2025年数学竞赛策略题目及答案

2025年数学竞赛策略题目及答案

一、单项选择题1.若\(a\)、\(b\)、\(c\)为整数，且\(\verta-b\vert^{19}+\vertc-a\vert^{99}=1\)，则\(\vertc-a\vert+\verta-b\vert+\vertb-c\vert\)的值为（）A.0B.1C.2D.3答案：C2.已知二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)的图像如图所示，对称轴为直线\(x=1\)，则下列结论正确的是（）A.\(ac\gt0\)B.\(b\lt0\)C.\(b^{2}-4ac\lt0\)D.\(2a+b=0\)答案：D3.一个多边形的内角和是外角和的\(3\)倍，则这个多边形的边数是（）A.6B.7C.8D.9答案：C4.若分式\(\frac{x^{2}-1}{x+1}\)的值为\(0\)，则\(x\)的值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(\pm1\)答案：B5.已知点\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)在反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的图像上，若\(x_1\ltx_2\lt0\)，且\(y_1\lty_2\)，则\(k\)的取值范围是（）A.\(k\gt0\)B.\(k\lt0\)C.\(k\geq0\)D.\(k\leq0\)答案：B6.用配方法解方程\(x^{2}-4x+1=0\)，配方后的方程是（）A.\((x+2)^{2}=3\)B.\((x-2)^{2}=3\)C.\((x+2)^{2}=5\)D.\((x-2)^{2}=5\)答案：B7.若关于\(x\)的一元二次方程\(kx^{2}-4x+3=0\)有实数根，则\(k\)的非负整数值是（）A.\(1\)B.\(0\)，\(1\)C.\(1\)，\(2\)D.\(1\)，\(2\)，\(3\)答案：A8.一个圆锥的底面半径为\(3\)，高为\(4\)，则这个圆锥的侧面积是（）A.\(15\pi\)B.\(12\pi\)C.\(21\pi\)D.\(24\pi\)答案：A9.已知\(\odotO\)的半径为\(5\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离为\(4\)，则点\(P\)与\(\odotO\)的位置关系是（）A.点\(P\)在\(\odotO\)内B.点\(P\)在\(\odotO\)上C.点\(P\)在\(\odotO\)外D.无法确定答案：A10.已知二次函数\(y=x^{2}-2mx+m^{2}+m-1\)（\(m\)是常数）的图像与\(x\)轴交于点\(A\)、\(B\)，点\(P\)是该图像的顶点。若\(\trianglePAB\)是直角三角形，则\(m\)的值为（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)答案：A二、多项选择题1.下列运算正确的是（）A.\(a^{2}\cdota^{3}=a^{5}\)B.\((a^{2})^{3}=a^{6}\)C.\((ab)^{3}=a^{3}b^{3}\)D.\(a^{6}\diva^{2}=a^{4}\)答案：ABCD2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰三角形答案：ABC3.已知一次函数\(y=kx+b\)（\(k\)，\(b\)为常数，\(k\neq0\)）的图像经过点\(A(0,-2)\)，\(B(1,0)\)，则下列结论正确的是（）A.\(k=2\)B.\(b=-2\)C.当\(x\gt1\)时，\(y\gt0\)D.该函数图像与坐标轴围成的三角形面积为\(2\)答案：ABC4.若关于\(x\)的不等式组\(\begin{cases}x-m\lt0\\7-2x\leq1\end{cases}\)的整数解共有\(4\)个，则\(m\)的取值范围是（）A.\(6\ltm\lt7\)B.\(6\leqm\lt7\)C.\(6\ltm\leq7\)D.\(3\ltm\leq4\)答案：C5.下列命题中，真命题有（）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形答案：AC6.已知\(x_1\)，\(x_2\)是一元二次方程\(x^{2}-3x-2=0\)的两个实数根，则下列结论正确的是（）A.\(x_1+x_2=3\)B.\(x_1\cdotx_2=-2\)C.\(x_1^{2}+x_2^{2}=13\)D.\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{3}{2}\)答案：ABCD7.一个不透明的袋子中装有\(3\)个红球和\(2\)个绿球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，然后放回袋子中，再随机摸出一个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（）A.\(\frac{9}{25}\)B.\(\frac{6}{25}\)C.\(\frac{3}{10}\)D.\(\frac{3}{5}\)答案：A8.已知二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图像如图所示，下列结论：①\(abc\gt0\)；②\(2a+b=0\)；③\(a-b+c\lt0\)；④\(4a+2b+c\gt0\)；⑤\(b^{2}-4ac\gt0\)，其中正确的结论有（）A.①②③B.②④⑤C.②③⑤D.②③④⑤答案：B9.已知点\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)在反比例函数\(y=\frac{1}{x}\)的图像上，若\(x_1\ltx_2\lt0\)，则\(y_1\)与\(y_2\)的大小关系是（）A.