河南平顶山市2022年高三下第一次测试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平

台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门

进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展

有显著效果的图形是（）

22/2+1

2.已知数列｛4｝的通项公式是生=nsin----------71,贝（Jq+a,+%+•■•+。［2=（）

2

A.0B.55D.78

3.从抛物线上一点P（P点在x轴上方）引抛物线准线的垂线，垂足为且|PM|=5,设抛物线的焦点为

F,则直线Mr的斜率为（）

44

A.—2B.2C.----D.一

33

4.一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出

去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为

（）

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

5.已知定义在R上的奇函数/（X）满足：/（x+2e）=-/（X）（其中e=2.71828…），且在区间匕2句上是减函数,

令。=q,c=—,则/(a),/S),/(C)的大小关系(用不等号连接)为()

235

A./(^)>/(«)>/(C)B.f(b)>f(c)>f(a)

C.f(a)>f(b)>f(c)D./(a)>/(c)>/(/>)

6.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是()

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

7.已知函数“X)是定义在R上的偶函数，且在(0,+8)上单调递增，则()

066

A./(-3)</(-log313)</(2)B./(-3)</(2°-)</(-log313)

606

C./(20-)</(-log313)</(-3)D./(2)</(-3)</(-log313)

8.已知是平面内互不相等的两个非零向量，且同=1,万与5的夹角为150。,则忖的取值范围是()

A.(0,招]B.[1,73]C.(0为D.[73,2]

9.在平行六面体中，M为4G与的交点，若丽=£,而=九瓯=2,则与两相等的向

量是()

D.——1Q-+—17>+C-

22

X

10.已知函数/(x)=—^1+2018tanx+x2(加>0,机。1),若〃1)=3,贝等于()

A.-3B.-1C.3D.0

11.函数〃x)=ln|E］的大致图像为()

B.

A・3x0G/?,sinx0>1B.VXG/?,sinx^l

C.3x()eR,sinx0>1D.VxwR,sinx>l

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知点P是抛物线/=4》上动点，E是抛物线的焦点，点A的坐标为(0,-1),则詈的最小值为.

14.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于

齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率

为.

15.函数y=cos(2x+0)(nW0W;r)的图象向右平移g•个单位后，与函数y=sin[2x+?)的图象重合，贝!|

16.已知数列｛《,｝满足=3q,且,+%+/=9,则1°8八火+%+%)=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足4=一1,%>0(〃22),S,="一向一9〃­，〃£N*,各项均为正

数的等比数列也,｝满足优=%也=。4

(1)求数列｛%｝,｛〃｝的通项公式；

(2)若3=%.也,求数列｛c,｝的前”项和7“

18.(12分)已知抛物线G：x2=2py(p>0)和圆G：(X+1)2+V=2,倾斜角为45。的直线4过抛物线G的焦点，

且4与圆G相切.

(1)求〃的值；

(2)动点M在抛物线G的准线上，动点A在G上，若G在A点处的切线交》轴于点8,设丽=必+砺.求

证点N在定直线上，并求该定直线的方程.

19.(12分)2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中，居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门

为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过

抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图：

(1)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(M，210),〃近似为这1000人得分的平均

值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求尸(50.5<Z<94)；

(2)在(1)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

(0得分不低于〃可获赠2次随机话费，得分低于〃则只有1次：

(«)每次赠送的随机话费和对应概率如下：

赠送话费(单位：元)1020

2]_

概率

33

现有一位市民要参加此次问卷调查，记x（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列.附:

V2TO=14.5.若Z~N（〃,S2）,则P（〃一b<Z<〃+5）=0.6826,P（〃一2S<Z<〃+23）=0.9544.

20.（12分）在AABC中，角A,民C所对的边分别是凡"c,且2sin2（B+C）—3cosA=0.

（1）求角A的大小；

（2）若3=%，。=2指，求边长c.

4

21.（12分）（1）求曲线y=V和曲线y=«围成图形的面积;

cos20"

（2）化简求值:

cos35°V1-sin20

22.（10分）已知函数/（x）=（x-l）2+o¥-alnx

（I）若。2—2讨论/（x）的单调性；

（II）若a>0,且对于函数/。）的图象上两点片（币/（%）），6卜2/（々））（玉<々），存在/e（西，％2），使得函数

/（X）的图象在x=x0处的切线///片鸟.求证：/<五强.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据四个列联表中的等高条形图可知，

图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，

它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D.

