北京某大学附属中学2021-2022学年九年级上学期开学考试数学试题 （解析版）

2022届初三秋季开学摸底测数学试题

一、选择题

1.下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（）

【答案】c

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念判断即可.

【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误;

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C.是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是中心对称图形，故此选项错误.

故选C.

【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够

与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

2.二次函数y=-@一I）?+3图象的顶点坐标是（）

A.（-1,3）B.（1,3）C.（-1,-3）D.（1,-3）

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.

【详解】解：I•二次函数的解析为了=一（尤一1）2+3,

二次函数图像顶点坐标为（1,3）.

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在产a（x-A）2+左中，

对称轴为尸儿顶点坐标为（〃，/）.

3•一元二次方程V+3x=O的解是（）

A.尤=0B.x=—3

C.%=0,%2=3D.%=0,Xf——3

【答案】D

【解析】

【分析】用因式分解法求解即可.

【详解】解:f+3x=0,

x（x+3）=0,

所以x=0或x+3=0,

解得：xi=0,X2—3.

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当的方法是解决此题的关键.

4.如图，矩形ABCO中，对角线AC,交于点。，如果4408=30°，那么NAOB度数是（）

A.30°B.45°

C.60,D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】只要证明。/=。〃，根据三角形的外角的性质即可解决问题.

【详解】解：•••四边形Z8C。是矩形，

：.OA=^AC,OD=^BD,AC=BD,

：.OA=OB,

：.ZOAD=ZODA=30'",

VZAOB=ZOAD+ZODA=60a.

故选C.

【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是根据矩形的

性质得出OA=OB.

5.周长为4c加的正方形对角线的长是（）

A.Ay/lcmB.2\l2cmC.2cmD.42cm

【答案】D

【解析】

【分析】先根据正方形的性质得到正方形的边长为1cm,然后根据勾股定理得到正方形对角线的长.

【详解】解：...正方形的周长为4cm,

正方形的边长为1cm,

正方形的对角线的长为#=cm.

故选D.

【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理，根据正方形的四条边相等得出直角三角形的两直角边长是

解决此题的关键.

6.若一次函数y=（%-3）x+l的图象位于第一、二、四象限，则左的取值范围是（）

A.k>3B.k<3C.k>3D.k<3

【答案】B

【解析】

【分析】根据夕=h+6,k<0,6>0时-，函数图象经过第一、二、四象限，则有"3<0即可求解；

【详解】解：7=（｝3）x+1的图象经过第一、二、四象限，

.#3V0,

故选：B.

【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；熟练掌握一次函数y=Ax+b,4与b对函数图象的影响是

解题的关键.

7.为了参加中学生篮球运动会，一支篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码统计如下表：

尺码（厘米）4040.54141.542

购买量（双）12322

则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（

A.40.5C41B.41D41C.40.5Q40.5D.41C40.5

【答案】B

【解析】

【详解】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列口位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中

位数n众数是一组数据中出现次数最多的数据「注意众数可以不止一个.

详解□在这一组数据中41是出现次数最多的口故众数是411处于这组数据中间位置的数是41D413

那么由中位数的定义可知□这组数据的中位数是41口

故选BD

点睛本题为统计题门考查众数与中位数的意义「解题的关键是准确认识表格.

8.在平面直角坐标系xOy中，一次函数x=K尤+4与%=的》+8的图像互相平行，如果这两个函数的

部分自变量和对应的函数值如下表所示：

Xm02

-20t

为1n7

那么加的值是()

A.-1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由一次函数yi=hr+bi与及4M+历的图象互相平行，得出女尸左2,设幻=«2=a,将(加，-2)、(0,0)

代入yi=ax+bi,得到“加=-2；将(加，1)、(0,〃)、(2,7)代入/="+岳，解方程组即可求出加的值.

【详解】解：•••一次函数力=板+"与/=松+岳的图象互相平行，

；.%|=42,

设41=依=",则yi=ax+b”y2=ax+b2.

