第5讲 几何图形为背景的特殊四边形-冲刺2022年中考数学压轴题上海

第5讲几何图形为背景的特殊四边形

-(2022青浦、崇明、宝山、嘉定、闵行一模25题解法分析＋经典变式练）

教学重难点

l．理解平行四边形的性质和判定；

2．能应用平行匹边形的性质和判定进行相关计算和证明；

3．培养学生能在点的运动过程中寻找平行四边形，继而解决相关问题；

4．培养学生分类讨论的能力，能应用分类讨论思想解决相关问题；

5．体验运动过程，培养学生动态数学思维能力。

【备注】：

l．根据后面两个图让学生回顾平行四边形的性质和判定，为后面的例题讲解做好准备；

2．部分地方引导学生填空，让学生自己回顾。时间大概5分钟。

平行四边形的性质：

对边平行J.相子必［对角伐互相平兮

对角相等中心对森汾彩

平行四边形的判定：

I，角，，对角相等的四边彤

2边:(J)丙值对边今剔平行的四边彤，＇

＠面值对边令扒相等的四边彤，＇

＠一值对边平行且相等的四边形。

3对角钱，，对角伐主相平今的四边彤

【备注】：

l．以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；

2．在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一

些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自已发现、领

悟题目的意思；

3．可以根据各题的“教法指导“引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生

计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；

4．例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个

问题后面有答案提示；

5．引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；

6．部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；

7．每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下

讲解。

例1.(2022青浦一模25题）在四边形ABC肛P,ADIiBC,AB={§,AD=2,DC=2,{§,

-tan乙ABC=2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF,且乙BEF

＝乙DCB.

(1)求线段B组勺长；

(2)当FB=F职，求线段B庉勺长；

(3)当点礁线段4励延长线上时，设fJE=x,BF=y,求y关千舶函数解析式，并写出x

的取值范围．

AED

BFCc

（备用图）

【解答】解：(1)如图1，过点A、D分别作Af!..lBC、DG..lBC,垂足分别为点l/、点G.

ED

r-..尸

..

..

..

1七－一－·~c

FMG

图1

:.A/IllDC,

·:ADIiBC,

:．四边形AHCD,是矩形，

:.AD=HG=2,AH=/JG,

在Rt/:..,.AB历飞

tan乙ABC=2,A庐乔，

骨＝2,

:.AH=2B/J,

·:A片＋朋＝威，

:.(2BH)红朋＝（五）2,

:.BH=1,

:.AH=2,

:.DG=2,

在RtAD6叫，

沉＝2森，

:.CG＝二司（讨正了＝4，

:.BC=Bff+-HG+GC=1+2+4=7;

(2)如图］，过点E作风1..LBC,垂足为点从

:.AHi/EM,

·:ADIiBC,

:．四边形AI-IiIfE是矩形，

.".EJW=AH=2,

在RLAD6叫二1,DG=2,CG=4,

:.tan乙DCB=坠＝上，

CG2

·:FB=FE,

:.乙FHB=乙／访'.

·:乙I,、EB＝乙从？B，

：．乙FBE＝乙从？B，

1

:.tan乙FBE=...!:.....

2

:．堕＝上，

BJl2

:.BM=4,

在Rt6EFA忤，FM+EJ!=Fi!,

:.(4-FB)2+i=F,片，

:.BF=—5;

2

(3)如图2,过点E作伈V//DC，交比的延长线于点N.

A

NE

BF,·

G0_

图2

·:DEiiCN,

:．四边形DCNt:是平行四边形，

.'.DE=CN,乙仪？B=-乙EIVB,

．．飞FEB＝乙DCB,

：．乙FEB=乙BVB,

又？乙EBF＝乙NBE,

:.6BEF(/)6/3JVE,

:．翌＝竖

BEBN

:.BF=BF•R]\r,

过点E作EQ上BC,垂足为点从

则四边形D6OE是矩形，

:.EQ=DC=2,

:.BQ=x+3.

