不等式及其性质(教师版)4224

实用标准一、不等式及其性质【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；2.理解不等式的三条基本性质，并会简单应用；3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“≠”读作“不等于”“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大读作“小于或等即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≤”于”读作“大于或等即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量“≥”于”(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，文档实用标准x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．类型一、不等式的概念例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．（1）4＜5；（2）x+1＞0；2（3）x＜2x-5；（4）x=2x+3；（5）3a+a；2（6）a+2a≥4a-2．2变式练习：1.（2017春•城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A．18＜t＜27B．18≤t＜27C．18＜t≤27D．18≤t≤272.（2017春•未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a；②-2＞-5；③x≥-1；④1y-4＜1；⑤2m≥n；⑥2x-3，其中不等式有（）3A．2个B．3个C．4个D．5个3.（2017春•南山区校级月考）下面给出了6⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（）3＞0x+3y＞0x=3；④x-1；A．2个B．3个C．4个D．5个文档实用标准4.（2017春•太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（）A．两种客车总的载客量不少于500人B．两种客车总的载客量不超过500人C．两种客车总的载客量不足500人D．两种客车总的载客量恰好等于500人5.已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．（1）n-m0；（2）m+n0；（3）m-n0；（4）n+10；（5）m•n0；（6）m+10．例2．用不等式表示：(1)x与-3的和是负数；(2)x与5的和的28％不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多为5．举一反三：【变式】aa的值一定是（）．A.大于零B.小于零C.不大于零D.不小于零例3.下列叙述：①a是非负数则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2-101＜2；③“x的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b两数的平方和为正x数”可表示为a2+b2＞0．其中正确的个数是（）.文档实用标准A.1个B.2个C.3个D.4个要点二、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2x50是一个一元一次不等式．3要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．例1.（2017春•沧州期末）下列各式中，一元一次不等式是（）5A.xxB．2x＞1-xC．x+2y＜1D．2x+1≤3x2变式练习2．（2017春•平川区校级期中）下列是一元一次不等式的是（）A.x.11B．x2-2＜1C．3x+2D．2＜x-2x3．（2016春•永丰县期中）若不等式2x＜1是关于x的一元一次不等式，则a符合（）aA．a≠1B．a=0C．a=1D．a=24.若（m+1）x+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m=（）|m|文档实用标准A．±1B．1C．-1D．05.下列不等式中，是一元一次不等式的有（）个．xxx11x1①x＞-3；②xy≥1；③x＜3；④；⑤；223A．1B．2C．3D．4要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或整式)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c.不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．ab用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或cc)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．ab用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或cc)．例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）．（6）若a＞b＞0，则＜．．【答案与解析】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；文档实用标准（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a＞b，当c=0时则ac2＞bc2错误，故错误；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；（5）若a＞b，根据c2+1，则a（c2+1）＞b（c2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．例4.（2017•青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．a2＜b2B．2a＜2bC．a+2＜b+2D．﹣a＜﹣b【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】D.【解析】解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确.【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：3【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞”，则m的取值范围m是．文档实用标准【答案】m＜0.3解：∵将“mx＜3”变形为“x＞”，m∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．【巩固练习】一、选择题1.