甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年第二学期高三数学学业学情调研卷（含答案）

临潭一中2025-2026学年第二学期2026届高三数学学业学情调研卷(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.考试范围:高考所有内容第一部分(选择题共58分)一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x 14≤12xA.{x∣0<x≤2.已知复数z=1+i2+i (A.125B.155C.103.已知n,m是两条不同的直线，α,A.若α//β,m⊂α,n⊂β,则C.若m⊥n,m⊥α,n⊂β,则4.已知a=1,则a−b=3,设a,bA.1B.2C.2D.35.从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出1个红球的概率是12,从两袋中各摸出1个球,A.16B.56C.26.已知3cosα−sinα=A.−32B.−127.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2,A是C的左顶点，PA.32B.63C.18.已知函数fx=lnx2+axA.0,e−1eB.1,二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.某企业积极响应国家节水号召,对污水进行净化再利用,如图是该企业近7年的污水净化量(单位:t)的折线图，则()A.这组数据的众数是56B.这组数据的极差是4C.这组数据的60%分位数是55D.去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小10.已知抛物线C:y2=4x,直线l过C的焦点F,且与C交于A.若直线l的斜率为33,则B.以MF为直径的圆与y轴相切C.MF+2NFD.若点G2,2，则△GFM11.已知三次函数fx=aA.若fx的极大值为4,则B.fx的极小值为0,则C.a>1,则D.存在a<3,使fx在a,第二部分(非选择题共92分)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若直线ax−by−2=0a>0,13.已知等差数列an满足2a1+314.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若A=2π3，b=2，sinAsinB=2ac四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列an满足a(1)求a1并证明数列1a(2)若1a1+1a16.如图,已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AD=4，(1)若平面PBC∩平面PAD=l，求证:l⊥平面(2)若M是线段PC上动点，N为AD中点，试确定点M的位置，使得直线PB与平面BMN所成角最大,并求出该最大角.17.在“欢乐玩具城”举办的周年庆典上，推出了一款由三人组队参加的趣味抽奖游戏.现场摆放着三个外观完全相同的盒子,分别装有2个、3个、4个限量版玩具手办.游戏规则如下:先由其中一人随机抽取一个盒子打开,若该盒子中的手办个数多于2个,则从该盒中获取1个手办作为奖品(此时该盒中的手办个数减少1个)，否则没有奖品；无论获奖与否，都将该盒子放回原处；接下来由剩下两人按上述方式各进行一次抽奖，然后该队游戏结束.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，并按甲乙丙的顺序依次进行抽奖.(1)求该队仅有乙获得奖品的概率；(2)记该队获得奖品的总个数为X，求X的分布列及数学期望EX18.已知椭圆Γ:x2a2+y2b2(1)求椭圆Γ的方程；(2)点Px0,y0x0>0在椭圆Γ上，F(I)求点P的坐标;(II)点Q是直线l:x=x0上的动点,过点Q作两条互相垂直的直线l1与l2分别交椭圆Γ于A,B和C,D四个不同点,其中l1的斜率为19.已知函数fx(1)若曲线y=fx在点P1,f1处的切线垂直于(2)若x=m和x=n是fx的两个极值点,其中m<(3)在(2)的条件下，若a≥e+1e−1.B由题意知,A=因为解分式不等式x+2x−1所以B={x∣−2≤故选:B2.C题意z=所以z=故选:C3.D对于A,若α//β,m⊂α,n⊂β,则m对于B,若m//n,m//α,n//β,则α与β也满足条件,故B错误;对于C,若m⊥n,m⊥α,n⊂β,则α对于D,若m⊥α,n⊥β,α//β故选:D.4.B因为a−b=3,所以a−又因为a=1,a,b所成的角为60∘,所以故选:B.5.C根据题意至少有一个红球的概率为P=故选:C.6.B由3cosα−sinα=1得2cos7.D已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的左、右焦点为F1−c,0,F2c,0,左顶点A−a,0.