初2104-根式方程(组)的解法

第2104讲根式方程（组）的解法、知识和方法要点如果方程（组）含有根式，且根号内含有未知数，则称这样的方程（组）为根式方程（组）或称这样的方程（组）为无理方程（组）。根式方程（组）有着广泛的实际应用，例如，在用代数法解直角（斜）三角形时，所列出的方程（组）就可能是根式方程（组）。解根式方程（组）的基本思想是通过去根号将其转化为整式方程来解。化根式方程（组）为整式方程的基本方法1）平方法：采用将方程的两边平方的手段，去掉根号；2）配方法：采用配方的手段，或利用非负数性质或将配方的底数整体解出去；3）共轭根式法：利用共轭根式的性质，去掉根号；4）换元法：用新变元整体代替根式，去掉根号；5）不等式排除法：利用不等式排除不是方程的解的实数，从而确定方程的解。在解根式方程（组）时，由于要去掉根号，将方程的两边平方，这样，使解出的解是另一个方程的解（方程f2（x）=g2（x）的解可能是方程f（x）=g（x）的解，也可能是方程f（x）=-g（x）的解），故有可能产生不适合原方程的根，这样的根称为根式方程（组）的增根。在解根式方程（组）时的注意事项1）在将根式方程（组）转化为整式方程时，为减少不必要的计算，应根据原根式方程（组）的特点，采用相应的化简方法和技巧；2）解根式方程（组）时，验根是必不可少的步骤；3）解含字母系数的根式方程（组）时，应对字母系数进行讨论。二、典型题例选讲例1设a，b是有理数，且满足等式a+用=<621+耳4+2、耳，则a+b的值是（）。A.2B.4A.2B.4C.6D.8（2006年全国初中数学联赛第一试试题；根式方程；有理数和无理数性质）【分析】式进行化简。【解答】题中的条件a，b【分析】式进行化简。【解答】a+b占=、；6・\：1+帚4+2、K=、、6•订+（1+訂）=\12+6^3=3+<3,由实数性质得a=3，b=1。所以，a+b=4。【评注】利用有理数和无理数的性质解题。例2解方程：3x+1—丫x+4=1。（解根式方程；平方法）【分析】这是一个关于x的根式方程。通常的方法是：通过将方程的两边平方的手段，去掉根号，把方程变成整式方程来解。【解答】移项V3x+1=1+<7+4，两边平方得3x+1=x+5+2\:x+4，整理得x—2=*x+4，再两边平方得x2—4x+4=x+4，即x（x—5）=0，解之得x=0或x=5。经检验x=0是增根，x=5是原方程的根。所以，原方程的解为x=5。【评注】解分式方程（组）时，验根是必不可少的步骤。经检验，经检验，x=1是原方程的根。4经检验，经检验，x=1是原方程的根。4例3设实数x,y,z满足x+y+z=4（「x—5+■<y—4+i：z—3），求x,y,z的值。（解根式方程；配方法）【分析】将条件式看成根式方程，由于要从一个方程解出三个未知数x,y,z,故可考虑采用配方法进行解题。【解答]移项[(x—5)—4/x—5+4]+[(y—4)—4节y-4+4]+[(z—3)—4*7^3+4]=0,配方得(=7—5—2)2+Gy—4—2)2+27^3—2)2=0,故v'x—5—2=0,丫y—4—2=0,y7^3—2=0,解得x=9，y=8，z=7。经检验，x=9，y=8，z=7是原方程的解。评注】与有理方程类似，可通过配方法解多个未知数方程。例4求所有的实数x使得x=（解根式方程；平方法，配方法）【分析】本题要求解一个关于x的根式方程，如果通过将方程的两边平方的手段，去掉根号，方程将变得复杂，第二步采用配方，简化运算。【解答】移项两边平方得整理得两边除以x,得配方得于是两边乘以x,得解之得注意到x>0，所以x=匕2经检验，x=土色是原方程的解。2【评注】解答中利用二次方程的求根公式求根。例5解方程：\：x+、：x+2+2x2+2x=4—2x。（解根式方程；配方法，分解因式法）【分析】观察到/x小匚+2八x2+2x，首先考虑将方程移项后进行配方，然后再分解因式使方程得到化简,最后按常规解法，两边平方去掉根号化为整式方程来解。【解答】将方程化为（x+x2+2x+x+2）+（仮+Jx+2）—6=0,第一个括号配方得（、：x+\：x+2）2+（\x+i：x+2）-6=0,分解因式得（\：x+\：x+2+3）（i：x+i：x+2一2）=0,^于vx+丫x+2—2=0o两边平方后，解得x=1。41x2+x2xxx—1=1—1,xxx2+x—1—2xx—_—2jx—一+1=0,xx(x2—x—1=0，xx=9或x=，2xx=9或x=，2【评注】解答中利用二次方程的求根公式求根。例6解方程：9x2-7x-18门=80。（解根式方程；配方法，分解因式）【分析】这是一个关于x的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】将方程变形两边配方得于是1）由前一个方程得分解因式得于是解之得2）由后一个方程得此方程无解。经检验，x=4都是原方程的根。【评注】解答中第一次两边配方，9x2-6x+1=x+18*x+81，

