河南省开封2022年高三压轴卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点A（x”y）,8（%,%）是函数/（力=46+加2的函数图像上的任意两点，且y=/（x）在点

xx+x2

处的切线与直线A5平行，则（)

2

A.a=0,b为任意非零实数B.。=0,a为任意非零实数

C.a、b均为任意实数D.不存在满足条件的实数a,b

2.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.

正（主）视图M（左）视图

俯视图

A.2血任5,且2G史SB.20任S，且2&S

C.272且2百eSD.2&eS，且26eS

3.“是抛物线：/=4x上一点，N是圆（x—I）?+（y—2）2=1关于直线x-y-1=（）的对称圆上的一点，则1MM最

小值是（）

A.业—1B.V3-1C.272-1D.|

22

4.已知集合4=X|X<—-,3={x|_l<x<0}则4口8=()

B-g|x<-|

A.{x|x<0}

C.x\-\<x<--D.{x|x>-l}

2

5.如图，四边形ABC。为正方形，延长CD至E,使得Z）E=CD,点P在线段CO上运动.设/=北丽+^

则尤+y的取值范围是（）

A.[1,2]B.[1,3]C.[2,3]D.[2,4]

6.设直线/的方程为x-2y+，〃=0（〃zeR）,圆的方程为（x-3+（y-»=25,若直线/被圆所截得的弦长为2石，则

实数加的取值为

A.-9或HB.-7或11C.-7D.-9

7.如图，矩形48。中，AB=\,BC=血，E是4。的中点，将八钻£沿BE折起至AA,SE，记二面角A—BE—。

的平面角为a,直线AZ与平面8cOE所成的角为夕，AZ与8c所成的角为7,有如下两个命题：①对满足题意的

任意的A'的位置，。+尸〈万；②对满足题意的任意的4的位置，a+y<7r,贝!!（）

A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立

C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立

8,下列函数中，既是奇函数，又在（0』）上是增函数的是（）.

A.7(x)=xlnxB.f\x)=ex-e^x

C.f(x)=sin2xD./(x)=x3-x

9.已知集合M={x|-4<x<2},A^={%|X2-X-6<0},则A/cN=

A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2)C.[x\-2<x<2]D.{x[2<x<3}

10.单位正方体A5C0-4用GA，黑、白两蚂蚁从点4出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁

爬地的路线是44-401一“，黑蚂蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i

段所在直线必须是异面直线QeM）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两

蚂蚁的距离是（）

B.x/2C.V3D.0

11.已知i为虚数单位，复数二满足z-(l-i)=i,则复数二在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12.已知复数2=4]一2。一，是正实数，则实数。的值为()

A.0B.1C.-1D.±1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数f(x)=x|x—4|,则不等式f(a+2)>f(3)的解集为.

14.已知函数y=/(x+l)-2为奇函数，g(x)=\i,且/(x)与g(x)图象的交点为(x，x),(孙％)，…，

(火，”)，则西+工2+…+/+乂+丁2+…+稣=-

15.命题“对任意x>l,一>1"的否定是.

16.已知AABC中，A8=8C,点。是边BC的中点，A45C的面积为2,则线段AD的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在平面直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

/、X=—2+yfit

夕=2sine+2acos6(a>0)；直线/的参数方程为厂(f为参数).直线/与曲线C分别交于M,N两点.

y=\/2t

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程；

⑵若点尸的极坐标为(2,乃)，|加|+|9卜5及，求。的值.

18.(12分)某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共

10()道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数

据按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于

60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.

理科方向文科方向总计

男110

女50

总计

(1)根据已知条件完成下面2x2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关?

(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文

科方向”的人数为4,若每次抽取的结果是相互独立的，求二的分布列、期望后偌)和方差。(/.

参考公式：K1=7----':(ad、,be)-----f其中〃=a+Z?+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)[b+d)

参考临界值:

p（K2次）0.100.050.0250.0100.0050.001

左02.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线后：、2=2。%(。>0)的焦点为/，准线为/,p是抛物线上E上

一点，且点P的横坐标为2,户目=3.

