2022高考数学创新设计二轮复习 专项练(二)　平面向量、不等式

基础微点专项练

专项练(二)平面向量、不等式一、单项选择题1.(2021·天津卷)已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件解析

由题意，若a＞6，则a2＞36，故充分性成立；若a2＞36，则a＞6或a＜－6，推不出a＞6，故必要性不成立；所以“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件.AC3.(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件.故选B.解析因为P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，所以a2＋b2＝4.C5.(2021·青岛调研)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(

)C解析因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如图所示，因为|AB|＝4，M是线段AB的中点，则OM⊥AB，D平方得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2，整理得(2a·b＋1)(3a·b－1)＝0，B8.若对任意的x，y∈R，不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，则实数a的取值范围为(

) A.(－∞，－1] B.(－∞，1] C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)D解析不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)对任意x，y∈R恒成立等价于x2＋(y－3)x＋y2－3y＋3a≥0对任意x，y∈R恒成立，∴Δ＝(y－3)2－4(y2－3y＋3a)＝－3y2＋6y＋9－12a≤0，∴4a≥－y2＋2y＋3＝－(y－1)2＋4，当y＝1时，－y2＋2y＋3取得最大值4，∴4a≥4，解得a≥1.因此，实数a的取值范围是[1，＋∞).二、多项选择题9．(2021·湖南四校联考)在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则(

)CD10．(2021·山东质检)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(

)CD11.(2021·南京、盐城一模)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(

) A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c

B.(a·b)·c＝a·(b·c) C.a·b≤|a|·|b|

D.|a－b|≤|a|＋|b|ACD解析

对于A，因为向量满足分配律，所以A一定成立；对于B，因为(a·b)·c＝|a||b|cos〈a，b〉·c表示一个与c平行的向量，a·(b·c)＝|b||c|cos〈b，c〉·a表示一个与a平行的向量，而c与a不一定共线，所以B不一定成立；对于C，a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，所以C一定成立；对于D，因为|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，所以|a－b|≤|a|＋|b|，所以D一定成立.综上所述，选ACD.12.(2021·济南统考)设a，b为正实数，下列命题正确的是(

)AD解析

若a2－b2＝1，则a2－1＝b2，即(a＋1)(a－1)＝b2.∵a＋1>a－1，∴a－1<b<a＋1，∴a－b<1，故A正确；若|a3－b3|＝1，当a>b>0时，得a3－b3＝1，a3－1＝b3，即(a－1)(a2＋a＋1)＝b3.∵a2＋a＋1>b2，∴a－1<b，即a－b<1；当0<a<b时，得b3－a3＝1，b3－1＝a3，即(b－1)(b2＋1＋b)＝a3.∵b2＋1＋b>a2，∴b－1<a，即b－a<1.故|a－b|<1，D正确.故选AD.三、填空题13.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.解析

法一

a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