2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第二章不等式第二节二次函数与一元二次方程、不等式

第二节二次函数与一元二次方程、不等式

【考试要求】

1.从函数观点看一元二次方程：会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在

性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.

2.从函数观点看一元二次不等式：①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解

一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一

元二次不等式的解集.②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程

的联系.

【高考考情】

考点考法：二次函数是高中一个必考知识，在高中的学习中，二次函数是解决“二次问题”

的核心灵魂，在高考中二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为“二次问题”，对于

高考题主要是利用二次函数解决一元二次不等式，借助二次函数图象，利用数形结合写出有

关不等式的解集或者是未知参数的取值范围.

核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理

o-----一一知谓梳理•恩雅激活/一=o

归纳•知识必备

1.一元二次不等式

把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是之的不等式，称为一元二次不等式，其一般

形式为a/+6*+。>0或aV+6x+c<0（其中a,b,c均为常数，aWO）.

2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系.

判别式

zl>04=0zKO

/=6-4ac

二次函数

y=ax+4

力x+c(a>0)T

的图象K

有两相等实根

一元二次有两相异实根

b没有实数根

方程aV+苟，及（莅〈心）“尸尼=-瓦

6x+c=0(a

>0)的根

a/-\-bx

{x|

rIb、

+c>O(a>{X\X^A—T-}R

或」>为}2a-

0)的解集

a/+bx+c

<0(a>0){x也}00

的解集

智学♦变式探源

1.必修一P53Tl2.必修一P58T5

1.(改变不等式)不等式(x+1)(x+2)<0的解集为()

A.{x\—2<%<—1}B.{^|—1<%<2}

C.{xlxV—2或x>l}D.{x|xV—1或*>2}

【解析】选A.方程(x+l)(x+2)=0的两根为为=一2,吊=一1，则不等式(x+l)(x+2)<0

的解集为{x1—2VxV-1}.

3

2.(改变条件)若不等式2A戈+M一6<0对一切实数X都成立，则A的取值范围为()

O

A.(-3,0)B.[-3,0)C.[-3,0]D.(—3,0]

3

【解析】选D.当在=0时，显然成立；当4W0时，即一元二次不等式24才2+0一6V。对一

o

切实数X都成立.

俨V0,

[4=片一4X2AX(—1)<0,解得一3<AV0.

3

综上，满足不等式或步+放一^V0对一切实数x都成立的4的取值范围是(一3,0].

O

慧考•四基自测

3.基础知识4.基本方法5.基本能力6.基本应用

3.(一元二次不等式解法)已知集合A=但/一才一6>0},则》等于()

A.{x\-2<x<3}B.{x|-2WxW3}

C.{xlxV—2}U{x|x>3}D.{x|xW-2}U{x|x»3}

【解析】选B.因为x?-x—6>0,所以(x+2)(x—3)>0,

所以x>3或xV—2,即4={x|x>3或x<—2}.

在数轴上表示出集合4如图所示.

-23x

由图可得'4={削-2WxW3}.

4.（二次函数的性质）当x>0时，若不等式/+数+120恒成立，则a的最小值为（）

3

A.-2B.-3C.-1D.-5

【解析】选A.若一彳W0,即a20时，成立；

若a<0,由/=3一4W0,得一2Wa<0,综上，2.

5.（二次函数的实际应用）如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分

析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（xGN）为二次函数关系，若使营运

的年平均利润最大，则每辆客车应营运（）

A.3年B.4年C.5年D.6年

【解析】选C.可设y=a（x—6）2+ll（aV0）,

又曲线过（4,7）,所以7=己（4-6）2+11,

所以a=—1,即y=—+\.2x—25,

所以；=12—1x+?JW12-2AJ酝=2,当且仅当x=5时取等号.

6.（三个二次之间的关系）关于x的一元二次不等式系一6x+aW0的解集为。，则a的取值范

围是.

【解析】由题意知，*—6x+a>0的解集为R,

则4=（—6）2—4a<0,解得a>9.