(1)求抛物线E的方程；

(2)过点尸的直线机与抛物线E交于A、8两点，过点尸且与直线垂直的直线〃与准线/交于点M,设AB的

中点为N,若。、MN、F四点共圆，求直线”的方程.

20.(12分)已知｛c.｝都是各项不为零的数列，且满足。占+生仇+…+。也,=。,5,,〃6%*,其中5“是数

列｛4｝的前〃项和，匕｝是公差为4(1。())的等差数列.

(1)若数列｛4,｝是常数列，d=2,。2=3,求数列他,｝的通项公式；

(2)若是不为零的常数)，求证：数列｛2｝是等差数列；

bb

⑶若4=q=d=左(女为常数，ZwN*),b『c“+knGN*).求证：对任意〃之2,〃eN*,"〉*1•的恒

anan+\

成立.

21.(12分)眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改

善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全

体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.

<1)若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；

(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下

表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？

(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，

在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.

n^ad-bc^

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

K2>k0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

22.(10分)如图，直线二=2二一2与抛物线二：=2二二(二＞0)交于二二:两点，直线二==与二轴交于点二，且直线二=二

恰好平分二二/二二

(1)求二的值;

(2)设二是直线二=二上一点，直线二二:交抛物线于另一点二户直线二/二交直线二=三于点二，求三・三的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

求得/(x)的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得a=0,b为任意非零实数.

【详解】

丁=/(6在点与三,/(土产)处的切线与直线45平行，即有

依题意(x)=+2bx,

2

+6(%+%,)»所以，由于对任意内,当上式都成立，可得4=0，人为非

零实数.

故选：A

【点睛】

本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题.

2.D

【解析】

首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.

【详解】

根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，

如图所示：

所以：AB=BC=CD=AD=DE=2,

AE=CE=2。BE=7(272)2+22=2A/3.

故选：D.

E

【点睛】

本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

3.C

【解析】

求出点（1,2）关于直线x—y-1=0的对称点C的坐标，进而可得出圆（%-1）2+（y-2）2=1关于直线％一丁一1=0的

对称圆C的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出即可得解.

【详解】

如下图所示：

设点（1,2）关于直线y-1=0的对称点为点C（a,h）,

a+\b+2

22-a-b-3=0a=3/、

则八2,，整理得i一3M解得人八，即点C（3,0）,

0

----=-111

、。一1

所以，圆（x—l『+（y-2）2=l关于直线x-yT=0的对称圆。的方程为（x—3『+y2=i,

设点M则照='y-3+V=旧-、+9=,(V-4丫+8'

当丁=±2时，|MC|取最小值28,因此，|"N|nihi=|MC|nihlT=20-l.

故选：C.

【点睛】

本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等

题.

4.C

【解析】

由题意和交集的运算直接求出A「8.

【详解】

■:集合A={x[x<_g],5={%|-1<%<()}

Ap|8=l<x<-5).

故选:C.

【点睛】

本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.

5.C

【解析】

以A为坐标原点，以分别为x轴，y轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.

【详解】

以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABC。的边长为1,

则B(1,O),,^P(/,l)(0<r<l),则《,l)=Ml,0)+y(T,l),所以/=x-y,且y=l,

故龙+y=r+26[2,3].

故选：c.

【点睛】

本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系,

是一道基础题.

6.A

【解析】

圆(x-l)2+(y-l)2=25的圆心坐标为(1,1),该圆心到直线/的距离4=结合弦长公式得

2卜5-(见解得力=-9或m=11,故选A.

V75

7.A

【解析】

作出二面角a的补角、线面角£、线线角/的补角，由此判断出两个命题的正确性.

【详解】

①如图所示，过4作平面8CDE,垂足为。，连接。E,作连接AM.

由图可知NA'MO=7—a，ZA'EO=/3<ZAMO=7v-a,所以。+力〈万，所以①正确.

②由于6C//OE,所以AE与8。所成角/=万一/4'£。4/4'"0=万一。，所以。+7〈乃，所以②正确.

综上所述，①②都正确.

故选：A

【点睛】

本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

8.B

【解析】

奇函数满足定义域关于原点对称且“X)+〃一力=0,在(0,1)上尸(x)>0即可.

