新人教版(B)高中数学必修1指数与指数函数教案

指数与指数函数知识网络指数与指数函数构造简图画龙点晴观点a的n次方根：若xna(n1,nN)则x叫做a的n次方根.当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数记作：xna;当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）记作:xna;负数没有偶次方根,0的任何次方根为0.根式:式子na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数；当n为奇数时，nannan|a|a(a0)a；当n为偶数时，a(a0)。[活用实例][例1]写出使以下等式建立的x的取值范围：13135)(x2(1)x3x3;(2)(x25)(5x)x5.1[题解](1)只须x3存心义，即x3∴x的取值范围是(∞,3)∪(3,+∞);22(2)∵(x5)(x25)(x5)(x5)x5x5x5x5(5x)x5建立的充要条件是∴x的取值范围是[5,5]。[例2]化简yx22x13x33x23x1.[题解]∵3x33x23x13(x1)3x1x22x1x1x1(x1)2x(xx1(x1)y∴2(xmman是am的n分数指数幂：由n次根式定义,次方根，即：an

1)1).am，相同规定：m1m(a0,m,nN*且n1)anan;0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.rsaa整数指数幂的运算性质推行到有理指数幂：(ab)r[活用实例][例3]计算以下各式：1(7)02（1）1.5380.2542(323)6(2)363；412a38a3b2(123b)3a（2）a323ab4b3a2１312221)３2424233[题解](（）（1）原式=33

ars(a0,r,sQ)ars(a0,r,sQ)arbr(a0,b0,rQ)21427110;111a3(a8b)a3a(a8b)a3211211aa（2）原式=a32a3b34b3a32b38b.22122122[例4]已知a3+b3=4，x=a+3a3b3，y=b+3a3b3，求证：(x+y)3+(x-y)3为定值。122111[题解]因为x+y=a+3a3b3+3a3b3+b=(a3+b3)3，21121122112所以(x+y)3=(a3+b3)2=a3+2a3b3+b3，近似可得(x-y)3=(a3-b3)2=a3-2112a3b3+b3，22所以原式=2（a3+b3）=24=8（定值）。幂函数:函数y=xn叫做幂函数,此中x是自变量,n常数,nR.幂函数的图象和性质:[活用实例][例5]若a(1,0),则以下不等式中正确的选项是()A.2a>2-a>0.2aB.0.2a>2-a>2aC.2-a>0.2a>2aD.2a>0.2a>2-a[题解]依据幂函数y=xn,当时,在区间上是减函数可知,0.2a>0.5a>2a,即0.2a>2-a>2a兴,故应选B.1111111A.-2,-2,2,2B.2,2,-2,-2C.-2,-2,2,2D.2,2,-2,1-2[例6]如图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知2,1)n取2四个值,则相应曲线C1、C2、C3、C4的分别是(1111[题解]令x=2，则x2=4，x22,x-2=4,x2=2,x211x2x2x2,由图可知选B。1111f(x)x3x3g(x)x3x3[例7]（2003年上海市春招试题）已知函数55，．（1）证明f(x)是奇函数；并求f(x)的单一区间；（2）分别计算f(4)–5f(2)g(2)和f(9)–5f(3)g(3)的值，由此归纳出波及函数f(x)和g(x)的对全部不等于零的实数x都建立的一个等式，并加以证明．[题解]（1）函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，它对于原点对称．又1111f(x)(x)3(x)3x3x3f(x)55，故f(x)为奇函数．设x1、x2∈(0，+∞)，且x1＜x2，111111x13x13x23x231f(x1)1x23)(1)f(x2)55(x13115x13x23，111111因x13x23＜0，x13x23＞0，故f(x1)f(x2)＜0，即f(x)在（0，+∞）上单一递加．又因f(x)为奇函数，故f(x)在（-∞，0）上也是单一递加．综上，f(x)的单一（增）区间为（0，+∞），（-∞，0）．（2）计算得f(4)–5f(2)g(2)=0，f(9)–5f(3)g(3)=0．述各样状况，所以规定指数函数的图象和性质：[活用实例]注意到2与4及3与9的平方关系，我们猜想：f(x2)–5f(x)g(x)=0，此中x≠0．下边我们给出证明．f(x2)–5f(x)g(x)=2x3x5

211113x3x3x3x3555

(x

2x3)1(x5

2x3)0．指数函数：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，此中x是自变量，函数的定义域是R。注意：为何要规定a>0且a1：∵a<0时ax不必定存心义;a=0时，若x>0，ax=0；若x<0，则ax无心义;a=1时，y=1x=1(常量)没有研究必需.为了防止上a>0且a1。1)11[例8]11)2，2-1从小到大摆列起来。把（22，22，（2112121))[题解]（22=5，22=2，（2

12

1=2，2-1=2,2121)11)112因为5<2<2<2，进而（22<2-1<22<2.[例9]函数f（x）=x2-bx+c知足f(1+x)=f(1-x)，f(0)=3，试比较f(bx)与f(cx)的大小。[题解]f(1+x)=f(1-x)，f(x)的对称轴是x=1，b=2.f(0)=3，c=3.f（x）=x2-2x+3在,1上递减，在1,上递加，xxxx当x0时，有1，f(3)f(2);32当x<0时，有3x<2x<1，f(3x)f(2x).所以，对一确实数x，均有f(3x)f(2x)，即f(cx)f(bx).y1x22x[例10]2求函数的单一区间，并证明之。1y22y11设x1x2[题解]则2

x222x2x122x1

x1x22x22x1(x2x)(x2x12)1211122∵x1x2∴x2x10y21∴y2y1，函数当x1,x2,1时，x1x220这时(x2x1)(x2x12)0，即y1单一递加;当x1,x21,时，x1x220这时(x2x1)(x2x12)0，y21即y1∴y2y1，函数单一递减.∴函数y在,1上单一递加，在1,上单一递减。10x10x[例11]已知f(x)=10x10x.（1）求证：f(-x)=-f(x);（2）求证：f(x)在定义域内是增函数;(3)求f(x)的值域。10[题解]（1）f(-x)=10

10xx10x=-f(x);10x10x102x12（2）f(x)=10x10x=102x111，令x1,x2R，x1<x2，102x则f(x2)-f(x1)=(

12122(102x2102x1)10