】(2019年全国Ⅱ卷)已知，，则=A． B．C． D．【解析】由，得，即．因为，所以，所以，解得，故选B．【典例2】(2018全国卷Ⅱ)已知，，则__．【解析】∵，，∴①，②，①②两式相加可得，∴．【典例3】(2017北京)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则=_____．【解析】∵角与角的终边关于轴对称，所以，，所以，；．【典例4】(2016全国卷Ⅲ)若，则A．B．C．1D．．【解析】解法一由，，得，或，，所以，则，故选A．解法二．故选A．【典例5】已知，，则=A．B．C．D．【解析】由，得，①又，②联立①②，解得，或，所以或．当时，；当时，．综上，．故选C．【典例6】(2019年天津卷)在中，内角所对的边分别为．已知，．(1)求的值；(2)求的值．【解析】(1)在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．由余弦定理可得．(2)由(1)可得，从而，，故．【典例7】(2018浙江)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．(1)求的值；(2)若角满足，求的值．【解析】(1)由角的终边过点得，所以．(2)由角的终边过点得，由得．由得，所以或．【方法探究】三角函数式化简与求值的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式化成正、余弦．(2)和积转换法：利用的关系进行变形、转化．(3)巧用“l”的变换：．【技巧点拨】利用同角三角函数之间的平方关系求值时，需要注意角的取值范围的限制，从而确定三角函数值的符号．如本题中，因为，所以与有两组解，如果限制为第四象限角，则必有，三角函数的核心是“角”的问题——角的范围、角的变换、角的函数值等，如同函数问题一样，求解三角函数问题时要先考虑角的取值范围，从而限制角的三角函数值的符号，避免产生增根或漏根现象．必考点2有关三角函数图象及性质问题的求解【典例1】(2019年天津卷)已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则A． B． C． D．【解析】由为奇函数可得，又，所以，所以，由的最小正周期为，可得，故，．，所以，所以，故．故选C．【典例2】(2018江苏)已知函数的图象关于直线对称，则的值是．【解析】由函数的图象关于直线对称，得，因为，所以，则，．【方法探究】正弦函数、余弦函数的图象在对称轴处的函数值取得最大值或最小值．【典例3】(2017全国卷Ⅱ)函数QUOTE的最大值是．【解析】以题意，，由可得，当时，函数取得最大值1．【方法总结】三角函数的最值或值域的三种方法：(1)直接法：利用，的值域．(2)化一法：化为的形式，确定的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把或看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域问题．【典例4】(2016天津)已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是A．B．C．D．【解析】，当时，，时，，无零点，排除A,B；当时，，时，，有零点，排除C．故选D．【方法探究】对于客观题，我们可以小题小做，难题巧做，运用特值法、估算法、代入验证法、极限法、数形结合法等快速准确的解决某些数学问题．【典例5】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【解析】将的图象向有右移个单位长度后得到，即的图象，令，，解得（），故该函数在区间（）上单调递增，当时，选项B满足条件，故选B．【方法探究】三角函数单调区间的求法(1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的角的整体当作一个角（或），利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间，如本题的求法，注意：求解三角函数的单调区间时，若的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是，从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．【技巧点拨】该类问题只要把三角函数单调区间的通解求出（使用表达），再根据选项中的区间，令通解中的为某个具体的数值即可确定；也可以根据选项中的区间计算的范围，根据函数或的单调区间求解，【误区警示】在对图象进行平移或伸缩变换时都是针对本身而言的，平移只是在本身加上（或减去）某个值，伸缩只是给本身乘以某个值，与其他量无关．【典例6】(是常数，，，)的部分图象如图所示，其中，两点之间的距离为5，那么=A．B．C．2D．或2【解析】由图可知．因为，两点分别是函数图象上的最高点和最低点，设，，因为，所以，解得．因为，两点的横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，所以，即．所以，解得．因为，所以，解得，因为，所以或．结合图象，经检验，不合题意，应舍去，故．所以．故=．选C．【方法探究】利用函数图象确定三角函数解析式的基本步骤(1)最值定，即根据给定的函数图象确定函数的最值，即可确定的值．(2)周期定，即根据给定函数图象的特征确定函数的周期，利用周期计算公式，求解．(3)最值点定，即根据函数图象上的最高点或最低点的坐标，代入函数解析式求解的取值，注意利用中心点求解值时，要验证该点所在的单调区间以确定值，否则会产生增解．【方法总结】求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点（或最低点）的横坐标与相邻零点差的绝对值为个周期．必考点3利用正、余弦定理求解三角形问题【典例1】(2019年浙江卷)在中，，，，点在线段上，若，则____，___________．【解析】在中．易得，．在中，由正弦定理得，．又，所以．【典例2】(2018全国卷Ⅲ)的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则A． B． C． D．【解析】根据题意及三角形的面积公式知，所以，所以在中，．故选C．【方法总结】解三角形的题型一般有两类：一是边角关系的转化，考生需对所给的边角关系进行恒等变形；二是有几何背景的题型，难点在于涉及两个或两个以上的三角形，解决此类问题可利用正、余弦定理进行求解，同时要重视三角函数的知识在解三角形中的运用．【典例3】(2017年浙江)已知，，．

点为延长线上一点，，连结，则的面积是_____，=_____．【解析】由余弦定理可得，，由所以，．因为，所以，所以，．【典例4】(2019年全国Ⅲ卷)的内角、、的对边分别为、、．已知．(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【解析】(1)由题设及正弦定理得．因为，所以．由，可得，故．因为，故，因此．(2)由题设及(1)知的面积．由正弦定理得．由于为锐角三角形，故，，由(1)知，所以，故，从而．因此，面积的取值范围是．【典例5】(2018天津)在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．(1)求角的大小；(2)设，，求和的值．【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得．(2)在中，由余弦定理及，，，有，故．由，可得．因为，故．因此，所以，【方法探究】解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦．公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据，若涉及面积或周长的最值，则考虑采用重要不等式或基本不等式．【典例6】(2016山东)中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，则=A．B．C．D．【解析】由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以．故选C．【方法探究】解三角形时注意方程思想、消元思想的应用．【典例7】(2017全国卷Ⅲ)的内角，，的对边分别为，，，已知，，．(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．【解析】(1)由已知得，所以．在中，由余弦定理得，即．解得（舍去），(2)有题设可得，所以．故面积与面积的比值为．又的面积为，所以的面积为．【方法总结】解与三角形有关的综合题时，首先要掌握正弦、余弦定理，然后结合图形分析那些边、角是未知的，其次要将方程统一成只含有边或者角的方程，最后通过解方程求出边或者角．【典例8】的内角所对的边分别为．(1)若成等差数列，证明：；(2)若成等比数列，求的最小值．【解析】(1)成等差数列，∴由正弦定理得，∵，∴，(2)成等比数列，∴，由余弦定理得，∵（当且仅当时等号成立），∴（当且仅当时等号成立），∴（当且仅当时等号成立），即，所以的最小值为．【方法探究】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个