:．昭＝0矿＋闵＝（入斗3)2+z2=i+6对13,

:.y(7+x)=i+6x+l3.

x""+6x+1321蠢

··y(O<x<:)·

7+x2

例2(2022崇明一模25题）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E,联结

DE，将ADE绕点D针旋转90°,E点落在点F处，联结EF,与对角线BO所在的直线交千点

/I{，与射线DC交千点凡求证：

AADD

E

BFc"c

（凸川｀｝｀＆川1寸）

1

(1)当AE=－时，求tanLEDB的值；

3

(2)当如在线段AB上，如果AE=x,FM=y，求y关千x的函数解析式，并写出定义

域；

1

(3)联结AM，直线胱与直线BC交于点G,当BG=－时，求A咱勺值．

3

【小问］详解】解：过点月乍EH上BD与H,

A

D

E

BcF

1

？止方形的边长为l,AE=~,

3

12

:.EB=1-AE=1--:-=-=-,

33

·:BD为正方形对角线，

·'，出严分乙ABC,

:.乙AB[)=45°'

?EH上BD,

:.乙BEf/=180°－乙EBf/-乙EHB=l80°-45°-90°=45°,

:.EH=BH,

2五✓1

.·.EH=Bf/=BEsin45=-=-x—=—,AB==BDcos45°,

323

5

:.BD=l+—＝五，

2

心2&

:.DJ/=DB-B/f=J-=,

33

5

EH31

tan乙EDB=—==-·

HD2占2'

3

【小问2详解】解：如上图，·:AE=x,

:.BE=l-x,

？将丛ADE绕点阵十旋转90°，得到丛仄咒

:.CF=AE=x,ED=FIJ=归厅＋AE2＝汇了，

...BF=BC+C户l+x,

在Rt凶EB吽萨五百五尸＝J（l-x)2+（l+x)2＝五三了，

·:乙ED庐90°,ED=F!J,

:.6DEP为等腰直角三角形，

:.乙DFE立DEF=45°,

:.乙EB胪乙MFD=45°,

立EAIB=LD.航

：心BEM0公叩lf,

BEBM1-xBM

..•=，即=

DFFM卢y'

．：乙D座互Bl1=45°，乙E｀Bli1F,

...AE即O龋,ffF,

EDEMj三了五－y

＝，即=

..BFBM1+xBM

.·.l—Xx-汇了=-BMx五三5—y

~--l+xy..BM

.1-x五－y

I+xy

.·.,l-X+1+x＝扣－y+y即2＝五了歹，

l+xyl+xy

1

:.y=~(l+x)五三7,O~x~l;

2

1

【小问3详解】解：当点GBC上，BG=－，

3

？四边形ABC妫正方形，

:.AD//BC,

:，乙DA胪/BG/lf，乙应佑乙GBM,

...AB6M勺心肌M,

1

:.BGBM31,

==-=-

DADM13

·.．由(2)知丛BE归AFD,If,

BMBE

MFDF

·:DB=.JAB2+AD2=5,

1

:.BM=—DM,BM+DM飞，

3

$

:.BM=—,

4

五：

:.41-x,

=

y~

1

·:y=~(l+x)五三了，

2

5

4l-X21

:.l＝即l－x=-

—(l+x)三言2,

2

五拉

解xl=了凸＝一了舍去；

A

D

E

c,F

BG

1

当点0在CB延长线上，BG=－，过M但机上BC,交直线BC于L,

3

·..CB//AO,

:.:.乙DAA仁乙BGM,乙AD佑乙GB/rf,

:.ABCM(/)AO儿If,

l

:.BGBM31,

==-=—

DADMl3

1

:.BM=~DM,

3

1

:.BM=::....BD,

2

．：乙LBM=乙CB肛45°,肌J_BC,

心MLB为等腰直角三角形，

...llfL//CD,

占乙LMB=乙CDB,乙L＝乙从邓，

：心肌B(/)6DCB,

BMML1

==-,C[)=1,

BDDC2

1

:.肌＝－

2

·:ML//BE,

占乙L＝乙F庞，乙LMF=乙BEF,

:.6UfF(/)6BEF,

LMLF

..=

BEBF

13

·:BE=A~AB=入寸，Lr-LB+-BC+Cr-~+l+x=~+x,BF=BC+CF=l+x,

22

13

.--+X

22

x-ll+x

整理得：2x2=4,

解得易＝五，x4=－E舍去，

D

F

占庄的值为—一5或J.

2

例3.(2022宝山一模25)如图，已知正方形ABCD,将A~尧点战陟寸针方向旋转n°(0<n<90)

到A府勺位置，分别过点CD作CEl_BP,DFl_BP,垂足分别为点E、F.