将(加，-2)、(0,0)代入yi=ox+b”得。〃?=-2①；

将(m,1)、(0,〃)、(2,7)代入丁2=亦+/>2,

得〃机+〃=1②，2a+〃=7③，

①代入②，得片3,

把〃=3代入③，得a=2,

把。=2代入①，得m=-l.

故选人

【点睛】本题考查了两条直线的平行问题：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即4

值相同.即若直线弘=m+6与直线/=松+3平行，那么依呃.也考查了一次函数图象上点的坐标特

征.难度适中.

二、填空题

9.已知二次函数y=—Y+4x+5,它的图象与x轴的交点坐标为.

【答案】⑸0),(-1,0).

【解析】

【分析［令y=0,可得—V+4X+5=0,解一元二次方程即可求解.

【详解】解：令产0,可得—f+4x+5=0，

X2-4x-5=0，

(x-5)(x+l)=O,

Xl=5,X2=・l,

所以二次函数y=—f+4x+5图象与x轴的交点坐标为(5,0)和(-1,0)

故答案为：(5,0)和(-1,0).

【点睛】本题主要考查二次函数与x轴交点，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数与x轴交点的计算方

法.

10.如图，菱形A8CO的对角线交于点。,E为边的中点，如果菱形的周长为12,那么OE的长是

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】直接利用菱形的性质得出其边长以及对角线垂直，进而利用直角三角形的性质得出E。的长.

【详解】解：•••菱形ABCD的周长为12,

；.AD=3,ZAOD=90°,

•；E为AD边中点，

13

.•.OE=gAD=-.

22

3

故答案为一.

2

【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半），正确掌握直角三角形的性质是解题关键.

11.公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程，他把一元二

次方程Y+2%-35=0写成V+2x=35的形式，并将方程左边的%2+2x看作是由一个正方形（边长为

x）和两个同样的矩形（一边长为x,另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为35,如图所示.于是只要在

这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表小为：

X2+2X+―=35+，整理，得（x+iy=36,因为x表示边长，所以％=.

【解析】

【分析】由图可知添加一个边长为1的正方形即可补成一个完整的正方形，由此即可得出答案.

【详解】解：由图可知添加一个边长为1的正方形即可补成一个面积为36的正方形，

故第一个空和第二个空均应填1,

而大正方形的边长为x+1,

故x+l=6,

x=5,

故答案为1,1,5.

【点睛】此题是信息题，首先读懂题意，正确理解题目解题意图，然后抓住解题关键，可以探索得到大正

方形的边长为x+1,而大正方形面积为36,由此可以求出结果.

12.如图，在平面直角坐标系xQy中，直线人：>=如~2与直线人："〃相交于点P,则关于x,y的二元

twc-y=2

一次方程组《的解是_________.

x-y=-n

x=\Iy=2

【答案】\c##{,

y=21x=l

【解析】

【分析】直接利用一次函数与二元一次方程组之间的关系求解即可.

【详解】解：由图象观察可知，点P。,2）,

X=1

□该二元一次方程组的解是《c,

卜=2

、卜=1

故答案为：{.

b=2

【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，解题关键是理解两直线的交点坐标即为它们

联立所得的二元一次方程组的解.

13.已知矩形ABCD,给出三个关系式：①AB=8C;②AC=6。;③如果选择关系式

作为条件（写出一个即可），那么可以判定矩形为正方形，理由是

【答案】□.□□.一组邻边相等的矩形是正方形

【解析】

【分析】根据正方形的判定定理添加一个条件使得矩形是菱形即可.

【详解】解：I•四边形/8CZ）是矩形，AB=BC,

矩形488为正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）.

故答案为①，一组邻边相等的矩形是正方形.

【点睛】本题考查了正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定定理即可得到结论.

14.在平面直角坐标系xOy中，已知点如果以AB,C,。为顶点的四边形是平行四边

形，那么满足条件的所有点C的坐标为

【答案】(—2,0),(2,0),(0,2)

【解析】

【分析】需要分类讨论：以为该平行四边形的边和对角线两种情况.