(3x一1)2=(7x+9)2，3x一1=耳x+9或一(3x一1)=、；x+93(^x)2-\：x一10=0，(、:x一2)(3x+5)=0，v'x-2=0，x=4。3x+*x+8=0，精彩。例7解方程：注匕+WW+1=帀。（解根式方程；共轭根式法）【分析】因为x-7=（x-3）-4=（iG二3）2一22，x-5=（x-4）-1=（.G一羽2一12，可将方程的分母简单地去掉。又因为（辰一3'^-4）0>'x-3-辰一W）=1，据此可较简单地解出方程的根。【解答】将方程变形为__(\x一3)2一22(\x一4)2一12+='、10，x—3+2\x—4+1即x-3+、：x-4=帀+3，因为(叮7!+、'x-4)^'x-3一7x―4)=1，故得1）2）（1）、（2）两式相减得即两边平方得解之得2\x-4=6,<x一4=3,x一4=9，x=13。经检验，x=13是原方程的根。【评注】解答中利用共轭根式的性质简化了运算。例8解方程：2x2-15x—节2x2-15x+1998=-18。（解根式方程；换元法）【分析】这是一个关于x的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】令<2x2—15x+1998=y,y>0，则原方程变为分解因式解之得于是即分解因式得解之得y2-y-1980=0，(y-45)(y+44)=0，y=45或y=-44(舍去),2x2-15x+1998=2025，2x2-15x-27=0，(x-9)(2x+3)=0，33333x<x<+x，x<x<+x，经检验，x=9,x=-3都是原方程的根。2【评注】当解出y后，就考虑将小于零的y舍去，减少计算量。例9解方程：32-x=l-^x-1。【分析】这是一个关于x的根式方程。联性，采用换元法解题。【解答】令富x-1=y，y>0，则（解根式方程；换元法）观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关代入原方程得两边立方得即于是第二个方程即解之得还原得x=y2+1，31-y2=1-y，1-y2=(1-y)3，(1-y)(1+y)=(1-y)3，y=1或1+y=(1-y)2，y2-3y=0，y=0或y=3。x=2，x=1或x=10。经检验，x=2，x=1，x=10都是原方程的根。【评注】当解出y后，就考虑将小于零的y舍去，减少计算量。例10解方程：=4+皿2=3257。2x（解根式方程；换元法）(x+2)5(x+2)5x+2=325匚，2x(!宁)6=64，

g=32或出=-32,xx

22x=或x=-■，3133【解答】左边通分得即于是解之得经检验，x=-，x=经检验，x=-，x=丄都是原方程的根。3133【评注】解答中方程两边开6次方，应得；：'皿=±2。x例11解方程：x=2+丫2+\：2+丫！77。（解根式方程；不等式排除法）【分析】观察得此方程的根必为正数，且x=2是它的一个根，如果能够说明任意x〉0,x丰2的实数x必不是此方程的根，即可确定原方程只有一个实根x=2。【解答】易知此方程的根必为正数，且x=2是它的一个根。1）如果x〉2，贝9x2>2x=x+x>2+x，即x八:2+x，于^是x〉*2+x>\.2+2+x>\2+%2+t2+x〉2+、;2+2+*2+x，表明x不是方程的根。2)如果0<x<2，贝9x2<2x=x+x<2+x，xx=1。于^是x<丫2+x<\：2+2+x<2+丫2+2+x<2+y2+2+2+x,表明x不是方程的根。综上所述，方程只有一个根x=2。【评注】这种间接解方程的方法值得注例12解关于x的方程a-x+Pb-x=\；a+b一2x。（含字母系数根式方程，讨论）【分析】将原方程两边平方，并化简得一一X=0，由此得x=a或x=b，但必须注意下一步应该将此解代入方程验证，才能得到正确的解答。【解答】将原方程两边平方，并化简得<a^7vb^x=0，由此得、：a一x=0或<b一x=0，解之得x=a或x=b。1）当x=a时，b—a>0，即只有b>a时x=a才是方程的解；x=a。时，应对字母系数进行讨论。2）当x=b时，a—b>0，即只有a>b时x=b才是方程的解。所以，当a>b时，方程的解为x=b，当a<x=a。时，应对字母系数进行讨论。例13例13解方程组：x+y=3【分析】这是一个关于x的根式方程组。将方程组变为整式方程。_【分析】这是一个关于x的根式方程组。将方程组变为整式方程。_【解答】令*x+1=u>0,\：y+1=v>0,观察方程组的特点，米用换兀法解题，令Qx+1=u,\：y+1=v，不妨设u>v，则原方程组变为Pu+v=3Iuv=2u一v=1。u+v=3，u一v=1因为(u一v)2=(u一v=1。u+v=3，u一v=1解方程组解之得u=2Jx=3

v=1Iy=0解之得经检验，｛x=3是原方程的根。所以，原方程组的解为Jx=3或［x=0Iy=0Iy=0Iy=3【评注】先作有序界定，再将解得的解轮换，得到全部解。（解根式方程组，消元法）x）2—（\：x-（解根式方程组，消元法）x）2—（\：x-y）2=y可以消去x，故将两方程相乘，消去x得<3-y"-y=y，3—4y=0，

y=—。4x一=\：x一,

42vx=1，【分析】观察方程的右边的特点，由于v'3-y\'1—y=y，由此先解出y。【解答】①x②得：两边平方得解之得代入②得两边平方得解之得

x=1经经验,3是原方程组的解。y=j【评注】4解根式方程组的基本思想还是消元。三、同步练习题1・设正整数a,m,n满足・a2-42=\：m-\:n，求a,m,n的值。（解根式方程；有理