中考数学综合题专题复习【平行四边形】专题解析附答案

中考数学综合题专题复习【平行四边形】专题解析附答案一、平四边形1．如图，在正方形中，E是边BC上一动点（不与点B、重），连接、点关于直线的对称点为C，连接AC并长交直线DE于P，是的中点，连接DF（）求FDP的数；（）接，请用等式表示AP、、三线段之间的量关系，并证明；（）接，若正方形的边长为2，请直接写eq\o\ac(△,)ACC′的面积最大值．【答案】（）；2）+DP2【解析】【分析】

，证明详见解析；（）2﹣（）明＝CDE和ADFCDF，可得＝

＝；（）辅助线构建全等三角形，证eq\o\ac(△,)DAP（SAS），得＝'，从而得是等腰直角三角形，可得结论；（）作高线，eq\o\ac(△,)的面积中底边AC为定值2，据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，'G最大，eq\o\ac(△,)ACC的面积最大，并求此时的面积．【详解】（）对称得＝'D＝CDE，在正方形中AD＝，＝90°，AD＝D，是AC的点，DF，＝CDF，FDP＝'+EDC＝

＝；（）论+DP＝

，理由是：如图，作AP交PD的长于P，

'＝，在正方形中DA＝BABAD＝，DAP＝，由（）知FDP＝DFP＝APD＝，P＝45°，AP＝'，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)DAP中DADAP

，

APBAPDAP'（），BP＝DP'，DP＝＝AP；（）图，过作'GAC于，S

＝'C

'G，eq\o\ac(△,)ABC中＝＝，AC＝

(

2

2)

2

，即AC为值，当G最值eq\o\ac(△,)的积最大，连接，AC于O，在BD上，G最，此时与O重，

ACCACCCD＝'D＝

，OD

＝，C'＝

﹣，S

1＝•22

．【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．已知：如图，在平行四边形ABCD中O为角线BD的中点，过点的线EF分交，于E，两，连结BE，．（）证eq\o\ac(△,)DOEBOF．（）当DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．【答案】（）明见解析；2）DOE=90°时，四边形为形，理由见解析【解析】试题分析：1）用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得eq\o\ac(△,)DOE（）（）先利用组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，可得出答案试题解析：1）在ABCD中，为对角线BD的点，，EDB=，eq\o\ac(△,)EOD和FOB中，DOEBOF（）（）当DOE=90°时四边形BFDE为形，理由：DOEBOF，OE=OF又，四边形EBFD是行四边形，，，四形BFDE为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．

3．如图，四边形ABCD中，，，，点为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点，连接CF．（）证：四形是形；（）AD=1，，求的长．【答案】（）明见解析223【解析】（）AF，=，=BFD，点E为的点，=，FBCBFDeq\o\ac(△,)BCEeq\o\ac(△,)FDE中CDF

，

DEBCE，DF，又DFBC，四形BCDF为行四边形，BDBC，四形BCFD是菱形；（）四形BCFD是菱形，BDDF=BC，在eq\o\ac(△,)中，AB

BD2

AD

2

3

，AF=AD+，在eq\o\ac(△,)中，BF

AB

=24．如图eq\o\ac(△,)中，AD是边BC上的中线，过点A作AEBC，过点作AB，与AC、分交于点O、，接EC．（）证：AD=EC；（）当BAC=Rt，求证：四边形ADCE是菱形．【答案】（）解析；（）解析【解析】【分析】（）证四边ABDE是行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可；（）由=90°，是边BC上中线，得AD==CD即可证明【详解】(1)证AEBC，AB

四形是行四边形，AE=，是边BC上的中线，BD，AE=DC，又AE，四形是行四边形.(2)证：BAC，是上的中线=四形是行四边形，四形是形【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定根图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关.5．如图（）正方形中点是CD边一动点，连接AE，BFAE，垂为G交于（）证：＝；（）接，平分，图2）求证：点E是CD中点；（）（）的条件下，连接CG，图3）求证：CG＝．【答案】（）解析；2）解析；）CG＝见解析．【解析】【分析】（）eq\o\ac(△,明)ADE）可解决问题．（）点作GF，GE垂足分别为点，．办法证明＝，可解决问题．（）长AE，交于点P，（知DE＝，用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BCCP即可．【详解】（）明：如中