【详解】解：如图，①当N8为该平行四边形的边时，AB-OC,

•.•点/(1,1),B(-1,1),O(0,0)

...点C坐标(-2,0)或(2,0)

②当"8为该平行四边形的对角线时，C(0,2).

故答案是：(-2,0)或(2,0)或(0,2).

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质.解答本题关键要注意分两种情况进行求解.

15.近年来，我国使用移动支付的人数成逐年上升趋势.据统计2018年3月底我国使用移动支付的有6亿

人左右，预计到2020年3月底将增加到8.64亿人左右，求这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率

约为多少？

解：设这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率为北依题意，列方程得.

【答案】6(1+»=8.64

【解析】

【分析】设这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率为x.根据题意2019年3月底我国使用移动支付

的有6(1+X)亿人左右，2020年3月底我国使用移动支付的有6(1+亿人左右.根据题意得方程求解.

【详解】设这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率为x

依题意得6(1+X)2=8.64

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，熟记增长率之间的关系式解题的关键.

16.餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：

①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具.

前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，针对桌子的大小，每个

步骤所花费时间如下表所示：

回收餐具与剩菜、清洁桌面清洁椅面与地面摆放新餐具

大桌532

小桌321

现有三名餐厅工作人员分别负责三个步骤，但每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作，如果此时

恰有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要分钟.

【答案】12

【解析】

【分析】设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员

3负责③摆放新餐具，

当工作人员1清理大桌子的同时，工作人员2清理2张小桌子，5分钟后，当工作人员1清理2张小桌子

的同时，工作人员2开始清理1张大桌子，第8分钟，工作人员3开始在大桌上摆放新餐具，进而即可求

解.

【详解】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作

人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图：

：：；

工作人员L-----------------J小桌①,小桌一?

工作人员2：,小桌①2小桌②?大桌,!

；；大桌小桌d小桌②

工作人员3：,iFq―12

I

将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，

故答案是：12.

【点睛】本题主要考查事件的统筹安排，尽可能让①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，在

同一时段中同时进行，是解题的关键.

三、解答题

17.计算：

(1)+g)—1>/3—2|—3.14)°

（2）12712x^-（1572）

【答案】（1）36+6;⑵半

【解析】

【分析】（1）根据零次幕，负整数指数幕，绝对值和0指数幕的性质进行求解即可；

（3）利用二次根式的乘除计算法则求解即可.

【详解】解：（1）V12+^---|V3-2|-（K-3.14）°

=2V3+9-（2-^）-l

=26+9-2+G-1

=3A/3+6；

（2）12712x^-（1572）

=24百xx—

415V2

=]8x---T=

15V2

30

=----.

5

【点睛】本题主要考查了零次基，负整数指数幕，绝对值和二次根数的乘除计算，解题的关键在于能够熟

练掌握相关知识进行求解.

18.下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程.

已知：RtAABC,ZABC=90°,

求作：矩形488,

作法：如图，

①作线段AC的重直平分线交AC于点。；

②连接8。并延长，在延长线上截取。。=。8；

③连接Z。，CD.

所以四边形ABCD即为所求作的矩形

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明

证明：'：OA=OC,OD=OB,

四边形48CD是平行四边形（）.（填推理的依据）

VZABC^90°,

,平行四边形"38是矩形（）.（填推理的依据）

【答案】（1）见解析；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【解析】

【分析】（1）根据作图过程即可补全图形：

（2）根据平行四边形的判定方法和矩形的判定方法即可完成证明.

【详解】解：（1）如图即为补全的图形；

（2）证明：'：OA=OC,OD=OB,

四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

：ZABC=90°,

•••平行四边形力88是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.

故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌

握基本作图方法.

19.在平面直角坐标系X0X中，已知一次函数y=-gx+1的图像与x轴交于点A,与旷轴交于点B

（1）求A,8两点的坐标

（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象;

（3）根据图像回答：当y>0时，》的取值范围是.

5

4

3

2

1

-6-5-4-3-2-1O-1~23—4-56x

-1

-2

-3

-4

-5

-6

【答案】（1）A（2,0）,B（0,l）；（2）见解析；（3）x<2.

