北京市2023届高三8月测试二数学试题（含答案与解析）

北京市第八中学2023届高三8月模拟测试（二）

数学试题

（时间：120分钟分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.设集合A={xeN[1<嗔2%<3卜8={1,2,3,4},则集合4IJ5的元素个数为（）

A.2B.3C.7D.8

2.已知复数z满足z0+2i)=i(l+z),则z=()

11.B.1-li

A.—I—iC.1+iD.1-i

2222

3.下列函数中，与函数》=2]—2”的定义域、单调性与奇偶性均一致的是（）

A.y=sinxB.y=xi

D.y=log2X

4.如图，在棱长为2的正方体ABC。-中，E，尸分别是棱A4,CG的中点，过应;的平面a

与直线4尸平行，则平面a截该正方体所得截面的面积为（）

A.75B.275C.4D.5

5.己知双曲线C：X2-/=2（2^0）,则“2=1”是“直线y=x是C的一条渐近线，，的（）

A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次

33

“损”，频率变为原来的二，得至广徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的一，得至「商”；....依次损

24

益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角''五个音阶.据此可推得（）

A.“宫、商、角”的频率成等比数列B.“宫、徵、商”的频率成等比数列

C.“商、羽、角''的频率成等比数列D.“徵、商、羽”的频率成等比数列

7.已知函数/（x）=—4sin2x+4sinx,xw［O,a］的值域为［0,1］,则实数〃的取值范围为（）

8.我国南北朝时期的数学家祖瞄提出了著名的祖晒原理：“基势既同，则积不容异意思是如果两等高的

几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖

唯原理的条件，若棱锥的体积为3万，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（）

73B.IC.6D.2百

V

9.若圆O：/+y2=i上存在点直线/：y=^（x+2）上存在点。，使得而=加，则实数攵的取值范

围为（）

B.「字斗C.{-73,73)

A.l-V3,V3J

10.对于无穷数列｛4｝,给出如下三个性质：①4<0；②V〃,seN*,a“+s>a“+4；©V/ieN,，

3/eN\an+I>%.定义：同时满足性质①和②的数列｛q｝为数列”，同时满足性质①和③的数列｛%｝

为数列”，则下列说法正确的是（）

A.若。“=2〃-3,则｛4｝为“s数列”

B.若/=1_；］,则｛an｝为“t数列”

c.若｛风｝为“s数列”，则｛凡｝为“r数列”

D.若｛4｝为“r数列”，则｛为｝为“S数列”

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.己知BY的展开式二项式系数和为64,则展开式中常数项是一.（用数字作答）

12.若对任意xeR,cos（x—0）=sinx恒成立，则常数8的一个取值为.

13.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从四点中任取两个点作为向量石的始点和终点，则

ab的最大值为

D

14.已知。为坐标原点，抛物线C：>2=2内（〃>0）的焦点为尸，P为。上一点，尸尸与x轴垂直，Q

为x轴上一点，且PQ_LOP,若|叫=6,则C的准线方程为.

15.已知函数人%）=|2'-。卜"—3,给出下列四个结论：

①若。=1,则函数AW至少有一个零点；

②存在实数4，左，使得函数f（x）无零点；

③若。〉0,则不存在实数后，使得函数/（X）有三个零点；

④对任意实数〃，总存在实数人使得函数/（刈有两个零点.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且S,+1=S“+a”+l,请在①①+%=13；②成等比数

列；③do=65,这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

（2）若数列也一可｝是公比为2的等比数列，［=3,求数列也｝的前〃项和

17.如图：在正方体A8C。-ABC。中，E为AA中点，8c与平面CQE交于点F.

（1）求证：/为用q的中点；

（2）点M是棱上一点，且二面角M—EC—E的余弦值为逝，求学的值.

34片

18.某单位有A,8两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单

位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况(午餐，晚餐)(AA)(AB)(B，A)(B，B)

甲员工30天20天40天10天

乙员工20天25天15天40天

假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率.

(1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择4餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐

的概率；

(2)记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅个数，求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)试判断甲、乙员工在晚餐选择8餐厅就餐条件下，哪位员工更有可能午餐选择4餐厅就餐，并说

明理由.

72

x'y'

19.已知椭圆E:7+F=l(a>Z?>0)一个顶点A(0,-2),以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为

475.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点尸(0,-3)的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线交

产-3交于点M,N,当|PM|+|PN|W15时，求k的取值范围.

