2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第六章平面向量、复数第二节平面向量基本定理及坐标表示

第二节平面向量基本定理及坐标表示

【考试要求】

1.了解平面向量基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

【高考考情】

考点考法：虽然近几年本节没有单独命题，但在考查其他知识点时，经常涉及向量的线性及

坐标表示，平面向量的坐标表示以及用坐标解决向量问题有可能成为考试热点.

核心素养：数学抽象、数据分析、数学运算

Q—如谭林理二思傕激活一Q

归纳•知识必备

1.平面向量基本定理

一组基底两个不共线向量6,

一对实数：唯---对实数42,

任意向量：a,

结论：a—九I。+儿2金•

'注解1①基底刍，程必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.②基底给

定，同一向量的分解形式唯一.③若a与，不共线，且4a+〃力=0,则儿=〃=0.

2.平面向量的坐标表示及运算

⑴设4（不，%）,B（xz,%），则宓=（不一X"）一口）

⑵设a=（X”y）,b=（在，y2），则

a±6=（xi±*2,K±%）,4a=（入M,入必）,

3.平面向量共线的坐标表示

向量共线的充要条件的坐标表示11

若a=（x”-），b=（而,必），则莅7=0.

,注解2①的充要条件不能表示成受=-,因为如必有可能等于0,应表示为汨必一的必

也Yz

=0.②已知尸为线段45的中点，若力(为，%),8(*2,%)，则P点坐标为广

③已知△48C的重心为G,若4G，%),B[X2,%)，

。(iJ,则产卢，乃『).

智学•变式探源

1.必修二P31例72.必修二P33T5

1.(改变未知量)已知向量a=(4,2),b=1x,3),且则x的值是()

A.-6B.6C.9D.12

【解析】选B.因为所以4X3—2x=0,所以x=6.

2.(改变条件)已知点4(3,-2),8(—5,-1),且亦=

|AB,则点尸的坐标为()

O

A.&一野B.(—8,1)

C.(1,||D.(8,-1)

【解析】选A.点力(3,—2),8(—5,—1),且苏=；森，设点尸的坐标为(x,y),

则(X—3,y+2)=；(—8,1)=卜*"，

所以x-3=—[,y+2=|,求得,y=—1,

ooJJ

故点尸的坐标为(;，—Ij.

慧考•四基自测

3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力

3.(向量的坐标运算)已知向量a=(2,3),力=(3,2),则

a-b=()

A.y[2B.2C.5yliD.50

【解析】选A.因为3),b=(3,2),所以a—6=

(—1,1),a—b\.

4.(向量的坐标运算)若向量宓=(2,4),衣=(1,3),则反'=()

A.(1,1)B.(―1,—1)

C.(3,7)D.(-3,-7)

【解析】选B.因为向量懑=(2,4),AC=(1,3),

所以反'=宓一宓=(1,3)-(2,4)=(-1,-1).

5.(向量的基底)下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()

A.a=(1,2),b=(0,0)

B.a=(l,-2),b=(3,5)

C.a=(3,2),b=(9,6)

D.a=(—**,b=(3,—2)

【解析】选B.根据平面向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底.

6.(共线向量定理)已知宓=(一加，—5n),BC=(―2«,8n),CD=(3/»,—3/?),则()

A.A,B,〃三点共线B.A,B,。三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点不共线

【解析】选A.因为击=(—2加，8〃)，而=(3m,—3??),

所以砺=BC+CD=(—2m,8力+(3例一3〃)=(加，bn)=~AB,所以质//AB,又因为它

们都过点8所以4B,。三点共线.

o——_、才点探一•情法培优/~=o

,考点一平面向量基本定理及其应用自主练透

1.如图，在△/必中，P为线段加上的一点，OP=xOA+yOB,且诙=2月I，则()

2112

A.x=~,y=~B.x=~

ooo

1331

C.x=~,y=~D.x=~

444,尸7

【解析】选A.由题意知/=0B+BP

=0B+|BA=0B+|（OA-OB）

oo

=1OA=XOA+yOB.所以，尸:.

