湖南省郴州市2021-2022学年高二下学期期末数学试题（含答案）

郴州市2022年上学期期末教学质量监测试卷

高二数学

（试题卷）

注意事项：

1.试卷分试题卷和答题卡，试卷共6页，有四大题，22小题，满分150分.考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、班次、准考证号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的

封面上.

3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效.考生在答题卡上

按答题卡中注意事项的要求答题.

4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.集合A={x*-x—2v0}集合B=W8}，则=

A.1x|—1<x<2jB.{H-1<XW3}C.10,1}D.{0,1,2}

2.为了全面落实双减政策，某中学根据学生身心特点开展了体育、艺术、阅读、劳动、手工五大主题的课后

服务课程，学生可根据自己的兴趣爱好进行自主选择，有力促进了学生健康快乐的成长，己知学生甲、乙都选

择了体育类的篮球，在一次篮球测试中，甲合格的概率为乙合格的概率为2,则甲、乙至少有一人合格

53

的概率为

A.2B.2C.AD.匕

3151515

3.在等差数列{4}中，已知4=4,%+4=】0,则数列{4}的公差为

A.-1B.0C.1D.2

4.正四面体尸-/8C中，/为尸C的中点，则异面直线与P8所成角的余弦值为

5.为进行学考复习，某高一学生将地理、历史、化学、生物4科的作业安排在周六，周日集中突破，要求每

天至少完成一科，则完成作业的不同方式种数为

A.48B.56C.64D.72

6.如图1,直角梯形/2CZ）中AB1AD,AB=i,AD=6,8=2,则BCBD

DC

A.1B.V2C.73D.2

7.3月21日是世界睡眠日，2022年世界睡眠日的中国主题是“良好睡眠，健康同行”.中国睡眠研究会常务

理会吕云辉教授围绕这一主题进行了深度解读，以严谨的理论和丰富的案例佐证了良好睡眠于健康体魄的重

要性.某中学数学兴趣小组为了研究良好睡眠与学习状态的关系，调查发现该校3000名学生平均每天的睡眠

时间X~N（8,1）,则该校每天平均睡眠时间为6〜7小时的学生人数约为（结果四舍五入保留整数）

A.64B.408C.472D.815

附：若X~N（4,CT2）,则P（4-crWXW〃+cr）=0.6827,网4一2。WXW〃+2cr）=0.9545,

P（〃一3bW丫W〃+3cr）=0.9973.

8.过点（08）作曲线y=e,的切线有且只有两条，则6的取值范围为

A.（0,1）B.C.D.（0,1]

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知复数z满足（l+i）z=3-i,（其中i为虚数单位）

A.忖=6B.复数z的虚部为2

C.z-z=5D.复数z在复平面内对应的点位于第四象限

10.一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和2个白球，下面几个命题中正确的是

A.如果随机取出一球，则第一次摸到红球的概率是3

5

B.如果是不放回地抽取2球，则取出两个红球和取出两个白球是对立事件

C.如果是有放回地抽取2球，则取出1个红球1个白球的概率是过

25

D.如果是不放回地抽取2个球，则在第1次取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是L

2

11.如图2,在边长为2的正方体A8CD-AgGO中，点M在底面正方形N2CZ）内运动，则下列结论正确

的是

A.若AM=2啦，则M点的轨迹长度为.

B.若4"〃平面Q8C，则M点的轨迹长度为2

C.若外版，〃©，则加■点的轨迹长度为2

D.若A|A7u平面A,£>8，则三棱锥为一的体积为定值

12.2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球.有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个

边长为1的正六边形进行线性分形.如图3,图（〃）中每个正六边形的边长是图（〃-1）中每个正六边形的边

长的,.记图（〃）中所有正六边形的边长之和为〃，则下列说法正确的是

2”

图（1）图（2）图（3）

A.图（4）中共有294个正六边形

o1029

B.4=丁

C.｛%｝是一个递增的等比数列

D.记｛SJ为数列｛。“｝的前〃项和，则对任意的“eN*且"22,都有%>S,i

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（1—3x）5的展开式中的/的系数为

14.某工厂从甲、乙两个分厂定制配件.其中甲厂获得40%的订单，次品率为9胀乙厂获得60%的订单，次品

率为4%.那么这批配件的次品率为.

92

15.双曲线C：/一乒=1（。力>。）的左右顶点为4B,过原点的直线/与双曲线C交于"，N两点，若

AM,/N的斜率满足右..心“=2，则双曲线C的离心率为.

16.函数〃*）=*+（加-1）%—Inx（〃zeR）.若对任意x>0,都有/（x）20,则实数机的取值范围

为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

记正项数列｛%｝的前"项和为S,,，已知q=2，.

一0n2+3n/a,申n+2，

从①S.=1一；②上•=•一③%2+]-d=。用+。“这三个条件中选一个补充在上面的横线处，并解

2ann+i

答下面的问题：

（I）求数列｛与｝的通项公式；

1

（II）求数列-―D，的前"项的和Tn，求证：T“v\.

18.（本小题满分12分）

在△/BC中，角/、B、C的对边分别为a、b、c,^S^bccosC+ccosB=>/2acosC.

（I）求角C的值；

（II）若c=&,S»"=l，求△N8C的周长.

19.（本小题满分12分）

如图4,直三棱柱A3C-AaG中，/8C是边长为2的正三角形，。为的中点.

（I）证明：CO_L平面A881A；

VI5

（II）若直线3c与平面A84A所成的角的正切值为三，求平面A5G与平面A8G夹角的余弦值•

20.（本小题满分12分）

溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.学

校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定.为了普及安

全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛.某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名

学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：

了解安全知识的程度

性别

得分不超过85分的人数得分超过85分的人数

男生20100

女生3050

（I）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名

学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，记这3名学生中男生的人数为X,求X的分布列和数学期望石（X）.