20.已知函数f(x)=»i5*(x+l)—4一4x—2.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当2时，/(x)20恒成立，求机取值范围.

21.如果无穷数列｛4｝等差数列，且满足：①Vi、"eN*,使得4%=4;②VZeN”,

口、使得《勺=4,则称数列｛%｝是““数列”.

(1)下列无穷等差数列中，是“，数列”的为；(直接写出结论)

｛«„｝：1>3、5、....

他,｝：0、2、4、……

匕,｝:0、0、0、....

｛4｝：-1、0、1、....

(2)证明：若数列｛4｝是“，数列”,则qeZ且公差deN；

(3)若数列｛凡｝是“〃数列”且其公差deN*为常数，求｛可｝的所有通项公式.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.设集合A={xeNll<log2X<3卜8={1,2,3,4},则集合AUB的元素个数为()

A.2B.3C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合A,再求出AU8,从而可得答案.

【详解】由l<log2X<3,得2Vx<23,

因为xeN*，所以x=3,4,5,6,7,

所以A={3,4,5,6,7},

因为3={1,2,3,4},

所以AU8={1,2,3,4,5,6,7},

所以集合AU8的元素个数为7,

故选：C

2.已知复数z满足z(l+2i)=i(l+z),则>()

11.11.

A.—I—iB.-----iC.1+iD.1-i

2222

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得z(l+i)=i,再由复数的四则运算法则计算即可.

【详解】解：因为足z(l+2i)=i(l+z),

所以z(l+i)=i,

ii(l-i)1+i11.

所以z==------------=-----=—+—1,

1+i(l+i)(l-i)222

故选：A.

3.下列函数中，与函数)，=2］一2"的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()

A.y=sinxB.y=x3

【答案】B

【解析】

【分析】分别判断每个选项中的函数的单调性和奇偶性，即可得到结果.

【详解】y=2'—2】是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.而），=sinx不是单调递增函数，不符合题

意;

是非奇非偶函数，不符合题意；

y=logM的定义域是（0,+oo）,不符合题意；

是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数符合题意.

所以本题选B.

【点睛】本题考查基本初等函数的基本性质，掌握常见的基本初等函数的单调性和奇偶性是解题的关键,

属基础题.

4.如图，在棱长为2的正方体ABC。-ABC"中，E，尸分别是棱AA-CG的中点，过的平面a

与直线4尸平行，则平面a截该正方体所得截面的面积为（）

C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】首先取QA的中点G,连接EG,CG,EC,易证A尸〃平面E8CG,从而得到平面EBCG为

所求截面，再计算其面积即可.

【详解】取。。的中点G,连接EG,CG,EC,如图所示：

因为4石么尸。，所以四边形AEC厂为平行四边形，所以4尸〃EC

又APz平面E8CG，ECU平面E8CG，

所以4尸〃平面E8CG,即平面E3CG为所求截面.

所以BE=4》+f=5SEBCG=BExBC=25/5.

故选：B

【点睛】本题主要考查线面平行的判定，同时考查了正方体的截面，属于简单题.

5.己知双曲线c：>2=2（彳/0）,则“;1=1”是“直线y=x是c的一条渐近线”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件c充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

利用充分条件和必要条件的定义结合双曲线的有关性质进行判断即可

【详解】解：当4=1时，双曲线方程为f-丁=1,以渐近线方程为y=±x,满足充分性；

反之，双曲线的一条渐近线方程为丁=》时.，任意的4（/1。0）均可，不满足必要性.

故选：A

6.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次

33

“损”，频率变为原来的‘，得至徵"；"徵”经过一次“益”，频率变为原来的一，得到“商”；…….依次损

24

益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（）

A.“宫、商、角''的频率成等比数列B.“宫、徵、商”的频率成等比数列

C.“商、羽、角”的频率成等比数列D.“徵、商、羽'’的频率成等比数列

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差等比通项公式，分别计算“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，再对照选项，即可得答案；

3

【详解】设“宫''的频率为“，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是一a；

2

9

“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是-a,

8

27

“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是「a；

16

01

最后“羽”经过一次“益”，可得"角''的频率是二。，

64

981

由于a,-a,―。成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列.

864

故选：A.

【点睛】本题考查等差、等比数列在数学文化中的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

7.已知函数/（x）=—4sin2》+4sinx,xe[0,句的值域为[0,1],则实数〃的取值范围为（）

715万

6'26'6~6

【答案】C

【解

【分析】利用换元法转化为二次函数的问题，根据值域即可求实数”的取值范围.