A

C

(1)求证：CE=EF;

DP1

(2)联结CF,如果=—，求乙ABP的正切值；

CF3

五

(3)联结AF,如果AF=——AB,求n的值．

2

【小问1详解】：如图所示，作CG上CE,交FIY延长线丁6点，

·:CE上BP,.DF上BP,CC上CE,

：，乙EFC=乙FE仁乙EC(}:::.4BE仁90°,

．．．四边形FEC妫矩形，乙0=90°'

？四边形ABC妫正方形，

：．乙BC炉90°,B仁!JC,

．：乙BC庄乙BCE斗乙ECD,乙ECG=乙ECD+乙DCC,

：．乙BCE立ECD=乙HCJJ+乙仪右，即：乙BC住乙DCC,

在6BC即6DCG中，｛二言CG

BC=DC

:.6.BCE竺6.DCC(MS),:.C住CC,

:．四边形FEC衍3正方形，．．．CE=EF;

Al

、

、

、G

1

I

I

I

IC

B

【小问2详解】解：如图所示，连接CF,

由（l)知，CB=EF,CE上EF，则丛C应为等腰直角三角形，

由旋转的性质得：乙PA住矿，卅切切，

11

:.乙PAB=90°+n°,乙AP住一(180°－乙PAD)=90°-~n°,

22

·:AP=AB,

11

:.乙AP胪一080°-LPAB)=45°--:-n°,

22

：．乙FPD=乙APD-乙AP片45°'

·:DF_l_AB,

:.乙DFP=90°,

:.6.DFP也为等腰直角三角形，PF=DF,

:．公DFP0公CEF,

DP1

··-=-

CF3

PFDPl

..=-=­

FECF3

设PF=DF=x，则F住CE=3x,

由(l)知匹边形Cf穴为止方形，

:.FC=FE=3x,

:.DC=FG讥翌X,

．．心BCh至公仪万，

占BE=D0=2x,

BE2x2

:．在Rt6.B/Ji冲，tanLBCE=—=—=－，

CE3x3

．：乙ABP+乙EBCc90°,乙EBC＋乙BC住90°'

:.乙ABP=乙BCE,

2

:.tan乙ABP=tan乙BCE=~;

3

AI\/

\

、G

I

I

II

II

BC

【小问3详解】解：？0<n<90,．．．如图所示，连接A阱U对角线AC,

由（2)可知，乙EFC=45°，乙坪D=90°':．乙CFD=15°,

·:A切正方形ABC励对角线，占乙CA庄45°,AC＝迈肮．．．乙CA庄乙CFD,

:.点A、C、[J、冈奶荩共圆，．·.乙AFC=乙A仪芍oo'

拉l

·..AF=—AB,:.AF=—AC,

22

AF1

则在RtAAF砰，sin乙ACF=——=－，

AC2

·:乙ACJ'为锐角，．．乙JIC户30°'乙FJIC=90°-30°=60°,

·:乙CJID=15°,:.乙FJID=60°-45°=15°,

·:AP=A[),AP=AF,PF=[)R...^』AF腔AAF[),

:.乙FAD=乙FAP-=15°,:.乙PAD=30°,:.rF30.

B-c

例4.(2022嘉定一模25题）在平行四边形ABC肛刁，对角线AC与边C庭t直，且i-i，四边形

AC4

ABCD的周长是16,点E是在儿延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，乙CED=L.

CDP.

(1)如图l，如果点F与点颂i合，求乙AF庄勺余切值；

(2)如图2,点冈E边AB上的一点．设AE=x,BF=y，求y关千x的函数关系式并写出它的

定义域；

(3)如果BF:FA=l:2,求AC沉的面积．

EE

D

B

A

A-F(B)A

备用图

图1图2

【解答】解：（1)如果点l.？与点肌耜令，设肌与A必臼气点从

E

图1

·:AC..lCD,

:.乙DCA=90°,

？四边形ABC戊违平行四边形，

:.CD//AB,

：．乙CAB＝乙从？11=90°'

在Rt6CA旰，设心＝3k,

..AB3

.::—'