2.D

【解析】

先分〃为奇数和偶数两种情况计算出sin［卫畀乃］的值，可进一步得到数列｛4｝的通项公式，然后代入

%+%+%+…+/转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

解：由题意得，当〃为奇数时，sin=sin+^=sin=sin=-1,

当n为偶数时，sin(与总")=sin(〃乃+=sin5=1

2

所以当“为奇数时，4=一〃:当〃为偶数时，an=n,

所以4+%+%+…+出

=-12+22-32+42----1P+122

=(22-12)+(42-32)+---+(122-112)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

12x(1+12)

2

=78

故选：D

【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档

题.

3.A

【解析】

根据抛物线的性质求出点P坐标和焦点/坐标，进而求出点”的坐标，代入斜率公式即可求解.

【详解】

设点P的坐标为(毛,%),%>0,

由题意知，焦点厂(1,0),准线方程=

所以|丹4=毛+1=5,解得/=4,

把点P(4,%)代入抛物线方程可得，

%=±4,因为.%>0,所以%=4,

所以点M坐标为(-1,4),

代入斜率公式可得，kMF=^-=-l.

-1—1

故选：A

【点睛】

本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.

4.D

【解析】

由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.

【详解】

f4x+7y<50,°

设购买甲、乙两种商品的件数应分别x,>利润为z元，由题意<.z=x+L8y,

.x”N,

画出可行域如图所示，

【点睛】

本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断“，),是否是整数，是否是非负数，并准确的画出

可行域，本题是一道基础题.

5.A

【解析】

因为,f(x+〃)=-/(x),所以/(x+4e)=/(x),即周期为4,因为/(力为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]

示意图，如图/(X)在(0,1)单调递增，因为52<2$.N<2工23<32ca<3§.♦.0<c<a<h<l，因此

.f(0)>/(a)>/(c)，选A.

(1)函数/(x)为奇函数o/(x)=-/(-x),函数f(x)为偶函数o/(x)=/(-X)(定义域关于原点对称)；

(2)函数/(x)关于点(a,6)对称<=>/(%)+/(-x+2a)=2b,函数/(x)关于直线x=相对称<=>/(%)=/(-x+2m),

(3)函数周期为T,则/(x)=/(x+T)

6.D

【解析】

利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.

【详解】

当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正

确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它

们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确.综上，真命题是②④.

故选：D

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题.

7.C

【解析】

根据题意，由函数的奇偶性可得/(-3)=/(3),/(-log313)=/(log313),又由2°6<2<log313<log327=3,

结合函数的单调性分析可得答案.

【详解】

根据题意，函数“X)是定义在R上的偶函数，则/(-3)=f(3),f(-log3在)=/(1为313),

06

有2'<2<log313<log327=3,

又由〃力在(0,+。)上单调递增，则有/(2°6)</(_k)g313)</(—3),故选C.

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题.

8.C

【解析】

试题分析：如下图所示，而=昆4万=5,则恁=丽=万一5，因为4-坂与日的夹角为150,即ZZMB=150°,

:i,所以

所以乙4。6=30°,设NDBA=6,则0＜。＜150。，在三角形曲中，由正弦定理得

sin30°sin。

\b\=———xsin6=2sin。，所以0＜网＜2,故选C.

11sin30°11

D

考点：1.向量加减法的几何意义；2.正弦定理；3.正弦函数性质.

【解析】

根据空间向量的线性运算，用作基底表示BM即可得解.

【详解】

根据空间向量的线性运算可知

BM=BBX+B^M

一1-----

=AAl+-BiDl

=丽+：屏+画

=AAt+^-AB+AD)

因为AB=a,AD=b,AAi=c,

则方;+；川方+南)

1-17一

=——a+—b+c

22

——1-1--

即=——a+-h+c,

22

故选：D.

【点睛】

本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.

10.D

【解析】

分析：因为题设中给出了/(1)的值，要求/(—1)的值，故应考虑了(力,/(一力两者之间满足的关系.

X

1V-1

详解：由题设有f(-x)=-------2O18tanx+x2=----------2018tanx+x2,

m~x+1mA+1

故有〃x)+/(—x)=l+2x2,所以〃1)+〃T)=3,

从而/(一1)=0,故选D.

点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满

足的关系.

11.D

【解析】

通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.