【详解】设，=sinx,则/(无)=Tsin2x+4sinx=g(f)=-4/+4/=-4

所以g(/)Wg(])=l,且g(0)=0,又xe[O,a]的值域为[0,1],

JTTT

所以一工。＜"，即实数。的取值范围为♦

61_6

故选：C.

8.我国南北朝时期的数学家祖晒提出了著名的祖睢原理：“幕势既同，则积不容异意思是如果两等高的

几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖

随原理的条件，若棱锥的体积为3万，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为()

A.且B.1C.6D.273

3

【答案】D

【解析】

【分析】设圆锥的底面半径为J则母线长为2人高为百/•，由同高的圆锥和棱锥满足祖胞原理的条件,可知棱

锥与圆锥的体积相等，进而求解.

【详解】由题,设圆锥的底面半径为，・，

因为圆锥的侧面展开图是半圆，则母线长为2人高为小,

因为现有同高的圆锥和棱锥满足祖晅原理的条件，所以棱锥与圆锥的体积相等，

所以V=；x("2)x6r=3万，解得厂=6，

所以母线长为26，

故选:D

【点睛】本题考查圆锥的体积公式的应用,考查理解分析能力.

9.若圆O：f+y2=l上存在点p,直线/：y=A(x+2)上存在点。，使得加=函，则实数人的取值范

围为()

A.f-V3,V3]B.[_g,当C.{-73,73}D.{一坐半}

【答案】B

【解析】

【分析】由丽=的判断出直线和圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于或等于半径列不等式，解不等

式求得人的取值范围.

【详解】由于方=前，即PQ是圆。的直径，所以直线和圆有公共点，

圆心（0,0）到直线依一y+2左=0的距离//41，

4公〈炉+1,公<；,所以g,立].

故选：B

10.对于无穷数列｛%｝,给出如下三个性质：①4<0；②V〃,sGN",a“+s>%+4；③V〃eN*，

3/eNia.>a..定义:同时满足性质①和②的数列｛4｝为数列”，同时满足性质①和③的数列｛an｝

为‘"数列"，则下列说法正确的是（）

A.若=2〃—3,则｛4｝为“s数列”

B.若4=[—g],则｛qj为“f数列”

C.若｛%｝为“S数列”，则｛%｝为数列”

D.若｛4｝为“f数列”,则｛凡｝为"5数列”

【答案】A

【解析】

【分析】A选项，经过验证q=2〃-3满足①②，故A正确；

B选项，经过验证%=（-g）不一定满足③，故B错误;

CD选项，均可举出反例.

【详解】若。“=2〃-3,则4=2-3=-1<0,满足①,

=2（〃+s）-3,an+as=2〃-3+2y-3=2（〃+s）-6,

因为2（〃+s）-3>2（〃+s）—6,所以V〃,S£N*,4+S>a〃+4,满足②,

故A正确；

（1V（I

若=I，则0==<0»满足①，

\2）\2）2

若〃为奇数，此时<0,存在feN*，且为奇数时，此时满足［一］1>0>

若〃为偶数，此时［一>0,则此时不存在feN*，使得（一，］>f—，

I2jI2；I2；

综上：B选项错误；

设。〃=—2〃-1,此时满足4=-2—1=—3<0,

也满足VH,5GN,a〃+s=-2（〃+s）-1,%+〃、.=—2〃—1—2s—1=-2（〃+s）—2,

即Vn,5GN*,q〃+s>an+as,

但不满足③土£N",%+,>”〃，

因为a〃+1——2（/?+/）-1=—2〃-2/-1=ctn—2f<an,

综上C选项错误；

不妨设。〃=（一2）〃，满足/=一2<0,

且V/zGN*，%=（一2）”,

当〃为奇数时，取£=〃+1,使得=（一2）"”>。〃，

当〃为偶数时，取/=〃+2,使得。,什2=（—2）"”>4，

故｛2｝为“，数列”，

但此时不满足V〃,seN*,a〃+$>〃〃+4,不妨取几=l,s=2,

则二-2,=4,四二一8,而4+2=-8<-2+4=q+。），

则｛%｝不是“S数列,D选项错误;

故选:A

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

2x-《］的展开式二项式系数和为64,则展开式中常数项是—.（用数字作答）

11.已知

【答案】60

【解析】

【详解】因为展开式二项式系数和为64,所以2"=64，n=6,展开式的通项为

,令6-』r=0,得r=4,所以常数项为第5项，

7；=(-l),'26-rC；x6-rx^=(-1)，26工》”

+l2

4=4x15=60,故填6（）.