在正方形中，＝，BAD＝D＝90，＝又AE，＝＝，1＝3eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中，1=3BA=AD∠BAF=D（＝．（）明：过D作DMGF，GE，足分别为点，．由（）1＝，BGA＝AND＝，＝（＝，又平分EGF，GF，GE，＝，＝AG，又AFG＝，AGFDMFDFM（AAS）＝＝DE

1＝CD2即点是CD的点．（）长AE，交于点P，（知DE＝，

ADE90°DEACEP，PCE（）＝，又，BC＝PC，在eq\o\ac(△,Rt)中BC＝，＝

BP＝，＝．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．图1、2是张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（）图1中出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且；（）图2中格点为顶点画一个正形，正形面等于（）等腰直角三角形MON面的4倍，并将正方形分成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面没有剩余（画出一种即可）．【答案】（）图参见解析；2作图参见解析【解析】试题分析：1）点O向线段OM作线，此直线与格点的交点为N连接MN即；（）据勾股理画出图形即可．试题解析：1）点O向线段OM作线，此直线与格点的交点为N连接MN，如图1所示；

（）腰直角角形面积是5，此正方形面积是，如图所示；于是根据勾股定理画出图：考点：作图﹣用与设计作图勾定.7．如图，在正方形中，E是边AB上的一动点，点F在BC的延长线上，且CF，连接DE，，.FH平交BD于.（）证：；（）证：DHDF：（）点H作⊥EF于，用等式表示线段，HM与EF之间的数量关系，并证明.

【答案】（）见解析；2详见解析；（）HM，证明详见解析【解析】【分析】（）据正方性质，CFAE得DEDF.（）

△CFD

，得DE.由

，BD平

ABC

，得

45

.因FH平EFB所以EFH.由EFH所以DH.

,（）点H作

HN

于点

，由正方形

ABCD

性质，得BD

AB2AB

.由平

，EF,HN

，得.因为HBN

，所以

BH

HNsin

2HM

.由

EF

DFcos45

DF2DH

，得EF.【详解】（）明四边形是方形，AD，EAD

.

EADFCD

.CFAE。

CFD

.

ADE

.

CDFADE

..（）明DF.

eq\o\ac(△,≌)CFD

，

，

DEFDFE

.

，平，

45

.FH平分，BFH.

22

DBFBFH

,EFH

,DHFDFH

.DHDF

.（）EFAB.证明：过点H作

HNBC

于点

，如图，正形

ABCD

中，AD，BAD90

BD

AB

2AB

.FH平分

EFBHMEF,

HN

，.

，

BH

HNsin

HNHM

.

2AB2.

EF

DFcos45

DF

DH

，HM.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函.8．正方形ABCD，在BC上，点在角线上，连AE．(1)如1，连，EF，＝，4，eq\o\ac(△,求)的周长；(2)如2，若＝，点F作AC交于G点在线段FG上不端点重)，连AH．若＝，求证：＝HG+2

FC．

【答案】（）5；）证明见解析【解析】【分析】（）正方形质得出＝BC＝＝4，B＝＝90°，ACB＝ACD＝BAC＝ACD＝，得出＝

2

＝4

2，求出＝

2，＝﹣＝，eq\o\ac(△,)CEF是等腰直角三角形，得出EF＝2，＝＝，eq\o\ac(△,)AEF中由勾股定理求出，可得eq\o\ac(△,)AEF的周长；（）长GF交BC于，连接，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)CFG是腰直角三角形，得出＝CG＝2，证出BM＝DG，明eq\o\ac(△,)AFGeq\o\ac(△,)ADG得FG＝，证eq\o\ac(△,)ABEAFH得出BE＝，可得出结论．【详解】（）四形是方形，AB＝＝＝＝，B＝D＝，ACB＝ACD＝＝＝，AC＝

2＝

2，AF＝＝12

2，AF3

2，CF＝AC﹣AF＝

2，，是等腰直角三角形，＝＝

2，＝＝，在eq\o\ac(△,)AEF中由勾股定理得：＝

2

EF

2

，AEF的周长＝+EFAF＝22252；（）明：延GF交于M，连接AG，如图2所：eq\o\ac(△,)CGMeq\o\ac(△,)CFG是等腰直角三角形，CMCGCG＝