（2016春•北京期末）在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．下列不等式表示正确的是().A．a不是负数表示为a＞0B．x不大于5可表示为x＞5C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0D．m与4的差是负数可表示为m-4＜03.式子“①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0”属于不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是()A．a+3＞b+3B．2a＞2bC．-a＜-bD．a-b＜05．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（）.A.a>cB.a<cC.a<bD.b<c文档实用标准6．下列变形中，错误的是（）.A．若3a+5＞2，则3a＞2-5B．若x1，则x2233C．若x1，则x＞-5D．若x1，则x51115511二、填空题7．（2016秋•太仓市校级期末）如果a＜b，则﹣3a﹣3b（用“＞”或“＜”填空）．8．用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为．12，2中，能使不等式5x＞3x+3成立的x的值是________；________9．在-l，，0，23是不等式-x＞0的解．10．假设a＞b，请用“＞”或“＜”填空(1)a-1________b-1；(2)2a______2b；(3)1ab1_______；(4)a+l________b+1．2211．已知a＞b，且c≠0，用“＞”或“＜”填空．ab(1)2a________a+b(2)_______cc22(3)c-a_______c-b(4)-a|c|_______-b|c|12.k的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是_______．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）三、解答题13．现有不等式的性质：①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．文档实用标准请解决以下两个问题：（1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）；（2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）．14.①当a=3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是_______；②当a=-3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是__________；③当a=1，b=1时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是________；④根据上述数学实验你猜想a2+b2与2ab的大小关系_______；⑤用a、b的其他值检验你的猜想______．15．已知x＜y，比较下列各对数的大小．(1)8x-3和8y-3；(2)x1和5y1；(3)x-2和y-1．566【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】解：﹣3＜0是不等式，x≥2是不等式，x=a是等式，x2﹣2x是代数式，x≠3是不等式，x+1＞y是不等式．不等式共有4个．故选C.2.【答案】D；【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误；x不大于5应表示为x≤5，故B错误；x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误；m与4的差是负数应表示为m-4＜0，故D正确。文档实用标准3.【答案】B.4.【答案】D；【解析】从不等式a＜b入手，由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A不成立；由不等式的性质2，不等式a＜b的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a＜2b，故选项B不成立；由不等式的性质3，不等式a＜b的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得-a＞-b，故选项C也不成立；由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都减去b后，不等号的方向不变，得a-b＜0．故应选D．5.【答案】A.6.【答案】B；【解析】B错误，应改为：2x132，两边同除以，可得：x32。3二、填空题7.【答案】＞.【解析】在a＜b的两边同时乘以﹣3，得：﹣3a＞﹣3b，两边同时加上，得：﹣3a＞﹣3b．故答案为：＞．8.【答案】x2﹣a2≤0；9.【答案】2；-1、12【解析】一一代入验证.10．【答案】(1)＞(2)＞(3)＜(4)＞；11.【答案】(1)＞(2)＞(3)＜(4)＜；【解析】利用不等式的性质进行判断。12.【答案】-1＜k≤3．三、解答题文档实用标准13.【解析】解：（1）a＞0时，a+a＞a+0，即2a＞a，a＜0时，a+a＜a+0，即2a＜a；（2）a＞0时，2＞1，得2•a＞1•a，即2a＞a；a＜0时，2＞1，得2•a＜1•a，即2a＜a．14.【解析】解：①当a=3，b=5时，a2+b2=34，2ab=30，∵34＞30，∴a2+b2＞2ab；②当a=-3，b=5时，a2+b2=34，2ab=-30，∵34＞-30，∴a2+b2＞2ab；③当a=1，b=1时a2+b2=2，2ab=2，∵1=1，∴a2+b2=2ab；④综合①②③得出结论：a2+b2≥2ab（a=b时，取“=”）．证明：∵（a-b）2≥0（a=b时，取“=”），∴a2+b2-2ab≥0，∴a2+b2≥2ab．文档实用标准⑤设a=2，b=2，则a2+b2=2ab=8，上述结论正确；设a=5，b=3，则a2+b2=34，2ab=30，所以a2+b2＞2ab，综上所述，a2+b2≥2ab（a=b≠0时，取“=”）正确．15.【解析】解：(1)∵x＜y∴8x＜8y，∴8x-3＜8y-3．55(2)∵x＜y，∴xy，66∴5x15y1．66(3)∵x＜y，∴x-2＜y-2，而y-2＜y-1，∴x-2＜y-1．拓展：类型一、不等式的概念1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是().【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1文档实用标准个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．【答案】D.【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即16322克故B选项错；每一个糖果的重量小于克．