\(y_1\lty_2\)B.\(y_1\gty_2\)C.\(y_1=y_2\)D.无法确定答案：A10.已知\(\odotO\)的半径为\(r\)，圆心\(O\)到直线\(l\)的距离为\(d\)，若直线\(l\)与\(\odotO\)有两个不同的交点，则\(d\)与\(r\)的关系是（）A.\(d\gtr\)B.\(d=r\)C.\(d\ltr\)D.\(d\leqr\)答案：C三、判断题1.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数。（×）2.若\(a\gtb\)，则\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（×）3.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。（√）4.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。（×）5.二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），当\(a\gt0\)时，函数图像开口向上，\(y\)随\(x\)的增大而增大。（×）6.若一个多边形的内角和是\(1080^{\circ}\)，则这个多边形是八边形。（√）7.方程\(x^{2}-3x+2=0\)的解是\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。（√）8.已知点\(A(2,-3)\)，点\(A\)关于\(x\)轴的对称点\(A'\)的坐标是\((-2,-3)\)。（×）9.若\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)（\(b\neq0\)，\(d\neq0\)），则\(ad=bc\)。（√）10.半径为\(2\)的圆的周长是\(4\pi\)。（√）四、简答题1.先化简，再求值：\((\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^{2}-1})\div\frac{x^{2}+x}{x^{2}+2x+1}\)，其中\(x=2\)。答案：先对原式进行化简：\[\begin{align}&(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^{2}-1})\div\frac{x^{2}+x}{x^{2}+2x+1}\\=&[\frac{x}{x-1}-\frac{1}{(x+1)(x-1)}]\div\frac{x(x+1)}{(x+1)^{2}}\\=&\frac{x(x+1)-1}{(x+1)(x-1)}\times\frac{(x+1)^{2}}{x(x+1)}\\=&\frac{x^{2}+x-1}{(x-1)x}\end{align}\]当\(x=2\)时，代入化简后的式子\(\frac{x^{2}+x-1}{(x-1)x}\)，得\(\frac{2^{2}+2-1}{(2-1)\times2}=\frac{4+2-1}{2}=\frac{5}{2}\)。2.已知一次函数\(y=kx+b\)的图像经过点\(A(1,4)\)和点\(B(0,2)\)，求这个一次函数的解析式。答案：把点\(A(1,4)\)和点\(B(0,2)\)代入一次函数\(y=kx+b\)中。将\(B(0,2)\)代入得\(2=k\times0+b\)，解得\(b=2\)。把\(A(1,4)\)和\(b=2\)代入\(y=kx+b\)得\(4=k\times1+2\)，即\(k=4-2=2\)。所以这个一次函数的解析式为\(y=2x+2\)。3.如图，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分线，\(DE\perpAB\)，\(DF\perpAC\)，垂足分别为\(E\)、\(F\)。求证：\(BE=CF\)。答案：因为\(AB=AC\)，\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分线，所以\(\angleBAD=\angleCAD\)。又因为\(DE\perpAB\)，\(DF\perpAC\)，所以\(\angleAED=\angleAFD=90^{\circ}\)。在\(\triangleAED\)和\(\triangleAFD\)中，\(\begin{cases}\angleBAD=\angleCAD\\\angleAED=\angleAFD\\AD=AD\end{cases}\)，所以\(\triangleAED\cong\triangleAFD\)（AAS），则\(AE=AF\)。因为\(AB=AC\)，即\(AB-AE=AC-AF\)，所以\(BE=CF\)。4.已知关于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}-2x+m=0\)有两个不相等的实数根，求\(m\)的取值范围。答案：对于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)\)，其判别式\(\Delta=b^{2}-4ac\)。在方程\(x^{2}-2x+m=0\)中，\(a=1\)，\(b=-2\)，\(c=m\)。因为方程有两个不相等的实数根，所以\(\Delta\gt0\)，即\((-2)^{2}-4\times1\timesm\gt0\)。\(4-4m\gt0\)，移项得\(4\gt4m\)，两边同时除以\(4\)得\(1\gtm\)，即\(m\lt1\)。五、讨论题1.在平面直角坐标系中，二次函数\(y=x^{2}-2x-3\)的图像与\(x\)轴交于\(A\)、\(B\)两点（点\(A\)在点\(B\)左侧），与\(y\)轴交于点\(C\)。请讨论如何求\(\triangleABC\)的面积。答案：首先求\(A\)、\(B\)、\(C\)三点的坐标。对于\(y=x^{2}-2x-3\)，令\(y=0\)，即\(x^{2}-2x-3=0\)，因式分解得\((x-3)(x+1)=0\)，解得