【解析】

【分析】（1）分别令尸0,k0求解即可；

（2）根据两点确定一条直线过点Z和点8作一条直线即为函数的图象；

（3）结合图象可知y>0时x的取值范围即为函数图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围.

【详解】解：（1）令y=0,则x=2,

令x=0,则尸］,

所以点力的坐标为（2,0）,

点8的坐标为（0,1）；

（2）如图：

（3）由函数图象可知，当y>0时，x的取值范围是x<2口

故答案为x<2.

【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数与一元一次不等式，画出一次函数的图

象，数形结合是解题的关键.

20.如图，在oABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且BEUDF.求证：AE=CF.

n__________c

K

【答案】见解析

【解析】

【分析】由题意可以证得AABEgACDF,从而得到A£=CF.

【详解】解：如图，

I)____________

三,

•••四边形438是平行四边形

/.AB=CD,AB//CD

Z1=Z2

DF//BE

N3=N4

/.MBE^ACDF(AAS)

AE=CF

【点睛】本题综合考查平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，灵活应用演绎法和归纳法分析解题

步骤是解题关键.

21已知一元二次方程-x?+(2a-2)x-a2+2a=0.

(1)求证：方程有两个不等的实数根；

(2)若方程只有一个实数根小于1,求〃的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)l<a<3.

【解析】

【分析】(1)先计算判别式的意义得到△=(2a—2)2—4x(—1乂—/+24〉0,然后根据判别式的意义

得到结论;

(2)先利用求根公式解方程得内=",/=。—2,再根据题意得到a—2<1,从而得到机的范围.

【详解】解：(DDa=-l,b=2a-2,c--a2+2a

[△=(2a-2)—4x^—1^—tz-+2izj

=4a2-Sa+4-4a2+8a

=4>0

口方程有两个不等的实数根；

(2)□«=-l,b=2a-2,c=-a2+2a,

□△=(2a-2)2-4x(-l)^-a2+2以)=4>0

—b±1b~-4ac-(2a—2)i2

x=-------------=-----------,

2a-2

□x1—a,x2=a—2,

口方程只有一个实数根小于1,且a—2<a,

□«-2<1,且

□l<a<3.

【点睛】本题考查一元二次方程判别式的意义，以及根据求根公式求参数的取值范围，牢记公式并正确应

用是解题关键.

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线4经过原点，且与直线4：y=-x+3交于点4加,2),直线4与

X轴交于点8.

(1)求直线4的函数解析式；

(2)点P(",0)在X轴上，过点P作平行于y轴的直线，分别与直线4，，2交于点M，N.若MN=OB,

求〃的值.

【答案】(1)y=2x；(2)〃=2或〃=0

【解析】

【分析】(1)设4：y=区首先求出A点坐标，然后将A点坐标代入4：y=履求得上的值，即可获得直线

4的函数解析式；

(2)首先求点8的坐标，然后用〃表示出点M和点N的坐标，用〃表示出MN的长，根据MN=OB即

可求解.

【详解】(1)：A(m,2)在直线4：y=-x+3上，

2=—m+3,

解得m=i,

二A(l,2),

设4：y=H,将A(l,2)代入4:y=丘，得：

2=k,

：.直线4的函数解析式为y=2x；

(2)•.•直线4与X轴交于点8,

.•.当y=0时，％=3,

.♦.点B的坐标为(3,0),

OB=3,

•••过点p作平行于y轴的直线，分别与直线4，4交于点M，N,

，当％=〃时，，M(n,2n),N(〃,一〃+3),

/.MN=+3)|=|3n-3|,

,/MN=OB,

|3n—3|=3,

解得”=2或〃=0.

【点睛】本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，关键是分情况讨论MN=03,注意绝

对值方程的解法.

23.如图，在口/18。中，是8c边上的中线，£是/。的中点，过点/作8c的平行线交8E的延长线于

点凡连接CF

D

（1）求证：AF=DC；

（2）若/8E14C,试判断四边形"DCF的形状，并证明你的结论.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据AAS证口，尸后口口。8£推出/尸=83,即可得出答案.