点睛：涉及二项式展开式的特定项，一般要先写出二项式的展开式的通项公式，根据特定项的特点确定r,

从而求出特定项或与题目有关的问题，一般会求常数项.

12.若对任意xeR,cos(x-e)=sinx恒成立，则常数少的一个取值为_______.

【答案】2IT(―JT+24的任何一个值均可)

22

【解析】

【分析】由诱导公式三和诱导公式五可推导结果.

【详解】解：由诱导公式可知：当*=]时，有COSx-/)=cos[]—x)=sinx.

TT

故答案为：一.

2

13.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从四点中任取两个点作为向量石的始点和终点，则

D的最大值为

【答案】3

【解析】

【分析】由图可知，要使取到最大值，即要求向量坂在向量£上的投影最大，然后再根据图形即可求出

结果.

【详解】由题意可知：则£%=|a|-|S|cos<«-^>=|z?|cos<«,^>,

所以要使取到最大值，即要求向量B在向量[上的投影最大，

由图形可知：当向量5=恁时，向量B在向量£上的投影最大，

即a4=|目cos<a,b>=V10­—；==3

11Vio

即a4的最大值为3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查向量的数量积几何意义的应用，考查数形结合以及计算能力.

14.已知。为坐标原点，抛物线C：>2=2内(，>0)的焦点为尸，P为。上一点，尸尸与x轴垂直，Q

为x轴上一点，且PQ_LOP,若|图=6,则C的准线方程为.

【答案】x=—士3

2

【解析】

【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得夕，即得结果.

【详解】抛物线C：y”=2px(p>0)的焦点

:P为C上一点,Pb与x轴垂直，

所以P的横坐标为K,代入抛物线方程求得P的纵坐标为士P,

2

不妨设P(5,p),

因为。为x轴上一点，且尸Q_LOP,所以Q在F的右侧，

又F1=6,

uun

2(6+^n,0),.-.尸。=(6,—〃)

因为PQ_LOP,所以而.而=_|x6—p2=0,

Qp>0,.・.p=3,

3

所以。的准线方程为工二一二

2

3

故答案为：x=——.

2

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

15.已知函数f(x)=|2'-a卜丘-3,给出下列四个结论：

①若a=l,则函数/(x)至少有一个零点；

②存在实数。，k,使得函数f(x)无零点；

③若。>0,则不存在实数%,使得函数f(x)有三个零点；

④对任意实数。，总存在实数我使得函数/(X)有两个零点.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】在同一坐标系中作出y=|2'-a|,y=^+3的图象，利用数形结合法求解.

【详解】①当a=l时，f(x)=\2x-l\-kx-3,令f(x)=0,得|2*-1|=依+3,

在同一坐标系中作出)，=|2"-1|广=依+3的图象，如图所示：

由图象及直线丁=丘+3过定点（0,3）知函数/⑺至少有一个零点，故正确;

③当。=6,4=一；时，在同一坐标系中作出y=|2*-6|,y=-（x+3的图象，如图所示:

④当a=0时,

当a>0时,

由图象知：对任意实数。，总存在实数%使得函数“X）有两个零点，故正确.

故答案为：①②④

三,解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知数列｛%｝的前〃项和为s“，且=S“+%+l,请在①4+%=13；②4,4，生成等比数

列；③£0=65,这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若数列｛d-。“｝是公比为2的等比数列，4=3,求数列｛2｝的前〃项和T„.

【答案】（1）任选①②③，都有4,=〃+1；

（2）任选①②③，T,=2"+上+3”2

"2

【解析】

【分析】（1）由已知得出数列｛《,｝是等差数列，

选①，利用等差数列基本量法求得4后可得通项公式；

选②，由等比数列性质得《=4的,再利用等差数列的基本量法求得小后可得通项公式；

选③，由等差数列的前〃项和公式求得《后得通项公式；

（2）求出"，用分组求和法求和.