【详解】

A：因为/(x)=xlnx定义域为x>0,所以不可能时奇函数，错误;

B：/(x)=e'—e-'定义域关于原点对称，且/(x)+/(r)=eX-eT+ef—eX=O

满足奇函数，又尸(x)=e'+er>0,所以在(0,1)上r(x)NO,正确；

C：/(x)=sin2x定义域关于原点对称，且/(x)+/(-x)=sin2x+sin-2x=0

满足奇函数，尸(x)=2cos2x,在(0,1)上，因为尸(0)尸(I)=2x2cos2<0,所以在(0,1)上不是增函数，错误；

D：f(X)=Y—X定义域关于原点对称，且/(x)+/(-x)=V—x+(一炉+1)=0,

满足奇函数，/'(x)=3x2-1在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误；

故选：B

【点睛】

此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.

9.C

【解析】

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采取数轴法，利用数形结合的思想解题.

【详解】

由题意得，M={x\-4<x<2],N-{x\-2<x<3],贝!!

MryN={x\-2<x<2}.故选C.

【点睛】

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

10.B

【解析】

根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段

后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离.

【详解】

由题意，白蚂蚁爬行路线为A4TAIDITOIGTGCTCBTAA,

即过1段后又回到起点，

可以看作以1为周期，

由2020+6=336••4,

白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；

同理，黑蚂蚁爬行路线为GOITOW—ZM,

黑蚂蚁爬完2020段后回到£>i点,

所以它们此时的距离为0.

故选B.

【点睛】

本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.

11.B

【解析】

求出复数z,得出其对应点的坐标，确定所在象限.

【详解】

ii(l+i)11.11

由题意z=「=77T7T+对应点坐标为(—彳3),在第二象限.

1-1(1-i)(l+i)2222

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题.

12.C

【解析】

将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.

【详解】

因为z=a2i-2a-i=-2a+(a2-l)z为正实数，

所以—2a>0且/一1=0,解得a=-l.

故选：C

【点睛】

本题考查复数的基本定义，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(-1,1)<J(",+oo)

【解析】

fW=\,'一，/(3)=3,分类讨论即可.

-x+4x,x<4

【详解】

由已知，/(%)=巾-4|=«;4X,A24,/⑶=3,

［一无~+4x,x<4

若/m+2)>/⑶=3,则〈或41

［3+2)2?-4(a+2)〉3［一(。+2)2+4(a+2)>3

解得.〉近或—所以不等式/(«+2)>/(3)的解集为㈠,1)=.

故答案为：(-1,1)=(",+00)

【点睛】

本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题.

14.18

【解析】

由题意得函数f(x)与g(x)的图像都关于点(1,2)对称，结合函数的对称性进行求解即可.

【详解】

2r_11

••・函数y="X+1)—2为奇函数，，函数)，="X)关于点(1,2)对称，•••g(力=--=2+—；，，函数y=g(力

关于点(1,2)对称，所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称，••・/(x)与g(x)图像的交点为(％,y),

(工2，％)，•••»(4，/)，两两关于点(1，2)对称，A：)+x2d----1■/+X+%+…+/=3x2+3x4=18.

故答案为：18

【点睛】

本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档

题.

15.存在%>1，使得/241

【解析】

试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意X>1,》2>1，，的否定是“存在%>1,使得

考点：命题的否定.

16.［省,+oo)

【解析】

设A3=BC=r,AO=加，利用正弦定理，根据5板=1/sin6=2,得到产sin8=4①，再利用余弦定理

AyfZX^C\

得产cos6=°产一加2②，①②平方相加得：〃/—/2］+16,转化为

414)

9〃-40帮产+16棚+256=0有解问题求解•

【详解】

设A3=BC=/,AD=m,

所以S』%=之产sinB=2,即-sin6=4①

由余弦定理得加2-t2+--2•t­—cosB»

⑵2

5

即t2cosB-—t2-加2②，

4

①②平方相加得：〃=2严-M+16,

(4J

即9?-40加2产+16m4+256=0，

令r=x>0，设g(x)=9/_40序矛+16勿4+256,在(0,+纥)上有解，

2

(20%2)(20//7Y220加2

所以g----=9-----40nrx-----F16/Z71+256<0，

99Q

解得Z774>9»即m>V3，

故答案为：［省,+8)

【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(x-a)2+(y-=4+1,x-y+2=0；(2)2.

