证明数列是等差或等比数列的方法

n1,2,3n1,2,3…、证明或判断数列为等差数列的方法.定义法在数列an中，若anan1d(d为常数)，则数列an为等差数列2 2 ...例：已知正项数列an的前n项和为Sn,a1—,且满足2Sn12Sn3an1(nN*)3证明：数列an是等差数列23an证明：由2Sn12Sn3an1得2(Snan1)2S3an整理得4Sn 3an122an1lr一 2则4Sn1 3an 2an两式相减得4an3an123an22an12an3an3an3an3an22an12an因为an是正项数列，所以anan102an1an '即an1an 3~ 2 、，，2 所以an是首项为-,公差为-的等差数列3 3.等差中项法anan22an1 {an}是等差数列6,a3 11,且例：设数列an的前n项和为Sn,已知a6,a3 11,且(5n8)Sn1(5n2)SnAnB,n(5n8)Sn1(5n2)SnAnB,n1,2,3,L，其中AB为常数(1)求A与B的值(2)证明数列an是等差数列TOC\o"1-5"\h\z解：(1)因为a1 1 ,a2 6,a3 11,所以S 1, 57, S3 18把n1, n2分别代入 5n8Sn1 5n 2Sn An B得3771AB2181272AB解得：A20,B 8(2)由(1)知5n8Sn15n2Sn 20n8整理得5nSn1Sn8Sn12Sn 20n8

即5nani8&i2& 20n8 ①又5n1an28&22&i20n18②②-①得5n1an25nani8an22an1 20即5n3an25n2a01 20③又5n2an35n7an2 20④④-③得5n2an32a“2an1 0所以an3 2an2Hn1 0所以an3an2an2an1 a3a25,又a2a15所以数列an是首项为1,公差为5的等差数列.看通项与前n项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）（1）若数列通项an能表示成ananb（a,b为常数）的形式，则数列an是等差数列；（2）若数列an的前n项和Sn能表示成Snan2bn（a,b为常数）的形式，则数列an是等差数列2例：若Sn是数列an的前n项和，Snn,则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，也是等比数列D. 既不是等差数列，也不是等比数列解析：根据（2）知an等差数列，不是等比数列二、证明或判断数列为等比数列的方法.定义法a在数列an中，若7-q（q为常数），则数列an为等比数列an11 .例：设数列an1 .例：设数列an的首项a1a1,且a-4an n为偶数21 a n为可数n4，记bna2n1bn1(D求a2,a3(2)判断数列bn解：(1)(2)a2(n1)1是否为等比数列，并证明你的结论a2a4a1a3b3猜想bn-

4

-4aibn1(D求a2,a3(2)判断数列bn解：(1)(2)a2(n1)1是否为等比数列，并证明你的结论a2a4a1a3b3猜想bn-

4

-4aia51-a21414a33一,a5812a21-a42b2a31-a41161a1a21-a4144)183161a21 1/(a821 是公比为-的等比数列2证明如下:1—a2n14因为J41 11,—a2n — —(a2n2 42一(a2n122bn1 1,,…，，，所以｛bn｝所以｛bn｝是首项为4 2例2：已知数列｛an｝的首项a15,前n项和为Sn,Sn12Snn5(nN)，证明数列｛an1｝是等比数列；解：由已知Sn12Snn5(nN)可得n2时，Sn2Sn1n4两式相减得：Sn1Sn2(Sn01)1,即Hn12%1,从而烝112(%1),TOC\o"1-5"\h\z当n 1时，S2 2sl15,所以a24 2a1 6,又阚 5,所以a2 11,从而a212(a1 1｝.a1故总有an 11 2(an 1), nN,又 a1 5, a1 10,从而上一 2.an1所以数列｛an1｝是等比数列.例3：设数列an的刖n项的和为Sn,且a11,Sn14an2,nN。(1)设bnan12an,求证：数列bn是等比数列;证明：(1)n2时即即3ta1a22t3a13tan1bn又bibn例4:设数列an等比数列。（错证）由题意:两式相减得:即:所以:Sn1Sn2an2an2bn1a2 2ai是首项为的首项ai3tsn3tsn13tsn3tan3,2t2tsn12t2t3t4an4an1,S2 an1bn又bibn例4:设数列an等比数列。（错证）由题意:两式相减得:即:所以:Sn1Sn2an2an2bn1a2 2ai是首项为的首项ai3tsn3tsn13tsn3tan3,2t2tsn12t2t3t4an4an1,S2 3a1 a1 2 3公比为2的等比数列。前n项和sn满足关系3tsn2t3sn13t,求证an为3sn13sn22t33t3tsn1sn2 03an103、八一3为定值，所以an为等比数列。由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了证明不符合定义的完整性。n的取值范围，导致正确的证明如下:n3时:3tsn2t3sn13t两式相减得:即:3tsn13tSn3tan2tsn2t3sn212t3an13t3sn1sn2 0所以：-an-2t33t（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值， 所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。 ）又因为n2时：3ts22t3s13t

又因为ai1,所以3t3ta2(2t3)3t所以a?2t33t所以a2a又因为ai1,所以3t3ta2(2t3)3t所以a?2t33t所以a2a12t33t所以对任意n 2都有且-2t3 为定值，所以an为等比数列。3t n总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数歹U的时候,定要注意下标n的取值范围，不管是anan1；且二还是an1an1a an2；」上还是其它的情况，都在考虑定义的an2完整性，确保任何的后一项与相邻前一项的差补充。(比)为定值，如有不全面的地方须另外加以.看通项与前n项和法(1)若通项an能表示成ancqn(c,q均为不为0的常数)的形式，则｛an｝是等比数列(2)若数列｛an｝的前n项和Sn能表示成SnAqnA(A、q均为不等于0的常数，且q1)的形式，则数列｛an｝是公比不为1的等比数列n111例：已知数列an的前n项和Sn —— -,则数列an是什么数列TOC\o"1-5"\h