向量组地线性相关与线性无关-向量组地线性无关

1/12 12t12t1122tt12tt (k)t这样的表示是有好处的。12t12t1122tta12tt (k)tbt (k)t12t12t12t12s12t12s12t12s12t12s2/12 12r12s12tjkjkijijj=1a=xsxb=xsxxtyc=xt(xsyx)c，i=1,2,...,rijijjikjkkjjik12t12t1122tt12t12t按照线性表示的矩阵记法，a,a,...,a线性相关即齐次线性方程组12t (k)t2t12t3/12 t (k)t12n12n12n12n121212k零，不妨假设k士0，如此a=一2b，故a,b平行，即对应分量成比例。如果a,b1k13x)|312tt12t4/12 12t12s12tk12t1122tt1122tt12s12t12t12s后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。的新向量组仍然线性无关。设a,a,...,a=Rn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量12t(a)(a)(a)(ka+ka+...+ka)1122tt12t(4)向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。Rn12t必要性假如a,a,...,a线性相关，如此存在一组不全为零的k数,k,...,k，12t12t使得1122tt5/12 12tjka+...+ka+ka+...+kaa=11j1j1j+1j+1ttjkj充分性假如a,a,...,a中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设12takakaka+...+kaj11j1j1j+1j+1tt也就是11j1j1jj+1j+1tt12t12t可由a,a,...,a线性表示，且表示方法唯一。12t1122ttt+1t+1t+11122tt12tka+ka+...+kab=1122ttk12t假设b=xa+xa+...+xa=ya+ya+...+ya，如此1122tt1122tt6/12 11222ttt12t1122tt1122tt因此，表示法唯一。1t性表示，如此表示法唯一。事实上，向量b可由线性无关向量组a,...,a线性表1t1t1t1t因此，假如有解，当然解唯一，即表示法唯一。12t12s12t12s (x) (x)…………………….… (x)kk,...,k，如此12tx(k)1x(k)1x|||||||||||||kxkx1122tt12t12s2 (k) x (k) xtstt7/12 x)2t x)2tx||||xxxxx为一个s根t阶矩阵，而t>x x ss2st (ss2stt (k)t12t1122tt12t12t(7)假如两线性无关向量组a,a,...,a和b,b,...,b可以相互线性表示，如此12t12saaa12t12t2t12tPa,Pa,...,Pa线性表示。假如可以线性表示，表示的系数不变。t1122tt1122tt1122tt1122tt1122tt1122tt8/12 12tiii12riii12r12tiii12raa...,a为a,a,...,a的极大线性无关组。iii12t12r12ta,a,...,a为其极大线性无关组。按照定义，iii12r12tiiiiii12r12r12t12tiii12r个向量组都与其极大线性无关组等价。的，因此，由之前的性质(7)，向量组的任意两个极大线性无关组含有一样【备注6】按照定义，向量组a,a,...,a线性无关，充分必要条件即其秩为t。12t12tiii12riii12t12r12t面，如果a,a,...,a线性无关，且iii12ra12tiii12t12r9/12 (0) ( (0) (0) (0)12s12s12ri12r12riii12r12r12t12ra12ri12r【备注9】设向量组a,a,...,a的秩为r，如此其极大线性无关向量组含有r个向12t量。反过来，其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是a,a,...,a的一个极12t。秩称为矩阵A的行秩。ij12nb)b)bn000) ||||||||(1)0(0)(1)0(0)1|||||||||||||||||||||||||||||||...0/12 )|)|)|等于A的秩。12tiii12k12t12t的极大线性无关组。iii12t12k如果k<r，如此a,a,...,a不是a,a,...,a的一个极大线性无关组，于是，iii12t12ka,a,...,a必有元素不能由其线性表示，设为a，由性质(5)，向量组12tiiiii12kk+1iiii12t12kk+1组，无须再添加向量。aaaaiiii12t12kk+1于是，a,a,...,a必有元素不能由其线性表示，设为a，由性质(5)，向量组12tik iiikikik同样的过程