【解析】

(1)由p=2sin8+2acos8得P2=22sin。+cos。，求出曲线C的直角坐标方程.由直线/的参数方程消去参

数/,即求直线/的普通方程；

fC口

x=-2H-----1

2

(2)将直线/的参数方程化为标准式厂(，为参数)，代入曲线。的直角坐标方程，韦达定理得

V2,

y=——t

I2

点尸在直线/上，则归例|+卯=同+回，即可求出的值.

t^+t2,t；t2,1a

【详解】

(1)由p=2sine+2acos。可得夕2=2psine+2a夕cos。，

2222

即x+y=2y+2ax,即(尤一Q)2+(y-l)=tz4-1,

・・•曲线C的直角坐标方程为(无一a?-=4+1,

x=-2+

由直线/的参数方程广。为参数)，消去/得x-y+2=0,

y=j2t

即直线/的普通方程为l—y+2=0.

(II)点P的直角坐标为。(一2,0),则点。在直线/上.

九=一2+与

2

将直线/的参数方程化为标准式广(为参数)，代入曲线。的直角坐标方程，整理得

一旦1

"2

t—^3^2+A/ZOjZ+4a+4=0,

•••直线/与曲线。交于M,N两点，

.•.△=(30+缶『_4(4a+4)〉0,即(a-l)?〉0,；.aw1.

设点M,N所对应的参数分别为t\,t\,

由韦达定理可得A

f]+t2—3/2+s[2a,tit2—4a+4,

a>0,/.t\+12>0,r/2>°，>°，，2>0.

•••点一在直线/±,

：.\PM\+|PN|=|<|+|?2|=t；+t2=3叵+叵a=5叵,

a=2・

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用，属于中档题.

18.(1)列联表见解析，有；(2)分布列见解析，.

525

【解析】

(1)由频率分布直方图可得分数在［60,80)、［80,100］之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算K?的值，结合

参考临界值表可得到结论；

(2)从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率P.由题意求出分布列，根据公式

求出期望和方差.

【详解】

(1)由频率分布直方图可得分数在［60,80)之间的学生人数为0.0125x20x200=0,在［80,100］之间的学生人数为

0.0075x20x200=30,所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为

理科方向文科方向总计

男8030no

女405090

总计12080200

▽2200x(80x50-30x40)-

又K?=--------------------=16.498>6.635，

120x80x110x90

所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.

QQ2

(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为。===一

2005

依题意知自~《3,。，所以p(g=j)=c；(|'

d=0,1,2,3),所以J的分布列为

0123

2754368

p

125V25V25V25

所以期望E(J)=〃〃=3x|=1,方差D(J)=〃p(l-〃)=3x|x(l218

25

【点睛】

本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.

19.(1)y2=4x(2)y=±V2(x—1)

【解析】

(1)由抛物线的定义可得|。日=2+5，即可求出〃，从而得到抛物线方程；

(2)设直线加的方程为x=(y+l，代入V=4x,得产_旬一4=0.

设A(X],y),B(x2,y2),列出韦达定理，表示出中点N的坐标，若。、M、N、F四点共圆，再结合FN工FM,

得OM工ON,则丽・丽=0即可求出参数/,从而得解；

【详解】

解：(1)由抛物线定义，得|尸石=2+^=3,解得〃=2,

所以抛物线E的方程为)3=4x.

(2)设直线加的方程为x="+l,代入＞2=4X,得＞2一49一4=0.

设8(称必)，则X+%=4f，

由yi=4不，y；=4x2,得

X+X-、I」-(y+_(4。2-2x(-4)212,

'-4444

所以N(2/+1,2/).

因为直线机的斜率为;，所以直线〃的斜率为T,则直线〃的方程为y=T(x-l).

由匕二(1)解得见-12)・

若。、A/、N、F四点共圆，再结合FN上FM,得

则丽・丽=—lx(2/+1)+2入2/=2/一1=0,解得「=士也，

所以直线机的方程为y=±夜(x-1).