【详解】

1—jr11

函数“力:比;—的定义域为{x|xr±l},当％=二时，/(-)=-ln3<0,排除B和C；

当x=—2时，/(-2)=ln3>0,排除A.

故选：D.

【点睛】

本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.

12.C

【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.

【详解】

•全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题/>：Vxe/?,sinx<l,

—>p:3x0e7?,sinx0>1.

故选：c.

【点睛】

本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

10•-----

2

【解析】

过点P作垂直于准线，加为垂足，则由抛物线的定义可得9=尸产，

PFPMPF

则£C=U_=sin/PAM,ZR4M为锐角.故当Q4和抛物线相切时，二的值最小.

PAPAPA

再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得竺的最小值.

PA

【详解】

解：由题意可得，抛物线d=4y的焦点口（0,1）,准线方程为y=T,

过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得PM=PR,

PFPM

则——=——=sinZPAM,NRU7为锐角.

PAPA

故当NP40最小时，”的值最小.

PA

设切点P（26,a）,由y=的导数为y'=gx,

则PA的斜率为-2G=G=二二?，

227a

求得4=1,可得P（2,l）,

:•PM=2,PA=2V2>

PM

sin4PAM

PA2

故答案为：叵.

2

【点睛】

本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.

1

14.

3

【解析】

分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.

详解：由题意可知了，比赛可能的方法有3x3=9种，

其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，

田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，

31

结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为。=§=§.

点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.（1）基本事件总数较少

时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.（2）注意区分排列与组合，

以及计数原理的正确使用.

5乃

15.—

6

【解析】

根据函数y=Acos（ox+。）图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得。满足的方程，结合

题中。的范围即可求解.

【详解】

由函数y=Acos（ox+。）图象的平移变换公式可得，

函数丁=85（2%+。）（一乃〈04乃）的图象向右平移、个单位后，

得到的函数解析式为y=cos121X-+°=cos(2x+e-〃),

/、

71

因为函数丁=sin2x+=cos—2xH——cos---2x=cos2x---

(i)23j16I6/

的图象重合,

所以函数丁=以%(2彳+0-乃)与函数？=cos[2x——]

JI51

所以0—4=----1-2攵肛攵£Z,即°=：---F2Z肛攵£Z,

66

因为一%《◎«%,所以0=咚5TT

6

故答案为:学

6

【点睛】

本题考查函数y=Acos(ox+夕)图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属

于中档题.

16.-5

【解析】

数列｛〃,,｝满足%=34知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得bgj%+%+%)的值即

可.

【详解】

,••4+1=3。“，

数列｛4｝是以3为公比的等比数列，

又〃2+4+%=9,

:.%+%+%=9x3,=3、，

**.log[(%+%+%)=TogB=-5.

3

故答案为：-5.

【点睛】

本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)=3〃-4；hn=2"(2)7；,=(3〃-7卜2"+7

【解析】

（1）由S,=2=9*1化为4川2=6s“+9〃+1,利用数列的通项公式和前〃项和的关系，得到｛%｝是首项为1,

6

公差为3的等差数列求解.

（2）由（1）得到C.=（3〃—4>2"T,再利用错位相减法求解.

【详解】

（1）...s.=丝出二变11可以化为q2=6S“+9〃+1,

:.a；=6S,i+9（〃-l）+l,

■-a,J-at；=6an+9（n>2）,

・4；=（4+3）-，

又Q〃22时，an>0

a,l+l=a.+3（〃22）

二数列｛4｝从a2开始成等差数列，

4=-1,代m入iSc=-aa”n,」--一---9-〃--一--1

"6

得。2=2,a>—q=3

；.｛4｝是首项为1,公差为3的等差数列，

=3〃-4,

b｝=a2=2,0=%=8,bn-2〃.

（2）由（1）得q,=（3〃—4>2"T,

Tn=-1-20+2-2'+?”+（3“一4>2"T,

27；与一10622+?+（n-）•",

二两式相减得

-7；,=-l+3（2'+22+?--+2"T）一（3〃一4）-2”,

=-l+6（2n-'-l）-（3n-4）-2n,

.•工=(3〃-7).2"+7.

【点睛】

本题主要考查数列的通项公式和前"项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18.(1)，=6；(2)点N在定直线y=3上.