答案：（9,十8）

O点探究.悟法培心——O

7考点一不含参数一元二次不等式的解法自主练透

1.设集合A={x|xVx2},B={x|x2+x—6<0},则ACB=()

A.(0,1)B.(-3,0)U(1,2)

C.(-3,1)D.(-2,0)U(1,3)

【解析】选B.因为A={x|x<x2}=(—°°,0)U(1,

+°°),B={x|x2+x—6<0}=(—3,2),

所以AAB=(-3,0)U(1,2).

2.不等式2x+3—x2>0的解集是()

A.{x|—l<x<3}

B.{x|x>3或xV—1}

C.{x|—3<x<l}

D.{x|x>l或xV-3}

【解析】选4不等式2x+3—x2>0可化为x?—2x—3<0,即(x—3)(x+1)VO,解得一lVx

<3.

1----Y

3.不等式—20的解集为()

乙IX

A.[—2,1]B.(-2,1]

C.(-8,-2)U(1,+8)D.(-8,-2]U(1,+8)

【解析】选笈原不等式化为

'(l—x)(2+x)却，

<

.2+x70,

(x—1)(x+2)W0,

即《解得一2VxWL

x+2W0,

4.(多选题)下列说法正确的是()

A.不等式2/—x—1>0的解集是｛x|x>2或xVl｝

21

B.不等式一6x2—x+2W0的解集是｛x|x<一鼻或｝

C.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是｛x|-7VxV—1｝,那么a的值是3

D.关于x的不等式x,+px—2Vo的解集是(q,1),则p+q的值为一1

【解析】选对于4因为2x2—x—l=(2x+D(X—1),所以由2x?—x—1>0得(2x+l)(x

-l)>0,

解得x>l或x<—3，所以不等式的解集为

jx|x>l^x<-.故力错误；

对于8,因为一6X2—X+2W0,所以6X2+X—220,

12

所以(2x—l)(3x+2)20,所以或xW一鼻.故8正确;

乙O

对于C,由题意可知一7和一1为方程ax2+8ax+21=0的两个根.所以一7X

21

(―1)=―,所以a=3,故。正确；

a

对于〃依题意q,1是方程x?+px—2=0的两个根,

q+l=-P，即p+q=-1,故〃正确.

教师专用》【规律方法】

解一元二次不等式的一般步骤

(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.

⑵判：计算对应方程的判别式.

(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.

(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.

建

W1【加练备选】

1.不等式0Vx2-x—2W4的解集是()

A.{x|-2WxV-1}

B.{x|2VxW3}

C.{x|-2WxW3}

D.{x|—2Wx<—1或2<x<3}

x—2>0

【解析】选〃原不等式等价于2ci,

1x—X—2W4

Jx2-x-2>0[(x-2)(x+1)>0

[x?-x—6W01(x—3)(x+2)WO

x>2或xV—1

2WxV—1或2VxW3.

［一2<x<3

2.已知两个集合A=｛x|y=ln(—x?+x+2)｝,B=x产,则AGB=()

e—x

A-~2,2)8.(-1，

C.(—1,e)D.(2,e)

【解析】选笈由题意得人=以|一*2+乂+2>0｝

=｛x|—l<x<2｝,B=jx|x>^xW—,

故AnB=(-i,—.

7考点二含参数一元二次不等式的解法咽直

［典例1］解关于x的不等式ax'—2^2x—ax(aGR).

【解析】原不等式可化为af+(a-2)x-220.

①当a=0时，原不等式可化为x+lWO,解得xW-l.

②当a>0时，原不等式可化为(x—曰(x+l)20,

2

解得xA或xW—1.

a

③当aVO时，原不等式化为(x—曰(x+l)W0.

29

当一>—1,即aV—2时，解得一IWXW-；

aa

2

当一=—1,即a=-2时，解得x=-1；

a

29

当一<一1,即一2<a<0时，解得一WxW—1.

aa

综上所述，当a=0时，不等式的解集为｛x|xW-1｝；

2

当a>0时，不等式的解集为｛x|x2-或xW—1｝；

3

2

当一2VaV0时，不等式的解集为｛才|-WxW—1｝；

a

当a=-2时，不等式的解集为｛—1｝；

2

当aV—2时，不等式的解集为｛xl—lWxW-｝.

a

，规律方法

求解含有参数的不等式的分类标准

(1)若二次项系数为常数，则需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分

类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论.