2CF，

BM＝，AFABAF，在eq\o\ac(△,)AFG和eq\o\ac(△,)中

AGAGAF

，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ADG（），FG＝，＝，BAC＝EAH＝，BAE＝，FG，AFH＝，eq\o\ac(△,)ABE和AFH中，AFHBAE

，ABEAFH（ASA）BEFH，BM＝+EMFG＝+，EM＝HG，＝EMCM，＝＝

，＝HG

．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．9．（）图1，矩形

ABCD

折叠，使

落在对角线BD上折痕为BE，

C

落在点

C

处，若∠ADB42

，则的度数为_____o.（）明手中一张矩形纸片

ABCD

，，

AD

.（画一画）如图，点E在张矩形纸片的边上将纸片折叠，使AB落

CE

所在直线上，折痕设为

MN

（点M

，

分别在边，

上），利用直尺和圆规画出折痕

（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

（算一算）如图，点F在张矩形纸片的边BC上将纸片折叠，使FB落射线上，折痕为GF，分落在点A

，

处，若

AG

，求

长【答案】（）；2）一；见解析；算一算：

【解析】【分析】（）用平行的性质以及翻折不变性即可解决问题；（）画一画，如图中延长BA交的延长线由G，的平分线交AD于M，BC于，线即所求；【算一算】首先求出GD=9-

，由矩形的性质得出BC，，平线的性质得出DGF=，由翻折不变性可知BFG=DFG，证出DFG=，等腰三角形的判定定理证出DF=DG=

，再由勾股定理求出CF，可得BF，利用翻折不变性，可知FB′=FB，此即可解决问题．【详解】（）图1所：四形是形，，ADB=，由翻折的性质可知，DBE=EBC=故答案为．（）画一画如图所示：

，

22【算一算】如所：AG=

，，GD=9-

，四形是形，，BC=AD=9，DGF=，由翻折不变性可知，BFG=DFG，DFG=，

，CD=AB=4，在eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理得CF=

16DFCD2，3BF=BC-CF=9

11

，由翻折不变性可知，FB=FB

，′D=DF-FB′=

.【点睛】四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决

问题．10．图1，正方形ABCD中，，P是对角线上任意一点，连接，过P作PE交直线AB于E．（）求：PC=PE;（）延AP交直线CD于点F.①如2，点F是CD的中点，eq\o\ac(△,)APE的积；②若ΔAPE的面积是

，则DF的长为（）如3，在AB上连接EC交BD于M,作E关BD的对称点，接，，过点P作PNCD交EC于点，接QN，，MN=面积是

，则MNQ的【答案】（）；（2），或；）

【解析】【分析】（）用正方每个角都是90°对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得;（）eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)的高，由面积法容易求出这个高的从而得eq\o\ac(△,)PAE的和，并求出面积第2小思路一样，通过面积法列出方程求解即;（）据已经件证eq\o\ac(△,)是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面.【详解】(1)证：点P在对角线BD上，ADPPE，EPB+EBP+EPB=45°+90°-BPC=135°-BPC,＝∠DCP=BPC-PDC=BPC-45°,BPC-45°)=BPC,

PAE,PC=PE;（）如图，过点分别作PHAD,PG垂分别为H、延长交AB于点M.四形是方形，在对角线上，四形是方形，AB,设PH=PG=a,F是CD中点6，FD=3,SADF

=9,SADF

=

S

DFP

=

ADDFPG

,

,解a=2,又PA=PE,

APE

=

MP

,②设HP＝由可

APE

=

b6

,解得b=2.4或3.6SADFADPnDFP

=

ADDFPG

,

11DF22

,当b=2.4时，；当＝时，DF＝即DF的为4或9;（）图，

222222EQ关BP对，1＝22+3＝4,易eq\o\ac(△,)PNQPNC,6,7=8,EM=QM,NQ=NC,7=90°,MNQ是角三角形,设列程组72

,可得

ab=,

S

VMNQ

,【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键要注意运用数形结合思.11．图，已知矩形ABCD中E是上点，是AB上一点，EC，且＝．（）证eq\o\ac(△,)．（）DE＝，矩形的长为32cm，求AE的长．【答案】（）明见解析；2）