故A选项错；两个糖果的重量小于1033316641三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于421333克故D选项对．【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．举一反三：【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）.A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●D．●、▲、■【答案】C.类型二、不等式的基本性质2.下面四个命题：（1）ac2bc2,则ab；（2）ab，则acbc；（3）若ab，b1则；（4）若a0，则bab.其中正确的个数是（）.aA.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.文档实用标准【解析】(1)由acab，正确；，因为2>0,所以（2）因为ab，当c0时，acbc，所以错误；b2bc2得c0cb（3）因为ab，当a0a01时，，所以错误；时，没有意义，而当aa（4）因为a0，所以a0，bab，正确.【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数.举一反三：【变式1】a、b是有理数，下列各式中成立的是()．A．若a＞b，则a2＞b2；B．若a2＞b2，则a＞bC．若a≠b，则｜a｜≠|b|D．若｜a｜≠|b|，则a≠b【答案】D.【变式2】若点P（1﹣m，m）在第一象限，则（m﹣1）x＞1﹣m的解集为．【答案】x＜﹣1.解：∵点P（1﹣m，m）在第一象限，∴1﹣m＞0，即m﹣1＜0；∴不等式（m﹣1）x＞1﹣m，∴（m﹣1）x＞﹣（m﹣1），不等式两边同时除以m﹣1，得：x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．文档实用标准bcacabPMN3.设a＞0＞b＞c，且a+b+c=-1，若＝，＝，＝，abc试比较M、N、P的大小．【答案与解析】∵a+b+c=-1，∴b+c=-1-a，1aa1∴M==−1−，a11同理可得N=−1−，P=−1−；bc又∵a＞0＞b＞c，111∴＞0＞＞，acb111b∴−1−＜−1＜−1−＜−1−ca即M＜P＜N．【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．4.（2016春•唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2．又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①同理得1＜x＜2…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．文档实用标准∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【答案与解析】解：∵x﹣y=﹣3，∴x=y﹣3．又∵x＜﹣1，∴y﹣3＜﹣1，∴y＜2．又∵y＞1，∴1＜y＜2，…①同理得﹣2＜x＜﹣1…②由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1．∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜1．【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．文档实用标准【巩固练习】一、选择题1．下列不等式中，一定成立的有().①5＞-2；②a21a；③x+3＞2；④+1≥1；⑤(a21)(b21)0．A．4个B．3个C．2个D．1个2.若a+b＞0，且b＜0，则a，b，-a，-b的大小关系为（）.A．-a＜-b＜b＜aB．-a＜b＜-b＜aC．-a＜b＜a＜-bD．b＜-a＜-b＜a3．若a＜b，则下列不等式：①11a11b；②5a15b1；22③a2b2．其中成立的有().A．1个B．2个C．3个D．0个14．若0＜x＜1，则x，，x2的大小关系是().xA．xx2B．x1x2C．x2x111xx2xxxxD．ac5.已知a、b、c、d都是正实数，且<，给出下列四个不等式：bdaccadbbd①；②；③；④abcdcdabcdababcd其中不等式正确的是（）.A.①③B．①④C．②④D．②③6．（2016春•丰台区期末）下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2B．由a＞b，得﹣a＜﹣bC．由a＞b，得二、填空题D．由a＞b，得ac＞bc文档实用标准7．在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图所示，如果汽车的宽度为xm，则用不等式表示图中标志的意义为________．8．(1)若ab，则a_________b；cc22(2)若m＜0，ma＜mb，则a_________b．9．已知|3x12|(2xym)20，若y＜0，则m________．10．已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是________．11．（2016春•济南校级期末）下列判断中，正确的序号为．①若﹣a＞b＞0，则ab＜0；②若ab＞0，则a＞0，b＞0；③若a＞b，c≠0，则ac＞bc；④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2；⑤若a＞b，c≠0，则﹣a﹣c＜﹣b﹣c．12．如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是________．三、解答题13．用不等式表示：(1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天，并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x个，请写出满足条件的x的关系式；(2)今年，小明x岁、小强y岁、爷爷m岁；明年，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄．文档实用标准14．若a＞b，讨论ac与bc的大小关系．15．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．(1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；(2)比较a+b与a-b的大小；(3)比较3a+2b与2a+3b的大小．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】一定成立的是：①④⑤；2.【答案】B.3.【答案】A；【解析】根据不等式的性质可得，只有①成立.4.【答案】C；1【解析】∵0＜x＜1，∴x2≤x≤.x文档实用标准5.【答案】A；【解析】∵