（II）根据小概率值a=0.001的独立性检验，能否推断该校高二年级男生和女生在了解安全知识的程度与性

别有关？若有关，请结合表中数据分析了解安全知识的程度与性别的差异.

,n（ad-bc\

附：参考公式》一~七一八，其中〃=a+Z?+c+d.

［a+b）［c+d）［a+c）［b+d）

下表是一独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

21.（本小题满分12分）

已知椭圆C：:■+3=1（。>}>0）的离心率为1-,左顶点坐标为（一2,0）.

（I）求椭圆。的方程；

（II）过点的直线I与椭圆C相交于M,N两点,设点3（0,1）问：直线BM,8N的斜率之和kRM+kBN

是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知/（x）=alnx+；x2一2》（aeR且a/0）,g（x）=cosx+sinx.

（I）求g（x）在卜乃，乃|上的最小值；

（H）如果对任意的％e存在无2^^，e,使得上⑷一aWg（%）成立，求实数a的取值范围.

——x?

郴州市2022年上学期期末教学质量监测试卷

高二数学参考答案和评分细则

（命题人：安仁一中李海涛宜章一中吴斌永兴一中杨儒平）

审题人：郴州一中雷震宇郴州二中陈伟郴州市教科院汪昌华）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1-4CDAC5-8DDBA

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.ACD10.AD11.AD12.BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.-27014.6%15.G16.-,+ooj

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

解：

（I）选择①

当〃22时a,,=S“一S’-

_rr+3n（n-1）2+3（n-l）

__22

=〃+l

l2+3+lc

而〃=1时，q=---=2满足左式

an=n-\-\•

选择②

a=A_.也.吐…色.&q=四.JL./22=〃+l

"a,--4”3«2«inn-\32

选择③

由(4+i+4)(4+i-4-1)=°，得=从而得%=〃+i.

(其它选择的解法依据选择①对应给分)

1111

(II)----7------r=-----------=----------

an-[an-1)〃x(〃+l)n〃+1

.：neN*，

1

>0,

H+l

1

・•・1一<1

n+l

18.（本小题满分12分）

解：

（I）由条件及正弦定理可得：>/2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB

V2cosCsinA=sinC-cosB+sinBcosC=sinA

/.sinAH0

cosC=,Ce（0,^r）,

AC=-

4

（H）：50阮.=ga》sinC-1

/.ah=2V2

由余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC=>2=a2+b2--'jT.ab

：.储+〃=6结合"=2>/2

可得：a+b=2+y/2,则△NBC的周长2+2

19.（本小题满分12分）

（I）•••/8C是正三角形，。为的中点，

COLAB.

又：A8C—A43是直三棱柱，

AA,平面ABC,

/L4,±CO•

又A3ri44]=A，

.*.CO_L平面A84A.

（II）连接08,，由（I）知CO,平面A%4，

直线B、C与平面ABB,A,所成的角为NCBQ，

AtanZCB.O=—,

15

•••△Z8C是边长为2的正三角形，则CO=0,

0B}=75.

在直角△43。中，OB=1,O4=6,

•,BB、=2•

建立如图所示坐标系，则B（1,O,O）,A（-1,O,O）,A（T，2,0），4（120）,c,（o,2,^）.

ABA^=（-2,2,0）,房=（一1,2,8），解得平面ABG的法向量为五=（6,0,一1）.

M=（2,0,0）,ACt=（1,2,3）解得平面ABC,的法向量为3=（0,-6,2）.

设平面A8G与平面A8G夹角为仇则

m-n

5

cos0=——-

m-n7

平面A18G与平面A8G夹角的余弦值为I"•

20.（本小题满分12分）

解：（I）200名学生中得分超过85分的人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人，因此按

性别进行分层抽样得到男生4人，女生2人，

故X的所有可能取值为1,2,3,则

c'c24xl_1

P（X=1）=岩

C-C\6x23

P（X=2）

5

4x1_

P”=3）=中（算对一个得1分）

205

所以X的分布列为:

X123

13\_

p

555

数学期望E（X）=lx*+2xg+3xg=2（6分）

9一2200x（20x50—30x100）2100

（ID根据列…联表士可：X2=----------------------L=—10.828,

120x80x50x1509

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大

于0.001.

由表中数据可得男生中得分不超过85分的所占比例为！，女生中得分不超过85分的所占比例为3,女生的比

68

例为男生的2.25倍，根据频率稳定概率的原理，我们认为该校女生和男生在了解安全知识的程度方面存在差

异.

21.（本小题满分12分）

解：

c5/323）

（I）e=—=——=>c=—a",

a24

h2=a2-c2=-a2；又。=2,

4

2

则々2=4,z?=1,从而椭圆c：二-+y~=l.

4

（ID5（0,1）.

设直线/：y=kx+mf（其中机+%=—1）.

M（%，X），N（孙必）

y=kx+m（、、、,

n（4H+1"+8初ir+4”-4=0

22

x+4y=4、）

-8km

X.+x=------

12-4公+1

则4

4nt2-4

x,x=——；---

'2-4公+1

△=16（4公+1—加2）

=16攵（3攵-2）>0=&<0或上

_y一1y2-1_Ax,+m-1kx2+m-1

kpM+kpN-+=1

x2%

—肃=2"叫含

一,—2kni2k//士/土、

2k+-----=------=-2(定值)

加+1m+l

当直线/的斜率不存在时/：X=l,则，关于X轴对称%+%=0,

—铝+『=-2,

综上可得kBM+kBN=-2(定值)

22.(本小题满分12分)

解:

(I)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx,

显然g(x)为偶函数，当x>0时,

，・在