第284期：圆锥曲线专题-焦长与焦比体系之抛物线

微信公众号：渝城高中数学会608396916高中数学资料分享QQ群：608396916欢迎大家关注公众号，获取最新消息！Word文档进QQ群：608396916下载！圆锥曲线专题----焦长与焦比体系之抛物线微信公众号：渝城高中数学会608396916高中资料分享QQ群：608396916【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：1．． 2．．3．． 4．设,则．5．设交准线于点，则；．证明：1．，同理．2．．3．设O到AB的距离为，则，故．4．，．5．，，，．关于抛物线的焦长公式及定理（A为直线与抛物线右交点，B为左交点，为AB倾斜角）1．； 2．3． 4．设，则；5．设AB交准线于点P，．【考点精选例题精析】：例1．（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知抛物线，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得．【详解】如图，作与准线垂直，垂足分别为，则，，当且仅当三点共线即到重合时等号成立．故选：B．【变式训练1-1】．（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））已知P为抛物线上的动点，C的准线l与x轴的交点为A，当点P的横坐标为1时，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】结合抛物线的定义求得，进而求得抛物线的方程.设直线PA的倾斜角为，用表示，转化为当直线PA与抛物线C相切时最小，设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合判别式为零来求得的取值范围.【详解】因为抛物线C的方程为，所以其准线方程为.因为当点P的横坐标为1时，，所以，所以，故拋物线C的方程为.设直线PA的倾斜角为，垂足为，，由抛物线的性质可得，所以，所以当直线PA与抛物线C相切时，最小.设直线PA的方程为，联立方程组，得，由，得，，所以，故.故选：B例2．（2022·重庆·高三阶段练习）已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.【解析】【分析】设点，根据抛物线的定义表示出，将用表示，并逐步转化为一个基本不等式形式，从而求出取最小值时的点的坐标，再根据双曲线的定义及离心率的公式求值.【详解】由题意可得，，，抛物线的准线为，设点，根据对称性，不妨设，由抛物线的定义可知，又，所以，当且仅当时，等号成立，此时，设以为焦点的双曲线方程为，则，即，又，，所以离心率.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将的坐标表达式逐渐转化为一个可以用基本不等式求最值的式子，从而找出取最小值时的点的坐标.【变式训练2-1】．（2022·湖北黄冈·高二期末）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________.【答案】【解析】【分析】根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案.【详解】设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为.由抛物线的定义可知，，同理：,于是，，则抛物线的准线方程为：.故答案为：.【变式训练2-2】．（2022·全国·模拟预测）抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与交于，两点，的准线与轴的交点为，若的面积为，则___________.【答案】2或【解析】【分析】先求出抛物线的标准方程，再设出直线方程，与抛物线联立，求出弦长，求出点M到直线的距离为d，表达出的面积，求出m的值（注意分两种情况），再分别求出与的长，求出结果【详解】抛物线化为标准形式为：∵抛物线的焦点到准线的距离为2∴，即∴抛物线方程为，焦点∵过点的直线与交于A，两点∴设直线方程为：与抛物线方程联立得：设，，不妨假设A点在x轴上方，B点在x轴下方.则，则设点M到直线的距离为d则∴解得：∴当时，，解得：此时：∴，∴2当时，，解得：此时：∴，∴故答案为：2或【变式训练2-3】．（2021·江苏·高二专题练习）抛物线的焦点为，准线为，是上在第一象限内的一点，点在上，已知，，则直线与轴交点的坐标为___________.【答案】【解析】【分析】先画出图形，设，由及可得，，再设在上射影为，由抛物线定义，及，可得，进而再求出，，再由中点坐标公式求出点P的坐标即可.【详解】设，则，，由可得，设在上射影为，由抛物线定义，，因为，所以，故垂直平分，直线经过线段中点，因为轴，所以中点在轴上，因为，，所以点的坐标为.故答案为：.【点睛】方法点睛：在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【变式训练2-4】．（2021·江苏·高二单元测试）已知抛物线，其焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于点、（其中在轴上方），，两点在抛物线的准线上的投影分别为，，若，，则____________.【答案】3【解析】【分析】根据抛物线的的定义可得，利用直角三角形可求出，由面积等积法求出，求出直线的倾斜角，利用公式，计算.【详解】由抛物线的定义得：，，易证，∴，∴∵，∴，.∴，∵，∴为等边三角形.∴直线的倾斜角.∴，.∴.故答案为：3【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、简单几何性质，过焦点直线与抛物线相交的性质，属于难题.例3．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，A，B是该抛物线上不重合的两个动点，O为坐标原点，当A点的横坐标为4时，．(1)求抛物线C的方程；(2)以AB为直径的圆经过点，点A，B都不与点P重合，求的最小值．【答案】(1)；(2)11.【解析】【分析】（1）作出辅助线，利用焦半径与余弦值求出的值，进而求出抛物线方程；（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，根据得到等量关系，求出，从而表达出，求出最小值.(1)设，因为，所以，，过点A作AD⊥x轴于点D，则，，解得：，所以抛物线方程为.(2)设直线AB为，，由方程与联立得：，所以，即，且，，所以，，因为以AB为直径的圆经过点，所以，即，即，所以，所以，所以或，当时，直线AB为过点P，此时与题干条件A，B都不与点P重合矛盾，不合题意，舍去；当时，直线AB为，满足要求，所以，则，所以当时，最小，且最小值为11.【变式训练3-1】．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.(1)求直线的斜率的取值范围；(2)设为原点，，，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围.【答案】(1)；(2)为定值2.【解析】【分析】(1)通过抛物线经过的点，求解，得到抛物线方程，设出直线方程联立直线与抛物线方程，然后求解的范围．(2)设点，，设，，，，利用韦达定理，结合直线方程求解，的纵坐标，转化求解为定值2．(1)因点在抛物线上，则，解得，∴抛物线C的方程为.令直线的斜率为k，则直线方程为：，由消去y并整理得：，因直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，则，解得且，又直线PA，PB与相交，而点(1，－2)在抛物线C上，则直线不能过点(1，－2)，否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此，综上得：，且，∴直线的斜率的取值范围.(2)设点，，，而，则，同理，设，由(2)知，直线方程：，即，则，令，得，同理，于是得，∴为定值2.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【达标检测】：1．（2022·山东日照·一模）PQ为经过抛物线焦点的任一弦，抛物线的准线为l，PM垂直于l于M，QN垂直于l于N，PQ绕l一周所得旋转面面积为，以MN为直径的球面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】解：设设与轴夹角为，令，，根据抛物线的定义可知，，再根据圆台的侧面积公式及球的表面积公式得到、，即可判断；【详解】解：设与轴夹角为，令，，则，，则，，所以当且仅当时等号成立；故选：C2．（2022·江西·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，A为C上一点，且，O为坐标原点，则的面积为（