【小问1详解】

由5向=5.+勺+1得4用=5角-5“=。”+1,即。2一。，=1,所以｛%｝是等差数列，公差为1,

选①，%+%=13,

则4+3+（q+6）=13,q=2,所以a“=2+（〃-1）=〃+1；

选②，4,。3，生成等比数列，则。；=。百，所以(％+2)2=4(4+6),解得q=2,

所以4=2+(〃-1)=“+1；

10x9

选③，510=65,S10=10<7^——--xl,4=2,

所以4=2+(〃_1)=〃+1；

【小问2详解】

任选①②③都有：

n

由题意乙一q=l,bn-an=2-',所以2=2"-、〃+1,

7；=(l+2)+(2+3)+(22+4)+---+(2n-|+n+l)=(l+2+---+2n-1)+[2+3+...+(n+l)]

1—2"〃(2+〃+l)n2+3/1-2

=----------1-------------------=2-1----------------・

1-222

17.如图：在正方体ABC。-A中，£为4。中点，4G与平面COE交于点

（1）求证：-为与&的中点;

（2）点M是棱A瓦上一点，且二面角M—EC—E的余弦值为逝，求禁的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）4^=7.

【解析】

【分析】（1）首先将平面。E进行扩展，然后结合所得的平面与直线BG的交点即可证得题中的结论；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数4的值.

【详解】（1）如图所示，取8G的中点?，连结。££尸,尸C,

由于ABCO-4BCQ为正方体，E,可为中点，故瓦''II8,

从而E,F,,C,D四点共面，即平面CDE即平面CDEF；

据此可得：直线4G交平面COE于点

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点尸'重合，

即点F8c中点.

⑵以点O为坐标原点，方向分别为X轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系

=A(O</1<1)(

则：“(2,242),0(0,2,0),尸(1,2,2),“(1,0,2),

从而：A?C=(-2,2-2A,-2),CF=(l,O,2),FE=(O,-2,O),

设平面户的法向量为：有=(%，x，zj,贝I：

in,MC=—2%+(2—24)y—2z1=0

fnCF=X]+2Z]=0

令4=-l可得：m=\2,占T

设平面CFE的法向量为：n=(x2,y2,z2),则:

而•FE--2y2=0

nCF=%+2Z2=0

令Z1=-l可得：n=(2,0,-l),

【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推

理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的

夹角公式求解.

18.某单位有A,8两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作H午餐和晚餐都在单

位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况(午餐，晚餐)(AM)缶⑹(B,A)(B,B)

甲员工30天20天40天10天

乙员工20天25天15天40天

假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率.

(1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐

的概率；

(2)记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择4餐厅就餐，并说

明理由.

【答案】(1)0.3,0.4

(2)分布列见解析，1.9

(3)在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐，理由见解析

【解析】

【分析】(1)利用古典概型的概率公式计算可得；

(2)依题意X的所有可能取值为1，2,利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出所对应的概率，列

出分布列求出数学期望即可.

(3)根据古典概型的概率公式求出所对应的条件概率，即可判断；

【小问1详解】

解：设事件C=”一天中甲员工午餐和晚餐都选择4餐厅就餐“，事件。=”一天中乙员工午餐和晚餐都选

择8餐厅就餐”.

由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30,乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就

餐的天数为40,

所以P（C）=二=0.3,P（D）=—=0.4；

v'100'）100

【小问2详解】

解：甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3,甲员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的概率为

0.1；

乙员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2,乙员工午餐、晚餐都选择8餐厅就餐的概率为0.4.

依题意X的所有可能取值为I,2.

所以「（*=1）=0.3*0.2+0.1*0.4=0.1,P（X=2）=1—P（X=l）=0.9.

所以X的分布列为

X12

P0.10.9

所以E（X）=1x0.1+2x09=1.9.

【小问3详解】

解：设乂="甲员工晚餐选择8餐厅就餐”，小="乙员工晚餐选择B餐厅就餐”，”甲员工在午餐时

选择A餐厅就餐“，必=”乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则P（M|Nj=孟=§,

他|的吟吟

因为「（必回）>网此团）,

所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择4餐厅就餐.

22

19.已知椭圆E:=+1=l（a>0>0）一个顶点A（0,-2）,以桶圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为

ab~

46.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点尸（0,-3）的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线交

产-3交于点M,N,当|PM|+|PN|<15时，求k的取值范围.

22

【答案】⑴土+匕=1；（2）[-3,7）51,3].

54

【解析】

【分析】（1）根据椭圆所过点及四个顶点围成的四边形的面积可求。力，从而可求椭圆的标准方程.