【解析】分析：1）据EFCE，求证．利用AAS即求eq\o\ac(△,)AEFDCE．（）用全等角形的性质，对应边相等，再根据矩形的长为32cm，即可求得AE的长详解：1）明EFCE，FEC=90°，，ECD+DEC=90°，．在eq\o\ac(△,)AEF和eq\o\ac(△,)DEC中，，．．（）：AEFDCEAE=CD．AD=AE+4．矩的长为32cm，（）．解得，）．答：AE的为6cm．点睛：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．12．题探究（）图，已知正方形的边长为4．和N分是边BC、上两点，且BM＝，接和，交于点P．猜想与BN的位置关系，并证明你的结论．（）图，已知正方形的边长为4．和N分从点B、同时出发，以相同的速度沿BC、方向向终点C和运动．连接AM和BN，交于点，eq\o\ac(△,)周长的最大值；问题解决（）图，AC为长为23的菱形ABCD的对角线ABC＝．和N分从点、同出发，以相同的速度沿BC、向终点C和A运．连接AM和，交于点P．eq\o\ac(△,)APB周的最大值．

【答案】（）BN，证明见解析；2APB周的最大值4+4

；3eq\o\ac(△,)的周长最大值2+4．【解析】试题分析：根据全等三角形的判定证eq\o\ac(△,)BCN，即可证得；（）图，以AB为边向外等腰直eq\o\ac(△,)，，EFPAE，于，接，证明，出EF的大值即可；（）图，延长DA到，得，eq\o\ac(△,)ABK是等边三角形，连接PK取，证明，出PK的最大值即可试题解析：1）论：BN．理由：如图中四形是方形，AB=BC，ABM=BCN=90°，ABM，BAM=CBN，CBN+ABN=90°，ABN+，APB=90°AM．（）图中，以AB为边向外作等腰直角三角eq\o\ac(△,)，，作EF于E，PB于G，接．EFP=G=90°，四形EFPG是形，AEB=90°，，

EA=EB，G=90°，BEG，，AF=BG，四形EFPG是方形，﹣BG=2PF=2EF，的大=AE=2

，APB周长的大值4+4

．（）图中，延长DA到K，使得，eq\o\ac(△,)ABK是边三角形，连接，PH=PB．AB=BC，ABM=BCN，，ABM，BAM=CBN，PN=BAM+ABP=CBN+ABN=60°，，，APB=180°，A、K、、四点共圆，KAB=60°，PBH是边三角形，，，KBH=ABP，，KBHABPHK=AP，PK的最大时eq\o\ac(△,)APB的长最大，当PKeq\o\ac(△,)外圆的直径时PK的值最，最大值为4，PAB周长最大值2+413．1）题发现：如图，等边三角形ABC中点M为BC边异于B、的点，以AM为作等边三

角形，连接CN，与的位置关系为；（）入探究如图，等腰三角形ABC中BA=BC，为BC边上异于、的点，以AM为作等腰三角形AMN，使，，接，探ABC与ACN的量关系，并说明理由；（）展延伸如图，正方形中，，M为边异于B、的一点，以AM为边作正方形AMEF，点为正方形AMEF的点，连接CN，BC=10，，试求EF的．【答案】（）AB；理由见解析；）ABC=；理由见解析；（）2；【解析】分析：1）eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)AMN为边三角形，得到AB=ACAM=AN且BAC=MAN=60°而得到CAM=MAN-CAM，即BAM=，证明BAMCAN，即可得到BM=CN．（）eq\o\ac(△,)，AMN为等腰三角形，得到：：且AMN根据相似三角形的性质得到

ABAC＝AMAN

，利用等腰三角形的性质得到MAN根据相似三角形的性质即可得到结论；（）图3，接，AN，据正方形的性质得到ABC=BAC=45°，MAN=45°，据相似三角形的性质得出

BM＝CN

，得到BM=2CM=8，再根据勾股定理即可到答案．详解：1）AB，理由如下：ABC与MN是等边三角形，，，BAC=MAN=60°，BAM=，eq\o\ac(△,)ABM与ACN中，AC

，

AMANABM（）B=ACN=60°，ANC+ACN+CAN=，ANC+BAM=CAN=BAN+ANC=180°

CN；（）ABC=，理由下：

ABAMBCMN

=1且ABC=，～AMN

ABAC＝AMAN

，AB=BC，

（ABC），AM=MNMAN=

（﹣）ABC=AMN，MAN，BAM=，ABMeq\o\ac(△,)，ABC=；（）图3，接，AN，四形ADBC，AMEF为方形，ABC=，MAN=45°，BACMAC=MAN﹣M