）A．2 B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的标准方程求出焦点坐标，再利用焦半径公式求出A点的横坐标，最后根据面积公式进行求解即可.【详解】根据题意，抛物线的焦点为，设，则，，因为A为C上一点，则，..故选:A.3．（2022·宁夏银川·一模（文））设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若，△ABD的面积为，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】画出图形，由题意可得为等边三角形，可得∥,，，然后由△ABD的面积为，列方程可求出【详解】如图，设准线与轴交于点，因为，，所以,所以，因为，所以为等边三角形，所以，所以,所以∥,，所以，，由抛物线定义，点到准线的距离，所以，所以，故选：A．4．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若，，成等比数列，则线段AB在y轴上的射影长为（

）A．p B．2p C．3p D．4p【答案】D【解析】【分析】设直线l的倾斜角为，根据抛物线的定义求得和，得到，结合题意得到，求得，进而求得线段在y轴上的射影长.【详解】设直线l的倾斜角为，过点和分别作准线的垂线，垂足分别为和，过作，如图所示，由抛物线的定义可得，即，所以，同理可得，所以，所以，又，所以，因为，，成等比数列，所以得，所以，所以，即，所以或，因为线段AB在y轴上的射影长为，即.故选：D.5．（2022·江苏扬州·高二开学考试）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点为椭圆的右焦点，为抛物线上的动点，，则的最小值为(