(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是不是零，以便确定不等式是一次不等式还

是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式.

(3)对方程的根进行讨论.

，对点训练

解关于x的不等式.

(1)/+ax+l<O(aWR)；

(2)ax—(a+1)x+KO.

2

【解析】(1)J=a-4.

①当/=才一4应0,即一2WaW2时，原不等式无解.

②当/=才一4>0,即a>2或aV—2时，方程

*+ax+l=O的两根为否=-a+J'-4,

a

x2=~~^^，则原不等式的解集为

综上所述，当一2Wa<2时，原不等式无解.

当a>2或aV—2时，原不等式的解集为

(2)若a=O,原不等式等价于一x+1VO,

解得*>1.若a<0,原不等式等价于(x—｝](x—1)>0，解得或x>L

若a>0,原不等式等价于1x—J(A—1)<0.

①当a=l时，1=1,(x—j(x—l)V0无解；

②当a>l时，:<1,解(x—(^―1)<0,得

1

-<x〈l；

a

③当OVaVl时，［>1,解口一］)(矛-1)<0,得

1

IVxV-.

a

综上所述，当aVO时，解集为｛x|xV，或x>l｝；

a

当a=0时，解集为｛x|x>l｝；

当OVaVl时，解集为｛xIlVxV.｝；

a

当a=l时，解集为。；当a>l时，解集为｛xdVxVl｝.

a

弧

中【变式备选】

解不等式：12f—a¥>3(a£R).

【解析】不等式12f—可化为12f—ax—，>0,即(4x+a)(3x—3)>0,令(4x+a)(3x

—a)=0,解得Xi=­i，x=~.

X2O

当a>0时，<f，所以不等式的解集为

4J

｛x\x<—^或x>|｝;

当a=0时，得f>0,所以不等式的解集为｛xlxWR且巾0｝；

当a<0时，一—所以不等式的解集为

,।aa1

［X\X<-或X>一彳｝.

o4

综上所述，当a>0时，不等式的解集为

｛x|xV-彳或;

当a=0时，不等式的解集为｛x|xGR且#0｝；

当a<0时，不等式的解集为｛加力或x>—9｝.

，考点三一元二次不等式恒成立问题囱隹探究

高考考情：含参不等式恒成立问题是数学中常见的问题，是高考中的一个难点问题.这类问

题涉及一次函数、二次函数的性质和图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思

想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到积极作

用.

•角度1在R上的恒成立问题

[典例2]若不等式(a—2)y+2(0-2)万一4<0对一切

xGR恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(—8,2]B.[-2,2]

C.(—2,2]D.(—8,—2)

【解析】选C.当a—2=0,即a=2时，不等式为一4<0,对一切xGR恒成立.

a—2V0,

当a#2时，则

A=4(a—2)2+16(a—2)<0,

a—2<0,

解得一2VaV2.

[a2<4,,

所以实数a的取值范围是(一2,2].

•角度2在给定区间上的恒成立问题

[典例3](一题多解)若对任意的xe[—1,2],都有V—2x+aW0(a为常数)，则a的取值范

围是()

A.(—8,—3]B.(—8,o]

C.[1,+8)D.(—8,1]

【解析】选A.方法一：(函数法)令f(x)=f—2x+a,则由题意，得

fr(-1)=(-1)2-2X(-1)+忘0,

解得aW—3.

f(2)=2-2X2+aW0,

方法二：(最值法)当—2]时，不等式f—2x+aW0恒成立等价于aW-f+2x恒成

立，

则由题意，得aW(-V+2x)1nhi(x£[-1,2]).

而一^+2*=—(*-1尸+1,则当x=—l时，

(--¥+2^)„,！„=—3,所以aW—3.

，一题多变

若将本例改为“若存在1,2],使得V—2x+aW0(a为常数)。试求a的取值范围.

【解析】由题意知aW—f+2x在刀仁[-1,2]时有解.

则aW(―V+2x),11ax,—1,2],

又一家+2x=—(x—xW[—1,2],

所以aWl,即a的取值范围是(一8,1].