（2）设3（芯,乂）,。（9,必），求出直线A8,AC的方程后可得M,N的横坐标，从而可得1PM+|小卜

联立直线8c的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简|PM|+|PN|,从而可求化的范围，注意判别式的

要求.

【详解】（1）因为椭圆过4（0,-2）,故人=2,

因为四个顶点围成的四边形的面积为4石，故gx2a、2力=4有，即。=百，

故椭圆的标准方程为：三+匕=1.

54

设8（%,乂）,。（电,必），

因为直线的斜率存在，故王々声0，

故直线48:,=生匚8_2,令y=—3,则x“=--三，同理XN=一一三

玉M+2必+2

直线8。：丁=米一3,由八二后”一：可得（4+5&2）/-30米+25=0,

4x+5/=20''

故△=900公一100（4+5r）>0,解得左<—1或%>1.

—30氏25,,八sI八

又%+%=~2，%］工2="3_.2，故不工2>°，所以XM*N>°

4+5左f~4+5左

^\PM\+\PN\=\XM+XN\=-^-+-^-

）4十N%十乙

50k30k

%I/2kx饪2-（玉+尤2）4+5K-4+5二

22

kx}-1kx2-1女与也一k（无|+%2）+125k30k,

4+5k24+5k2

故5人区15即同43,

综上，-3<Zv-l或lvkK3.

20.已知函数/(x)=j?iex(x-\-V)-x2-4x-2.

(1)讨论/(幻的单调性；

(2)当时，/'(幻之0恒成立，求团的取值范围.

【答案】⑴具体见解析；(2)［2,2?］.

【解析】

【分析】⑴求导得/'(%)=温(％+2)-2*-4=(*+2乂泡一2),对参数〃，分类讨论，分别求得函数

的单调区间即可.

(2)先由/(0)=m-220,得到机22,缩小讨论范围，然后借助(1)中函数单调性，分别使函数在

xN-2时的最小值，恒大于等于0即可求得参数取值范围.

【详解】⑴f(x)=mex(x+2)-2x-4=(x+2)^mex-2),

若加<0,则me'-2<0>

当xe(e,-2)时，f\x)>0；当xe(-2,+oo)时，f'(x)<0,

所以fM在(-<x),-2)上单调递增，在(-2,”)上单调递减，

2

若小>0,令/'(x)=0,解得％=-2,%=出一，

-m

当0〈根<2e?时，x2>%］,

则/(X)在(—8,—2)和(in2,+oc］上单调递增，在1-2,m2］上单调递减，

\mJm)

当〃?=2e?时，9=X，则/(X)在R上单调递增，

当〃?>2e2时，*2<尤1，

则f(x)在17,ln2］和(-2,+00)上单调递增，在(in2,_21上单调递减，

\mJ〈m)

综上：当相<0,/(x)在(一叫-2)上单调递增，在(-2,+»)上单调递减，

当0<〃?<2e2时，f(x)在(一叫—2),(in2,+8〕上单调递增，在(一2,皿2］上单调递减，

\m)V

当初=涣2时，/(x)在/?上单调递增

当〃z>2e2时，f(x)在(一8,加2］和(-2,位)上单调递增，在In工,一2上单调递减.

mJ\m)

(2)由题可得/(0)=加一220,即〃z22

①若2<加<2e\f(x)在［-2,+oo)的最小值为A/)，

而£=ln—<0,/(%)=2w+2—X^—4X—2=—X^X+2)>0,

m222

所以当2时，/(x)20恒成立.

②若m=2e2,f(x)在［-2,-Ko)单调递增，而/(—2)=0,

所以当时，/(x)20恒成立.

③若m>2e2.则/(—2)=-me2+2=-e-2(m-2e2)<0,

所以当时，/(x)20不可能恒成立.

综上所述，加的取值范围为［2,2e2］

【点睛】关键点点睛：函数导数中含有参数时，需要对参数分类讨论，才能求得导数与0的关系，从而判

断函数单调性，并借助单调区间求解函数最值问题.

21.如果无穷数列｛%｝是等差数列，且满足：①Vi、jeN","eN’，使得4勺=4;②X/ZeN",

3z\jeN*,使得叫=ak,则称数列｛%｝是““数列”.

(1)下列无穷等差数列中，是“，数列”的为；(直接写出结论)

｛%｝：1、3、5、……

低｝：。、2、