)A．4 B．5 C．6 D．217【答案】C【解析】【分析】过P作准线的垂线，与准线交于，则.【详解】由题知抛物线焦点为，准线方程为，过P作准线的垂线，与准线交于，则，∴，当且仅当、P、Q三点共线时（如图虚线位置）取最小，此时故选：C.6．（2022·山东济宁·一模）过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若，则线段BC的中点到准线的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】由向量的关系可得线段|AB|，|BF|的关系，结合抛物线的定义，可求出直线AB的倾斜角，进而求出直线的斜率，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出B，C横坐标之和，进而求出线段BC的中点到准线的距离．【详解】由抛物线的方程可得焦点，渐近线的方程为：，由，可得由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图示：作垂直于准线于，准线交x轴与N,则,故，故,而x轴，故,所以直线的倾斜角为，所以直线的方程为，设，，，，联立，整理可得：，可得，所以的中点的横坐标为3，则线段的中点到准线的距离为，故选：B．7．（2022·吉林东丰·高二期末）已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于两点A，B（点B在第一象限），与准线l交于点P.若，，则（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】过点A作，过点B作，设，根据抛物线的定义可得，利用相似三角形的性质可得，进而得出结果.【详解】过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为C，由抛物线的定义可知，，不妨设，因为，所以，因为，所以，即，所以，所以，因为与反向，所以.故选：B.8．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））已知抛物线上一点，F为焦点，直线AF交抛物线的准线于点B，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设出点B坐标，利用向量关系求出，进而求出.【详解】由题意得：，设，因为，即，所以，解得：，故，当时，，所以.故选：C9．（2022·安徽·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（

）．A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】【分析】由题设直线，联立抛物线方程，利用韦达定理及条件可得，即得.【详解】设直线，联立，则，则，．由，，得P，Q分别为线段AF，BF的中点，又，满足，，且，∴，解得．故选：A．10．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知抛物线上一点，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点B，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设出点B坐标，利用向量关系求出，进而求出.【详解】由题意得：，设，因为，所以，解得：，故，当时，，所以.故选：C11．（2021·四川·高二期末（文））已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到韦达定理，求得，利用抛物线定义，将目标式转化为关于的代数式，消元后，利用基本不等式即可求得结果.【详解】因为抛物线的焦点的坐标为，显然要满足题意，直线的斜率存在，设直线的方程为联立可得，其，设坐标为，显然，则，，根据抛物线定义，MF=故=4+4令，故4+4当且仅当，即时取得最小值.故选：D.【点睛】本题考察抛物线中的最值问题，涉及到韦达定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的关系，以及抛物线的定义转化目标式，是解决问题的关键.12．（2021·四川省叙永第一中学校高二期中（文））设抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理、抛物线的定义及，联立即可求得的值．【详解】设方程为，由，消去得，则有①，由得，即②，由①②解得，故选：A13．（2022·浙江·台州市书生中学高二开学考试）已知为抛物线上的焦点，、为抛物线上两点，且满足，则直线的斜率为（

）A． B． C．±1 D．【答案】B【解析】【分析】延长交抛物线的准线于点，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，设，则，，利用抛物线的定义结合相似三角形可求得，求出，可得出直线的倾斜角，进而可求得直线的斜率.【详解】延长交抛物线的准线于点，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，设，则，，由抛物线的定义可得，，因为，则，所以，，即，解得，所以，，因为，则，所以，直线的倾斜角为或，因此，直线的斜率为.故选：B.14．（2022·福建厦门·高二期末）抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，从点发出一条平行于x轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点，则光线从A出发到达B所走过的路程为（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义求解.【详解】如图所示：焦点为，设光线第一次交抛物线于点，第二次交抛物线于点，过焦点F，准线方程为：，作垂直于准线于点，作垂直于准线于点，则，，，，故选：C15．（2022·江西吉安·高三期末（理））已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法正确的是(