oooo

2.（多选题）（2022长沙模拟）已知"是△/配的重心，〃为6。的中点，下列等式成立的是（）

A.衍=；荔+1衣B.MA+MB+MC=0

乙乙

一2一，1一一1一2一

C.BM=~BA+-CDD.CM=~CACD

OOOO

【解析】选ABD.如图所示，因为点."是△/回的重心，〃为仇7的中点，可得£,尸分别是/G

48的中点，

由崩=AB+Bb=AB+1BC=AB+1（AC-AB）=；花+；而，所以A正确；由〃为

回的中点，根据向量的平行四边形法则，可得赤+MC=2砺,

又由"是△45。的重心，根据重心的性质，可得|血=2\MD\,所以荡I+2砺=0,

即麻+MB+MC=0,所以B正确；

.221119

根据三角形重心的性质，可得物=~诙=7XQ（BA+BC）=~（BA—2CD）=-BA

JJ乙JJJ

cb,所以c不正确；

由重心的性质，可得由=7CF=-X-（C4+CB）=-（CA+2CD）=~CA+-'CD,所以

。。乙OOO

D正确.

3.如图所示，平面内有三个向量成I,OB,0C,其中应与应的夹角为120°,0A与比的

夹角为30°,且|应\=\0B|=1,\0C=273,若优=入汤+〃南（4，〃6R）,则儿

十〃的值为.

【解析】如图所示，构造平行四边形，因为NM，=90°,

\0C1=2^3，ZC0D=3Q°，所以|力|=2^3X坐=2=|应'|=|//1,\0D|=一

Yv3cos30迎

=4=ML所以4+〃=6.

答案：6

4.（一题多解）如图，在正方形眼力中，轨N分别是比；⑦的中点，若充〃疏，，

则4+〃=.

【解析】方法一：以2为坐标原点，AB,助所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标

系，如图所示，

设正方形的边长为1,则肪=(1,1

BN=1-j,11,AC=(1,1),

因为太=+ulBN=[4一]u,)4+〃

I乙乙

f,1f,6

--zu=}.,=~o,

所以〈,解得〈

42

[5+〃j1/下

所以4+〃=|.

5

方法二：由祸=诵AD,BNAB+AD,得而=AAM+度=(X-T诵+

乙乙

(|4+〃)而，又衣=荔+而，

25

所以〈,解得〈c

八2

〔万+〃j〔〃下

所以4+〃=3.

5

答案:|

5

"'规律方法

利用平面向量基本定理解决问题的步骤

(1)选择一组基底.

(2)运用上面基底将条件和结论表示成向量的形式.

(3)通过向量的运算解决问题.

【加练备选】

如果刍，&是平面。内一组不共线的向量，那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向

量的一组基底的是()

A.&与@+桂B.©1-2桂与&+2桂

C.刍+0与@一段D.以+30与6金+2@

【解析】选D.选项A中，设ei+«

1=4,

则无解;

1=0,

选项B中，设8—20=4(a+2&),

(4=1,

则彳co1无解；

.-2=2A,

(4=1,

选项C中，设刍+e=4(份一色),则彳，无解；

,1=—A,

选项D中，e,+3e,=1(6侥+2e),所以两向量是共线向量.

7考点二平面向量的坐标运算|讲练互动

[典例1]⑴设向量a=(1,1),b=(3,—2),则3a—28=()

A.(-3,7)B.(0,7)

C.(3,5)D.(-3,5)

【解析】选A.因为向量a=(1,1),b=(3,—2),

所以3a—26=3(1,1)-2(3,-2)

=(3,3)—(6,—4)=(—3,7),

(2)(2021•黄石模拟)若a=(-2,3),6=(10,血，且b=4a,则儿=.

【解析】因为a=(—2,3),b=(10,ni),且6=4a,

所以(10,4=(一2月，34)，

即一24=10,解得4=—5.

答案：一5

，规律方法

求解向量坐标运算问题的一般思路

(1)向量问题坐标化：建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算.

(2)巧借方程思想求坐标：若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程

中要注意方程思想的运用.

(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示

向量的坐标，再用待定系数法求出系数.

》对点训练

1.已知。4?切的顶点/(一1,-2),3(3,-1),。(5,6),则顶点〃的坐标为.

——(4=5—x,(x=l,

【解析】设〃(x,力，由48=%得(4,1)=(5—必6—力，即，，、解得「

[1=6—y,ly=5.

答案：(1,5)

2.已知质=(1,-1),(7(0,1),若力=2而，则点〃的坐标为()

A.(-2,3)B.(2,-3)

C.(—2,1)D.(2,—1)

【解析】选D.设〃(x,力，则宓=(x,y-1),2AB=(2,一2),根据宓=2花，得(x,y

-1)=(2,-2),

x=2,x=2,

即<解得

y-\=—2,1.