因为△又△PF1A为等腰三角形,P若PF1=AF1,则2c=a−若PF1=PA,可得2c=a2+3c2,即若AF1=PA,可得a−化简得2ac=−2c2,因为c>0,所以a因此,椭圆的离心率为13故选:D8.C因为fx有且仅有三个零点,则方程lnx令hx=lnxx由h′x<0得x>e;则hx在0,e单调递增,在e,+∞上单调递减,则因为0<x<1时hx<0;x>1时所以hx因为t=0不是t所以gt=t2+at−1=0有两个根,其中一个根位于但方程t2+at所以gt=0一个根位于0,1则g0=−1<0g1e=1e2+故选:C9.BC将数据从小到大排列为52,52,53,54,55,56,56,众数是52和56,A错误;极差是56−52对于C,7×0.6=4.2,所以60%分位数是从小到大排列的第对于D,该组数据的平均数为52+52+53+54+55+56+567=54SS即S22>S12故选:BC.10.BCD对于A,由题意得F1,0,若直线l的斜率为33联立y=33x−1y2=则焦点弦长MN=x1+对于B,以MF为直径的圆,圆心为MF中点xM+12,圆心到y轴的距离为xM+12,等于半径,因此圆与y轴相切,故对于C,设直线l:联立x=my+1y2=4x,得y2焦半径MF=x1+1将x1=1x2当且仅当2x2=1x2故MF+2NF的最小值为对于D,△GFM的周长为GF+GM+FM由抛物线的定义可得FM为点M到准线的距离，易得当M,G共线时MF则MF+GMmin=2+1=3故选:BCD.11.AC对于A选项,显然a≠令f′x=0得x=1令f′x>0,得x>3或x<1故fx在−∞,1,3,+∞故fx在x=1处取得极大值,在x=3令4a=4,解得a=1;令f′x>0得1<x<3,令f′故fx在−∞,1,3,+∞故fx在x=1处取得极小值,在且f3=0,不合要求,综上,对于B选项，由A可知，当a>0时，极小值为f当a<0时,极小值为f1=4a<对于C选项,由题意得fx可得fa又a>1,故fa+3−对于D选项，由A知，a<0时，fx在−∞,1,3,+∞上单调递减，在1,3上单调递增，故fx显然fx的最小值为f1当0<a<3时，fx在−∞,1，3若0<a<1,则f其中f0=f3=0,故f若1≤a<3,则fx在a,3上单调递减,故fx的最小值为f3=0≠a,不合要求;不存在a<故选:AC12.4圆x2+y2−2x+4y+由题知直线ax−by−2=0过圆心所以2a当4ba=ab,即故答案为:4.13.8设等差数列an的公差为d由2a1+3a所以6a1+10d=所以32故答案为:8.14.3因为sinAsinB=2ac,由正弦定理可得ab=2ac,故c=2b,又因为b=2,所以所以4AD2=AB+故答案为:3.15.1a1(2)2025.(1)因为a2=3a12a1+又因为1a所以1an−1是以23(2)由(1)可知1an−1=所以1==要使1a则n+1−13n<2026,由0<13n≤1316.(1)证明见解析(2)M点满足PM=3MC，(1)因为PA⊥平面ABCD,AD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AD,PA又因为PA,AB⊂平面PAB,PA∩AB=A因为AD//BC,BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC因为平面PBC∩平面PAD=l,所以又因为AD⊥平面PAB,所以l⊥平面(2)以A为原点，AB,AD,AP分别为APB=设PM=则M2λ设平面BMN的法向量为m=则有m⋅NB=0m⋅BM=0cos则PB与平面BMN的夹角的正弦值为λ2λ2−2λ则f2当λ=3时，f2λ取得最大值34，所以fλ所以当M点满足PM=3MC时，PB与平面BMN的夹角的最大值为17.1(2)分布列见解析，53(1)原先装有2个,3个,4个玩具所在的盒子记为编号i，“取到编号为i的盒子”记为事件Ai“该队仅有乙获得奖品”记为事件B,则P(2)X的可能取值为0,1,2,3，①P②取到一个奖品，若其来自3号盒，可以由甲、乙、丙分别获得，对应的基本事件数为4种,2种,1种.取到一个奖品,若其来自4号盒,可以由甲、乙、丙分别获得,对应的基本事件数共有3种.所以PX③取到两个奖品，若其都来自4号盒，可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得，对应的基本事件数分别为2种,1种,1种.取到两个奖品,若其来自3号和4号盒,可以由甲乙、甲丙、乙丙分别获得,对应的基本事件数分别为4种,3种,2种.所以PX④取到三个奖品，取到3号盒子1次，4号盒子2次，对应的基本事件数共3种，所以P所以分布列为:X0123P110271319E18.1(2)(I)1,63或1,−(1)依题意，e=ca=63，所以c又2a2+13b所以椭圆Γ的方程为:x2(2)(I)由(1)知，F1−2,0F又PF1⋅PF2又x023+y02=1又x0>0,所以x0=故点P的坐标为1,63或(II)设Q1,t,A由x2+3y2所以x1Δ=即3k因为QA=所以QA==同理,对于斜率为−1k的直线可得QC⋅又QA⋅QB=2QC因为过点Q作两条互相垂直的直线l1与l2分别交椭圆Γ于A,B