函数的奇偶性

1．3.2奇偶性第一章集合与函数概念学习导航偶函数和奇函数新知初探思维启动偶函数奇函数定义条件如果对于函数f(x)的定义域内_______一个x，都有f(－x)＝_____f(－x)＝_____定义结论函数f(x)叫做偶函数函数f(x)叫做奇函数图象特征图象关于_____对称图象关于______对称任意f(x)－f(x)y轴原点想一想具有奇偶性的函数的定义域有什么特点？提示：关于原点对称．做一做1.函数f(x)＝|x|是______函数(填“奇”或“偶”)．答案：偶2．若函数f(x)是奇函数且f(2)＝3，则f(－2)＝________.答案：－3典题例证技法归纳题型一函数奇偶性的判断：题型探究例1(2)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(4)显然函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(5)函数的定义域为R.当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)．综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．【名师点评】函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．题型二奇偶函数的图象问题如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．【解】法一：∵函数f(x)是偶函数，∴其图象关于y轴对称，补全图如图．由图象可知f(1)<f(3)．例2法二：由图象可知f(－1)<f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，∴f(1)<f(3)．【名师点评】由于奇函数、偶函数图象的对称性，因而如果知道一个函数是奇函数或偶函数，只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象．跟踪训练2．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．解析：由于函数f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称(如图)，所以f(x)<0的解集为{x|－2<x<0或2<x≤5}．答案：{x|－2<x<0或2<x≤5}题型三函数奇偶性的应用若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式．例3【名师点评】此类问题的一般做法是：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．题型四利用函数奇偶性求参数已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，求f(x)的解析式．例4【名师点评】

利用函数奇偶性的定义求参数(1)定义域含参：奇(偶)函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，可以利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数可解．答案：0

01．奇、偶函数的定义中f(－x)与f(x)的关系(1)偶函数：f(－x)＝f(x)⇔f(x)－f(－x)＝0.(2)奇函数：f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0.2．利用奇偶函数性质判断函数的奇偶性(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；(2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数；(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．方法感悟3．函数的奇偶性与单调性的差异奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．精彩推荐典例展示易错警示因忽视函数的定义域的限制而致误例5奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，且f(1－a)＋f(2a－1)<0，求实数a的取值范围．【常见错误】

(1)由f(1－a)<f(1－2a)得1－a>1－2a时，易忽视函数的定义域．(2)由不等式组确定a时易犯运算错误．【失误防范】

(1)解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式