【解析】

(D设出直线4的方程为丫=》+合，由直线和圆相切的条件：d=r,解得

(2)设出M(加,-3),运用导数求得切线的斜率，求得A为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N在定直线

上；

【详解】

解：⑴依题意设直线4的方程为、=、+勺

由已知得：圆。2：*+1>+尸=2的圆心6(-1，。)，半径/■=&，

因为直线4与圆G相切，

,1+£

所以圆心到直线4：y=x+§的距离［=2=&,

|一1+4

即|2』,解得。=6或。=一2(舍去).

所以。=6；

(2)依题意设M(m,-3),由(1)知抛物线G方程为V=12y,

2

所以y=三，所以y'=J,设A(X|，X),则以A为切点的切线，2的斜率为人=3，

12o6

所以切线/，的方程为>=4(X一占)+乂.

O

令X=0,丫=一,菁2+乂=一^乂12乂+乂=一乂，即，交轴于8点坐标为(0,-y),

66

所以MA=(x,-tn,y,+3),MB=(一加，—y+3),

・•.MN=MA^MB=^x.-2/w,6),

/.ON=OM^-MN=(x}-;n,3).

设N点坐标为(%,y),则y=3,

所以点N在定直线y=3上.

【点睛】

本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，

考查化简整理的运算能力，属于综合题.

19.(1)0.8185(2)详见解析

【解析】

(1)利用频率分布直方图平均数等于小矩形的面积乘以底边中点横坐标之和，再利用正态分布的对称性进行求解.

(2)写出随机变量的所有可能取值，利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式，再列表得到其分布列.

【详解】

解：(1)从这1000人问卷调查得到的平均值〃为

//=35x0.025+45x0.15+55x0.20+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75

=65

•.•由于得分Z服从正态分布Ng210),

0.6826+0.9544

P（50.5<Z<94）=P（65-14.5<Z<65+2x14.5）=--------------=（n）.o0i18o5c

2

（2）设得分不低于〃分的概率为p,p=P（Z2〃）=g

02251

（或由频率分布直方图知p=0.025+0.15+0.2+-^―=0.5=-）

法一：X的取值为10,20,30,40

P（X=10）=1x2=1

233

P（X=20）=g11227

x-----1-----X—X—=——

323318

P（X=30）=；xC212

—X—

339

p（X=40）=，xjx』=L

'723318

所以X的分布列为

X10203040

]_721

P

318918

法二：2次随机赠送的话费及对应概率如下

2次话费总和203040

2211

p—X——X—

33鸣W)33

X的取值为10,20,30,40

121

P(X=20)=-xl+ix-=—

,7232918

142

P(X=30)=]X§=5；

P(X=40)」XL-L；

'72918

所以X的分布列为

X10203040

2721

p

3Ti918

【点睛】

本题考查了正态分布、离散型随机变量的分布列，属于基础题.

20.(1)|；(2)V6+V2.

【解析】

(1)把8+。=乃一4代入已知条件，得到关于cosA的方程，得到cosA的值，从而得到A的值.

(2)由(1)中得到的A的值和已知条件，求出sinC,再根据正弦定理求出边长c.

【详解】

(1)因为A+B+C=»,2sin2(S+C)-3cosA=0,

所以2sir?A-3cosA=0，2(l-cos2A)-3cosA=0,

所以2cos2A+3cosA_2=0，BP(2cosA-l)(cosA+2)=0.

因为cosAe(-l,l),所以cosA=g,

因为Ae(O,乃)，所以A=g.

(2)sinC=sin(A+=sinAcosB+cos/LsinB

V21V2V6+V2

-------X1X--------=

2-----2----224

a

在ZVLBC中，由正弦定理得-9

sinCsinA

2V3

所以娓+6V5»解得。=遥+啦.

42

【点睛】

本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.

21.(1)-(2)V2

3

【解析】

(D求曲线y=f和曲线y=«围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1,然后求6-好在区间［0』

上的定积分.

(2)首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出cos20°=^(l-sin20°).(cosl00+sinl00),

cos35"=cos10+sin10

然后再整体代入可得;

【详解】

解:

«围成的图形面积

(2)cos20c=Vl-sin220°=J(1一sin20)(1+sin200)

=J(l-sin20).“cos10°+sinl0°)

=Jl-sin20)•(cos100+sin10°)

cos35°=cos(45°-1())=cos45°cos10°+sin45°sin10°

(cos10+sin10)

cos20°J(1-sin20")•(cos100+sin10)

6

•.cos35°J1—sin20。f触10。+sinl(T)J-in20。

【点睛