【点睛】

本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.

20.(1)2=4〃-3；(2)详见解析；(3)详见解析.

【解析】

⑴根据d=2,=3可求得c“，再根据｛an｝是常数列代入44+a2b2+...+anbn=cnSn,〃eN*,根据通项与前n项和

的关系求解｛2｝即可.

(2)取n=1，并结合通项与前〃项和的关系可求得S“c,「S,_£i=a也,，再根据an=S„-Sn_t化简可得

S"+Anc=Anbn，代入S,“=叫一口化简即可知bn-bn_｛=|d(〃23)，再证明b2-4=|d也成立即可.

(3)由⑵当2时,%)+。,£,=。也,代入所给的条件化简可得染|=她，S“=S,z+a“=(Z+l)a”,进而证

1.1ZJy、〃-2bb

明可得«„=—厂。,1，即数列｛4｝是等比数列.继而求得9，再根据作商法证明—>—即可.

k\kJanan+\

【详解】

⑴解：•••d=2,C2=3,

/.c=2n-\.

•.•｛%｝是各项不为零的常数列，

1.q=%=.,.=4〃，

则S“=〃a”

则由cnS=afy+a2b2+...+anbn,

及c=2n-l,得«(2n-l)=瓦+瓦+…+4,

当〃22时,(〃T)(2〃-3)=4+b2+..,

两式作差，可得么=4〃-3.

当〃=1时，仇=1满足上式，

则h=4n-3；

(2)证明：；a占+a2b2+...+a1tblt=c11sli,

C

当“22时，。向+a2b2+…+%_自_]—H-I\I-I,

两式相减得：S“c,-S,i%=a%

即(ST+4)GJST%]一%d，S"T(c“-)+a”c”■—。也.

gp5,,.1J+Xnc=Znbn.

2'

An(n-l)

/.——-----d+Anc=Anh,

2

n-1,,

a即rl亏1+%=〃.

/7—2

.,.当“23时，一^d+%T=2T，

两式相减得：2一〃i=|d(〃23).

•••数列｛2｝从第二项起是公差为|d的等差数列.

又当n=l时，由S«1=a"得c=bt,

当“=2时，由4==1d+C2=gd+G+d=4+|d，得打一白心

故数列也｝是公差为|d的等差数列；

(3)证明:由(2),当〃22时，

S,z(c,「%)+ancn—anhn，即Sn.xd—an｛bn-c")，

b"—C"+k,

•,也=c"+以，即b“-c,=M,

;.Sgd=a」kd,即S“产。.

S"=S,z+%=(4+1)4,

当〃23时,S,z=(Z+1)册］=她,即an=.

K

故从第二项起数列｛a,,｝是等比数列，

"+1丫"

・二当〃22时，4=。2---・

\k)

2=c〃+4=c〃+kd=C1+(〃-1)左+k-=k+(〃一］)攵+左一—k("+k).

另外而已知条件可得(4+。2)。2=4伪+生优，

又。2=2攵，4=攵,a=%(2+攵)，

a2=l,

f^+lY-2

因而=----・

、k)

h

令4=」，

an

则%=(〃+,+『__«<0,

d,,an+]bn(”+l)(k+l)(“+左)(左+1)

bb

故对任意的〃22,〃eN*,①恒成立.

an%

【点睛】

本题主要考查了等差等比数列的综合运用，需要熟练运用通项与前〃项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公

式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等，需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项，再利用作商

法证明.属于难题.

21.(1)144(2)能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系(3)详见解析

【解析】

(1)由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级

视力在5.0以上的的人数；

(2)由题中数据计算6的值，对照临界值表可得答案；

(3)由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得

X可取0,1,2,分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望.

【详解】

解：(1)由图可知，第一组有3人,第二组7人,第三组27人,因为后三组的频数成等差数列，共有100-(3+7+27)=63

(人)

所以后三组频数依次为24,21,18,

所以视力在5.0以上的频率为0.18,

故全年级视力在5.0以上的的人数约为800x0.18=144人

⑵^2=100x(44xl8-32x6)^150%7895>7879>

50x50x76x2419

因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.

Q1

（3）调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为2=上，这8人中不做眼保