)A．B．(O为坐标原点)的面积为C．D．若，P是抛物线上一动点，则的最小值为【答案】A【解析】【分析】设l的方程，和抛物线方程联立，得到根与系数关系，求出，根据求出p的值.A：用导数求出切线斜率，验证两斜率之积是否为－1；B：利用三角形面积公式即可求解；C：根据抛物线焦点弦的几何性质可判断；D：数形结合，利用抛物线的定义转化为P到准线的距离即可求出最值.【详解】∵l过点F且倾斜角为，∴直线l的方为，与抛物线方程联立，得，设，则，，∴，，又，∴，∴；不妨设，当时，，∴过A的切线斜率为，同理可得过B的切线斜率为，∴，∴，故A正确；，故B错误；，故C错误；设点M到准线的距离为d，若，则，则D错误．故选：A．16．（2022·北京密云·高三期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于、两点，且，则点到轴的距离为（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出，再由焦半径公式表示出，得到，结合这两个关系式可求解【详解】已知焦点F到准线的距离为2，得，可得设()，，与抛物线方程联立可得：，，①又，，②根据①②解得，点A到y轴的距离为2.故选：B17．（2022·全国·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，C的准线与x轴交于点T，P，Q是C上的两点，直线TP与C相切，，则___________.【答案】##【解析】【分析】根据题意求得的坐标，根据导数的几何意义，求得点的坐标，再设出点的坐标，根据向量关系，即可求得参数.【详解】由题意得，，对于，不妨设，则，求导得，设，且，则直线TP的方程为，因为点在直线TP上，所以，得，则，所以，.设，则，因为，所以，所以，，代入，得，得（舍）或.故答案为：.【点睛】本题考察抛物线中坐标的求解，解决问题的关键是利用导数的几何意义，以及点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程，属综合困难题.18．（2021·全国·高三专题练习）四面体中，，其余棱长都为，动点在的内部（含边界），设，二面角的平面角的大小为，和的面积分别为，且满足，则的最大值为___．【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，则，设点到的距离为，根据题意，解得，从而得出点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线在内的一段弧，可求得，进而可求得的最大值.【详解】取的中点，连接，和均为等边三角形，，，面面，即为二面角的平面角，，，，，设点到的距离为，则，解得，故点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线在内的一段弧，当点位于抛物线和的交点时，最大，设与抛物线交于点，过作垂直于，交于点，则，，，所以，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了二面角，抛物线的定义，考查学生对这些知识的掌握能力，属于综合题，确定出点的位置是解题的关键，难度较大.19．（2020·浙江·高三专题练习）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线（）上任意一点，Q是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为______.【答案】【解析】【分析】要求直线的斜率的最大值,由直线的斜率公式可知应求点的横、纵坐标的关系,由题可设点,点,进而根据求得,再由均值不等式求得最值.【详解】由题可得,设,显然,当时,；当时,,要求的最大值,设,因为,所以,即,所以,所以,当且仅当时等号成立,即的最大值为,故答案为:【点睛】本题考查与抛物线有关的最值问题,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力与转化思想.20．（2020·重庆市松树桥中学校高三阶段练习（文））已知抛物线的准线方程为，焦点为，准线与轴的交点为为抛物线上一点，且满足，则点到的距离为_______．【答案】【解析】由题知：，，求得抛物线方程为：，利用抛物线的性质以及三角函数即可求出到的距离.【详解】解：由题可知：抛物线，准线方程，则，有，，抛物线方程为：，，作准线，交于点,由抛物线的性质得：，，设，则，，，设到的距离为，则：，即：，故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及性质的应用，考查解题分析能力.21．（2021·安徽郎溪·模拟预测（理））过抛物线的焦点的直线与相交于两点，且两点在准线上的射影分别为，，则_____________.【答案】4【解析】【分析】设,，，可得，，，可得的值.【详解】解：如图：设,，，由抛物线定义可得：,,,在中，由余弦定理可得：，同理：，故，，，故，故答案为：4.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题，注意余弦定理的灵活运用.22．（2021·全国·高二课时练习）设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于不同的两点，，为抛物线的准线与轴的交点，若，则______.【答案】6【解析】【分析】抛物线的焦点为，设直线方程为，与抛物线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，设，不妨设，根据韦达定理得出关系，可证，可得，设的倾斜角为，求出，进而求出直线的方程，根据对称性，直线与抛物线的另一个交点与关于轴对称，将直线方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理，求出，即可得出结论.【详解】抛物线的焦点为，设直线方程为，联立，消去，得，，，不妨设，，，设直线的倾斜角为，整理得，解得或（舍去）直线方程为，根据对称性，直线与抛物线的另一个交点与关于轴对称，联立消去得，，，由抛物线的定义得.故答案为:6.【点睛】本题考查抛物线的性质，利用抛物线的对称性是解题的关键，本题考查直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握相交弦长公式，考查计算能力，属于较难题.23．（2020·天津一中高二期末）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，若且，则此抛物线的方程为___________________．【答案】.【解析】如图所示：过点作垂直于准线于，过点作垂直于准线于，根据相似得到，，，在利用相似得到，计算得到答案.【详解】如图所示：过点作垂直于准线于，过点作