（2）得出四边形ZOCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出d。，根据菱形的判定推

出即可.

【详解】解：⑴证明：QAFDBC,

QQAFE^DBE.

□E是4。的中点，/O是5c边上的中线，

口4E=DE,BD=CD.

在一4EE•和UD8石中，

□□/所=「。8£,「FEAKBED,AE=DE,

U\JAFE\JUDBE（AAS）

QAF=BD.

UAF=DC.

（2）四边形力。C产是菱形，证明如下：

UAFJBC,AF=DC,

・・・四边形ADCF是平行四边形.

VACIAB,力。是斜边8C的中线，

:・AD=DC.

・・・平行四边形4）0菱形.

24.在平面直角坐标系xOr中，直线产Ax+b（后0）与直线尸・x+4的交点为P（3,〃?）,与y轴交于点4.

（1）求加的值；

（2）如果△以。的面积为3,求直线尸Ax+b的表达式.

【答案】（1）m=l；（2）'=一,1+2或丁=无-2.

3

【解析】

【分析】(1)把点尸(3,m)代入直线尸-x+4可求机的值；

(2)先根据△为。的面积为3求出。/=2,可得4(0,2),A2(0,-2),再根据待定系数法可求直线的

表达式.

【详解】解：(1)•••。(3,根)为直线y=x+4上一点，

/.777=-3+4=1

(2)•••△为。的面积为3,P(3,1),

二；04X3=3,

：.OA=2,

：.Ai(0,2),A2(0,-2).

当直线尸Ax+6经过4(0,2)和P(3,1)时，

b=2

'3k+b=\

解得J3,

b=2

直线的表达式为尸-；x+2；

当直线尸质+6经过生(0,-2)和尸(3,1)时，

b=-2

3k+b=l

k=\

解得/c，

b=-2

直线的表达式为尸-2.

综上所述，所求直线的表达式为尸-gx+2或尸-2.

【点睛】本题考查了两条直线相交的问题，根据三角形面积间的关系得出点A的坐标及熟练掌握待定系数

法求函数解析式是解题的关键.

25.为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25

家邮政企业，获得了它们4月份收入(单位：百万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给

出了部分信息.

甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组:

6<%<8,8<%<10,10<%<12,12<%<14,14<%<16）：

b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10<x<12这一组的是：10.0,10.0,10.1,10.9,11.4,11.5,

11.6,11.8

。.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中机的值；

（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为P-在乙城市

抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为比较P1，P2的大小，并说

明理由；

（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）.

【答案】（1）机=10.1；（2）P1<〃2,理由见详解；（3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万

元.

【解析】

【分析】（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解；

（2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；

（3）根据乙城市的平均数可直接进行求解.

【详解】解：（1）由题意可得加为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的

收入作为该数据的中位数，

有3家，8Wx<10有7家，10Kx<12有8家，

，中位数落在10<x<12上，

m=10.1；

（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则P1最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则至少

为13个，

•••Pl<；

（3）由题意得：

200x11=2200（百万元）；

答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元.

【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关

键.

26.在平面直角坐标系中，点P（加,y）在二次函数y=V+法的图象上，点。（"出必）在一次函

数y=-X+4的图象上.

4"

3.

2~

r

iiii।।I।।,

~o1234X

（1）若二次函数图象经过点（0,4）,（4,4）.

①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；

②判断机<0时，弘与乃的大小关系；

（2）若多有"当机21时，满足求此时二次函数的解析式.

【答案】⑴①二次函数的解析式为y=V-4x+4,顶点坐标为（2,0）；②必>>2；（2）y=f—5x+4

【解析】

【分析】（1）①由二次函数图象经过点（0,4）,（4,4）,代入了=/+法+。即可得二次函数的解析式，化

为顶点式即可得顶点坐标；

②画出二次函数和一次函数的图象，利用图像即可求解：

（2）由yW0得出（根？+〃/+c）（一加+4）＜0,分两种情况考虑可得出^=x2+Z?x+c过点(1,0)，

（4,0）,代入y=/+笈+。即可得二次函数解析式.