【加练备选】

已知向量p=(2,—3),<?=(x,6),且

则3+0的值为.

【解析】因为p〃q,所以矛=一4,所以q=(—4,6),

所以p+g=(-2,3),所以.

答案：g

，考点三共线向量坐标表示及其应用|多维探究

高考考情：虽然近几年高考在此处没有单独命题，但由于共线向量定理是平面向量的基础,

在今后的高考中还有可能会在此处命题，如由向量(或三点)共线求参数，证明共线、平行等.

•角度1向量共线问题

[典例2](1)(多选题)(2022•东莞模拟)已知两点力(2,-1),6(3,1),与宓平行且方向相

反的向量a可能是()

A.a=(-1,—2)B.a=(9,3)

C.a—(—1,2)D.a~(—4,—8)

【解析】选AD.由题意可得法=(3,1)—(2,-1)=(1,2).

A选项，a=(―1,—2)=~~AB,故满足题意；

D选项，a=(—4,—8)=—4拔，故满足题意；

B,C选项中的a不与荔平行.

(2)(2021•威海模拟)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-l,2),c=(4,1).

①若(a+Ac)〃(28—a),求实数4；

②若d满足(d—c)〃(a+Z>),且1d—c|=4,求d的坐标.

【解析】①a+4c=(3+44,2+4),26一a=(—5,2),由题意得2X(3+4公一(-5)X(2+

-I公

A)=0,解得k=~—.

1O

②设〃=(x,y),则d—c=(x—4,y—1),

又a+Z>=⑵4),\d-c\=y[5,

4(x-4)-2(y-1)=0,x=3,

所以＜解得，

(x—4)?+(y—1)?=5,y=-i

x=5,

或，、所以d的坐标为(3,—1)或(5,3).

lr=3.

■一题多变

本例(2)条件不变，若a=试求九,u.

【解析】因为4b+〃c—儿(-1,2)+〃(4,1)

=(4〃一儿，24+〃)=(3,2),

4_5

4〃一4=3,「9’

所以2f=2,解得

8

u=­

9

•角度2三点共线问题

2]

[典例3]⑴如图，在4ABC,AN=-NC,BP=mBN,若序=tAB+-AC,则实数t的

O0

值为_______

【解析】由题意知，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m(AN-AB)=mAN+(l-m)AB,又

-2f

AN=-NC,

o

所以点=三AC,

5

f2ff

所以而=-mAC+(1-m)AB,

□

又萍=tABAC,

1—m=t,

5i

所以21解得m=d一=1

小41

答案：g

⑵如图所示，在AABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不同的两

点M,N,若诵=mAM,AC=nAN，则m+n=

【解析】由已知得而=1(AB+AC),

结合硝=m前，AC=nAN,

所以而=；mAMnAN.

又因为0,M,N三点共线，所以;m+1n=l,

所以m+n=2.

答案：2

，规律方法

平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a=(x"

弘)，b=(至，%),则a〃b的充要条件是为%=也“”解题比较方便.

(2)利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设

所求向量为4a(46R),然后结合其他条件列出关于人的方程，求出入的值后代入儿a即可

得到所求的向量.

(3)三点共线问题.①4B,C三点共线等价于油与而共线.②/,B,C三点共线Q洒=A

OB+HOC(4+〃=1).

；，多维训练

1.（2021•全国乙卷）已知向量a=（2,5）,b=（儿，4）,若a〃b,则儿=

8

【解析】由已知，a〃b,则2X4=54,故X=三.

5

_.8

答案：T

2.（2022•济宁模拟）已知向量a=（加，—2）,6=（4,—2/A），条件p：a//b,条件q：m=2,

则下列关于0和q的说法正确的是（）

A.。是q的充分不必要条件

B.0是q的必要不充分条件

C.p是q的充要条件

D.o是。的既不充分也不必要条件

【解析】选B.若条件0：a〃b成'立,

则2序=8,解得加=±2.又条件/m=2,所以夕是q的必要不充分条件.

3.（2022•石家庄模拟）已知点G为△48。的重心，过G作直线与AB,两边分别交于M,N

两点，且"=xAB,AN=yAC,则希=~AM+AN,-+~的值为.

----------xy