•角度3给定参数范围的恒成立问题

[典例4]对任意加6[―1,1],函数/'(x)=*+(加-4)x+4—2/的值恒大于零，则x的取值

范围为.

【解析】由f(析+(0—4)x+4-2%

=(x—2)/z?+f—4x+4,

令g(加)=(x—2)/—4x+4.

由题意知在[—1,1]上，g(血的值恒大于零，

g(—1)=(x—2)X(—1)+/—4x+4>0,

所以V

[g(l)=(x—2)+/—4x+4>0,

解得x<l或x>3.故当xC(―8,1)u(3,+8)时，对任意的加£[—1,1],函数/'(x)的

值恒大于零.

答案:(一8,1)U(3,+8)

,规律方法I自主完善，老师而导

1.在R上恒成立

不等式类型恒成立条件

ax+bx+c>0a>0,4VO

a>0,4WO

+bx-\-cVOa<0,/<0

ax+bx+cWOaVO,4WO

2.在给定区间上恒成立

(1)当xe[加，n\,f(x)=af+8x+c20恒成立，结合图象，只需f(x),"“20即可;

(2)当xW[/〃，ri\,f(x)=af+Z?x+cWO恒成立，只需f(x)111axWO即可.

3.一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量范围的方法

解决恒成立问题时，一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般情况下，知道谁的范围，就选

谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数,

根据原变量的取值范围列式求解.

♦多维训练

1.(2021•忻州模拟)已知关于x的不等式4X2R对任意的xe(0,1]恒成立，则有()

A.mW—3B.加2—3

C.13Wzz?<0D./三一4

【解析】选A.令f(x)=f—4x,xG(0,1],

因为f(x)图象的对称轴为直线x=2,所以/'(x)在(0,1]上单调递减，

所以当*=1时，F(x)取得最小值一3,所以加忘一3.

2.已知函数f{x)=mxi—mx—1,若对于xGR,f(x)V0恒成立，则实数m的取值范围为

_________;若对于

x@[l,3],f(x)〈一加+5恒成立，则实数卯的取值范围为.

【解析】要使勿V—加犬-1V0恒成立，

(勿<0,

若勿=0,显然一1V0；若/W0,则，一c=

[4=m+4加<0

一4V0.所以加的取值范围为(-4,0].

要使f(x)〈一加+5在[1,3]上恒成立，

则/n^—/nx+m<(5恒成立(xW[1,3]),

(1、23

又因为*一叶1=卜一+->0,

6.66

所以吟—叶1-左尸m=7一储工-

因为2+|在[1,3]上单调递增，

所以尸,在［1,3］上单调递减.

因此函数的最小值%in=y.

所以加的取值范围是(一8,1

答案：(一4,0］

/考点四利用三个二次之间的关系解题讲练互动

［典例5］(1)(2021•大庆模拟)已知不等式a*—加―1>0的解集是削-VxV一共,则不

乙O

等式f一反一a»0的解集是()

A.{x|2VxV3}B.{x|xW2或x23}

,11］.J-

C.D.俨|才W勺或才》5］

【解析】选B.因为不等式aV->0的解集是x|一：<x<—<，所以a——1=0的

乙O

解是

1

且<O

及--3-a

11b

a=-6,

6=5.

则不等式V—bx—a»0即为y—5x+6,0,解得*W2或*23.

(2)(一题多解)若不等式/+ax—2>0在区间［1,5］上有解，则a的取值范围是()

A。(［一m23+,00\JB.(一2可3，1_

(23-

C.(1,+°°)D.1—8,——

【解析】选A.令f(x)=f+ax—2,则4=@二'+8>0,

所以方程/1(x)=0有两个不等实根，又两根之积为负，所以方程有一正根和一负根.

f(1)<0,

方法一：不等式/+。*―2>0在区间［1,5］上有解，只要『⑴川或°什、j解得a

f(5)>0.

、…23

21或一”<5<1.

5

所以a的取值范围是(一得，+8).

方法二：不等式*+ax—2W0在［1,5］上恒成立，只要f(5)W0,