【详解】解：（1）①：二次函数图象经过点（0,4）,（4,4）,

fc=4仿=-4

必“”，解得，，

16+4人+c=4[c=4

/.y=x2-4x+4,

・.,y=x2-4x+4=（x-2）2,

・・・二次函数的顶点坐标为（2,0）；

（2）・・•当加21时，满足

,当"zN/时，｛jrr+加〃+。（一加+4）＜0,

分两种情况：

―//2H-420即1W加W4时，加之+mb+c＜0;

—m+4＜0即团＞4时，m2+mb+c、＞0；

，二次函数y=f+fex+c过点（1,0）,（4,0）,

l+b+c=O[b=-5

・•・//vc，解得〈4，

16+4b+c=0[c=4

，此时二次函数的解析式为y=f-5x+4.

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题

的关键是理解题意，学会利用参数解决问题.

27.在正方形/BCD中，E是CD边上一点(CE>DE),AE,BD交于点F.

(1)如图1,过点尸作G4LNE,分别交边NO,3c于点G,H.

求证：NEAB=NGHC；

(2)AE垂直平分线分别与AE,BD交于点、P,M,N,连接CN.

①依题意补全图形；

图1备用图

②用等式表示线段"E与CN之间的数量关系，并证明.

【答案】(1)详见解析；(2)①补全图形，如图所示.②AE=0CN.详见解析

【解析】

【分析】(1)根据正方形的性质，有AD〃BC,/84D=90。，得到/NGH=/G”C,再根据G4,NE,得

到即可证明.

(2)①根据垂直平分线的作法步骤进行即可.

②连接NN,连接EN并延长，交AB边于前Q,根据正方形的性质，得到NA=NC,Z1=Z2,再根据垂直

平分线的性质，得到花行NE,进而得到NC=A«,Z3=Z4,在正方形NBCD中，BA//CE,NBCD=90

得至Ij//QE=N4,N1+乙40E=N2+N3=9O。，NANE=NANQ=90°,最后在RtZ\©VE■中，即可求解.

【详解】(1)证明：在正方形/BCD中，AD//BC,ZBAD=90°,

NAGH=NGHC.

9

：GHA_AEf

：./EAB=NAGH.

：.ZEAB=ZGHC.

(2)①补全图形，如图所示.

@AE=y/2CN-

证明：连接4N,连接EN并延长，交48边于点Q

四边形45CZ）是正方形，

・・・点4点。关于8。对称.

；・NA=NC,Z1=Z2.

♦・・QN垂直平分力E,

：.NA=NE.

：.NC=NE,

AZ3=Z4.

在正方形力8CO中，BA//CE,/BCD=90。,

・・・ZAQE=Z4.

・・・N1+40E=N2+N3=9O。.

NANE=NANQ=90°.

在中，

AE=yfiCN.

【点睛】此题主要考查正方形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握性质就解题关键.

28.在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图

形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小.设矩形的较长的边与较短的边的比为k,我们称常

数k为图形G的投影比.如图1,矩形ABCD为4DEF的投影矩形，其投影比k=&C.

(2)己知点C(4,0),在函数y=2x-4(其中x<2)的图象上有一点D,若aOCD的投影比k=2,求点D

的坐标.

(3)已知点E(3,2),在直线y=x+l上有一点F(5,a)和一动点P,若aPEF投影比l<k<2,则点P

的横坐标m的取值范围—(直接写出答案).

【答案】(l)g；(2)D(1,-2);(3)l<m<3或m>5.

【解析】

【分析】(1)分别过点8作坐标轴的垂线，构成的矩形即是！0/8的投影矩形；

(2)分类讨论，当点OQ,C都在投影矩形的边上时，点。在第四象限，当点。，C在投影矩形的边上，O

在投影矩形内部时，点。在第三象限，然后利用投影比的定义求