2022年新高考数学二轮复习（回扣篇）回扣3　数　列

数

列回扣3

等差数列等比数列通项公式an＝____________an＝

(q≠0)前n项和公式Sn＝________＝_______________(1)q≠1，Sn＝_________＝________；(2)q＝1，Sn＝____必考知识1.等差数列、等比数列a1＋(n－1)da1qn－1na1＋na12.判断或证明一个数列是等差(等比)数列的方法判断一个数列为等差(等比)数列的方法有：定义法、中项公式法、通项公式法、前n项和公式法；证明一个数列为等差(等比)数列的方法只有定义法、中项公式法.3.等差数列、等比数列{an}的常用性质

等差数列等比数列性质①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则

；②an＝am＋

d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列①若m，n，s，t∈N*，且m＋n＝s＋t，则

；②an＝am·

；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)am＋an＝ap＋aq(n－m)am·an＝as·atqn－m4.数列求和的方法(1)公式法：等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.(2)错位相减法：形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.(3)裂项相消法：通项公式形如an＝

(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和.(4)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an±bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(等比)数列或一些可以直接求和的数列.常用结论1.等差数列的重要结论设Sn为等差数列{an}的前n项和，则(1)an能写成an＝dn＋a的形式，Sn能写成Sn＝an2＋bn的形式，其中a≠0.(4)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，(5)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇－S偶＝am，2.等比数列的重要结论(1)an＝kqn－1为指数型函数，Sn＝A·qn－A.(2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列.(3)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍然成等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立).(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则123456经典重温1.在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8等于A.95 B.100 C.135 D.80√解析由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.78910123456√789102.在正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，且a5与a9的等差中项为4，则{an}的公比是12345678910解析正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，即a3＋a7＝4，a5与a9的等差中项为4，即a5＋a9＝8，设公比为q，则q2(a3＋a7)＝4q2＝8，12345678910√12345678910∴an＝n2(n≥2).∴an＝n2，n∈N*.解析对于B，取a1＝－1，q＝－2，则a1＋a3<0，a1＋a2>0，即B错误；对于D，若a1a2<0，则q<0，所以(q－1)(q－q2)>0，所以(a2－a1)(a2－a3)>0，即D错误.4.(多选)(2021·江苏七校联考)已知数列{an}是等比数列，下列结论正确的为A.若a1a2>0，则a2a3>0B.若a1＋a3<0，则a1＋a2<0C.若a2>a1>0，则a1＋a3>2a2D.若a1a2<0，则(a2－a1)(a2－a3)<0123456√78910√5.(2021·淮北模拟)Sn是等差数列{an}的前n项和，S2020<S2018，S2019<S2020，则Sn<0时n的最大值是A.2019 B.2020 C.4037 D.4038123456√78910解析因为S2020<S2018，S2019<S2020，所以a2020＋a2019<0，a2020>0.可知Sn<0时n的最大值是4038.6.已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝

＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__________.1234567891012345678910123456789107.各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝____.12345678910150解析记b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，则b1，b2，b3，b4是公比为r＝q10>0的等比数列，∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70，∴r2＋r－6＝0，∴r＝2或r＝－3(舍去)，8.数列{an}满足an＝2n－1＋2n－1，{an}的前n项和为Sn，使Sn<100的最大正整数n的值为___.123456786解析an＝2n－1＋2n－1，∴Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝n2＋2n－1，∴n2＋2n－1<100，∵Sn＝n2＋2n－1为递增数列，且S6＝36＋64－1＝99<100，S7＝49＋128－1＝176>100，故使Sn<100的最大正整数n为6.910123456789109.(2021·福州模拟)在①Sn＝2an＋1，②a1＝－1，log2(anan＋1)＝2n－1，③＝anan＋2，S2＝－3，a3＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.问题：已知单调数列{an}的前n项和为Sn，且满足________.(1)求{an}的通项公式；12345678910解选条件①：由题意得，当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an－1－1，化简整理，得an＝2an－1，∴数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝－1·2n－1＝－2n－1，n∈N*.选条件②：依题意，由log2(anan＋1)＝2n－1，可得anan＋1＝22n－1，12345678910则an＋1an＋2＝22n＋1，∵a1＝－1，∴数列{an}的奇数项是以－1为首项，4为公比的等比数列，又∵a1a2＝2，∴a2＝－2，∴数列{an}的偶数项是以－2为首项，4为公比的等比数列，综合可得，数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴an＝－1·2n－1＝－2n－1，n∈N*.∴an＝－1·2n－1＝－2n－1，n∈N*.12345678910选条件③：可知数列{an}为等比数列，设等比数列{an}的公比为q，化简整理，得3q2－4q－4＝0，12345678910(2)求数列{－nan}的前n项和Tn.12345678910解选条件①：由(1)知，－nan＝－n·(－2n－1)＝n·2n－1，则Tn＝1·1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，2Tn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减，可得∴Tn＝(n－1)·2n＋1.选条件②：由(1)知，－nan＝－n·(－2n－1)＝n·2n－1，12345678910则Tn＝1·1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，2Tn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1