AC4

:.AC=4k,

:.BC＝五产示了＝5k,

？四边形IlBC颂］周长是16,

占2(AB+BC)=16,

即2(3k+5k)=16,

:.k=l,

:.AB=3,BC=5,AC=4,

了四边形ABC废平行四边形，

:.AM=CM=上AC=2,

2

:.cot乙AFD=坐呈；

战2

(2)解：·:CD/IAB,

：．互沉＝乙J，加，乙C/)F＝乙AF从

．：乙CED＝乙CDF,

：．乙CED＝乙庄D,

:.6CDH(/)6DAF,

..·DE::DC,

沁rAD

由题意，得AD=BC=5,DE=x-5,DC=AB=3,AF=3-y,

.•.x-5::_3,

3-y5

534

:.y=一一x十一一，

33

定义域是：5<x~且生

5

(3)觥：点戌E射线AB卜都能得到：6CDE(/)6DAF,

·Si:i..CDE,DC

..s=(—)2,

凶DAFAD

＠当点卜在边Ajj上，

·:BF:/<"11=1:2,AB=3,

占AF=2,

由题意，得S^/)吓＝上AF•AC,

2

·:AC=4,

11

••.st:,.fJ.-产一汪•AC=-;::X2X4=4,

22

•sw~CDE,32

＝（一），

45

_36

:.s.6.C!Jt--—,

25

＠当点F在A所向延长线上，

._.BF:fJl=l:2,AB=3,

:.AF=6,

山题意，得S凶产=_!_AF•AC,

2

1

:.s.6.JJ.·J产一AF•AC=I2,

2

•sw~CDE,32

=

12（一5）

:.St:,.1:{)F=108

25

综上所述，AC肌的面积是且妇戈基座

2525

例5(2022闵行一模25题）已知四边形ABCD是菱形，AB=4,点E在射线CB

上，点F在射线CD上，且LFAF＝乙BAD.

(1)如图，如果L'BAD=90°,求证：AE=AF

ADF

EB

(2)如图，当点E在CB的延长线上时，如果L.ABC=60°,设

AF

DF=x=y,试建立Y与X的函数关系式，并写出X的取值范围

'AE—

EBC

(3)联结AC,BE=2,当丛从艾是等腰三角形时，请直接写出DF的长．

【小问l详解】解：证明：．．．四边形ABCD是菱形，乙BAD=90°,

···菱形ABCD是止方形，

:.L.BAE＝缰C=吵F=90°,AD=AB,

Q乙BAE＝乙DAF,

．．．碑E兰吵F(ASA),

:.AE=AF;

【小问2详解】解：如图1,

EB

图1

在AD上截取DG=DF,．．．四边形ABCD是菱形，

．．．吵F＝组C=60°,AD=AB=6,:.Af.兀F是正三角形，

．．．乙DFG=60°,GF=DF=DG=x,．．．乙4.GF＝乙ABE=l20°,AG=4-x,

AFAG4-x

·:LBAE=LDAF,．互侐EV)丛GF,.·.—=—,:.y=—(O<x<4);

AEAB4

【小间3详解】如图2,

A

.

EB-Hc

图2

当AE=AC时，作AHJ_CE于H,以F为圆心，DF为半径画弧交AD千G，作

FN..lAD于N,

I__1

:.CH=-:-CE=-:-x(4+2)=3,乙FND=LAHB=90°,乙D＝乙FGD,DG=2DN,

22

:.BH=BC—CH=4-3=1,

？四边形ABCD是菱形，

．·,心＝乙钮C,

．．．碑HOAFND,LAGF＝乙ABE,

.DNBH1

..-=-=-,

DFAB4

.DG1

..-=-@,

GF2

Q乙BAE＝乙DAF,

．＼碑EOA4GF,

.AGGF

..=,

ABBE

.4-DGGF

..=—@,

42

由0＠得，

8

GF=-,

5

8

:.DF=—,

5

如图3,

DN~·G

,............

:.:

;·

..:.

..F

...

E;\···'c

HB

囡3

当AC=CE=6时，作AHJ_CE千H,以F为圆心，DF为半径画弧交AD于G，作

FNJ_AD于N,

作BMJ..AC于M,

I

:.CM=~AC=3,

2

:.BM=~飞，

ll

由S丛BC=-;:AC-BM=-;:BC·AH得

22

6打＝4．AH，

3石

:.AH=—,

2

··.BH=JAB2-AH2=1,

2

由第牙种悄形知：碑HOAFGN,碑E0霾F,

GNBHlAGABI

..==-==-,

FGAB8'GFBE2

.DG14+DGI

..=—CD,=—@,

GF4GF2

巾＠＠得，

16

GF=—,

7

16

:.DF=—,

7

·:AB+BE>AE,

:.BC+BE>AE,

即CE>AE,

816

综上所述：DF=－或—.

57

-l【2021年崇明二模】(14分）如图，已知正方形ABC闪刁，BC=4,AC、B桄目交千点0,过点

A作射线A从LAC,点E是射线川止一点，联结0庞芝AB边千点F.以0E为一边，作正方形OECH,

且点A在正方形OE幼的内部，联结肌

(1)求证：6.HIX巨6.EAO;

(2)设BF=x，正方形0E吭彴边长为y,求y关千泊勺函数关系式，并写出定义域；

(3)联结AG，当6AEG是等腰三角形时，求B庉勺长．

A

G了\D

/D

D

c/护`C

C